규칙이 있는 수의 나열
수열... 현재에도, 과거에도 고등학교 혹은 기초학부수학에서 매우 중요하게 다루어져 온 수학 개념 중 하나이다.
수열은 흔히 "특정한 규칙에 따라 수를 나열한 것"이라고 설명된다.
여기서의 특정한 규칙은 매우 다양한데,
일정한 수만큼 커지는 규칙... 1 3 5 7 9...
일정한 비율만큼 증가하는 규칙... 2 4 8 16 32...
앞의 두 수를 더한 것이 다음 수가 되는 규칙... 1 1 2 3 5 8 13...
이렇게 이 세상에는 수많은 규칙이 존재한다.
특히 위의 예시 중 마지막에 나온 것은 독자들이 들어 봤을 수도 있는 그 유명한 '피보나치수열'이다.
이러한 수열은 현재 수 1(혹은 '대수')이라는 과목에서 마지막으로 배우는 내용이다. 한 번 수 1의 단원구성을 살펴보면,
1. 지수로그함수
2. 삼각함수
3. 수열
이렇게이다.
단원구성을 살펴보면, 초반의 두 단원에서 공통된 키워드가 눈에 띈다. 독자들도 눈치챘겠지만 그것은 '함수'이다. 그렇다. 현재 수 1은 다양한 '함수'를 집중적으로 다루는 과목이다. 그럼 여기서 의문이 하나 생긴다.
" 왜 마지막 단원은 함수가 아니라 수열인가? "
아주 좋은 질문이다. 이 질문에 대한 대답은 이렇게 할 수 있겠다.
" 수열 역시 함수이다. "
잉? 이게 무슨 말인가? 규칙이 있는 수의 나열이 함수라니? 그것 참 이상하다. 하지만 사실 이것이 수열에 대한 엄밀한 수학적 접근이라 할 수 있겠다. 그 이유를 알기 위해선 수열에 대한 기본적인 이해가 필요하다.
예를 들어 다음과 같은 수열이 있다고 하자.
2 6 10 14 18 22....
해당 수열은 어떤 규칙이 있어 보이는가?
그렇다. 위의 수열은 2부터 시작해서 4씩 커지고 있다. 이때 2를 첫째항, 6을 둘째항, 10을 셋째항... 이런 식으로 부른다. 그렇다면 이것은 몇 번째 항이라는 그 "몇 번째"와 "특정한 항(값)" 사이의 대응관계라는 것을 알 수 있다. 어떤가? 이제 수열이 조금 함수처럼 보이는가?
이를 한 번 수학적인 언어를 이용해 표현해 보겠다. 위의 수열에서 첫 번째 항, 두 번째 항, 세 번째 항... 이런 식으로 하여 n번째 항이 있다고 하자. 이때, n번째 항의 값은 언제나 "4n-2"가 된다.
정말로? 한 번 해보자. 현재까지의 설명대로라면 "4n-2"에 n=1을 넣으면 첫 번째 항의 값 2가 나와야 할 것이다. 한 번 확인해 볼까?
4 x 1 - 2 = 2
정말 2가 나왔다.
이번에는 "4n-2"에 n=2를 넣어보자..
4 x 2 - 2 = 6
정말 6이 나왔다.
나머지에 대한 확인은 굳이 진행하지 않겠다.
위의 과정은 실제로는 "일반항"이라는 과정이다. 이런 일반항의 과정을 보면 우리는 이제 확실한 깨달음을 하나 얻을 수 있는데, 그것이 바로 이 글의 핵심이 되겠다.
그것은 바로 수열이 자연수라는 정의공간에서(n=1,2,3,4,...) 특정한 수(일반적으로는 실수; real number)로 대응되는 함수라는 것이다. 때문에 수 1의 마지막 단원명을 조금 수정해 보겠다.
"3. 함수열"