푸리에 불확정성 원리
양자역학과 푸리에변환의 관계
전자가 원자 주위를 원궤도로 돌면 무슨일이 발생할까요?
원운동은 가속도운동입니다. 매순간 방향이 바뀌는 운동은 곧 가속도운동이기때문이죠.
전자와 같은 전하가 가속도운동을 하면 전자파를 방출하게됩니다. 안테나에 교류전류를 흘리면 전자파가 나오는것과 같은 원리죠. 전자파를 방출한다는건 에너지를 내보낸다는 것이고 그러면 전자는 위치에너지를 점점 잃어벼려 원자쪽으로 점점 추락할수 밖에 없습니다.
하지만 실제론 전자는 추락하지 않고 궤도를 유지합니다.(엄밀하게 원궤도는 아니지만 말이죠.)
만약 추락한다면 모든 원자는(모든 물체는) 붕궤되고 우리몸도 존재할수가 없으니까요.
그럼 전자는 어떻게 궤도에 머물러 있는 것일까요?
과학자들은 고전역학으론 설명이 안되는 이 문제를 두고 깊은 고민에 빠지게 됩니다.
그 문제를 해결한 사람이 바로 네덜란드 물리학자인 닐스 보어죠.
(기러기 타고 날아가는 닐스의 대모험이란 동화책도 덴마크 동화죠~)
그림처럼 전자가 물결처럼 춤을추며 궤도를 돌고 그 파장이 맥놀이처럼 주기가 궤도와 딱맞아 떨어지면 전자가 추락하지않고 궤도에 머물러있을 수 있다는 주장입니다.
드 브로이의 물질파이론에 따르면 입자이면서 파동이기도한 광자처럼 전자도 입자이면서 동시에
파동이어서 저렇게 움직이고 그 파동이 원둘레와 일치하면 안정한 정상상태(정상파)에 머무른다는 것이죠.
근데, 이게 말이야? 당나귀야? ... 이해가 되는분 있으신가요? 솔직히 저는 아직도 이해가 안됩니다.
하지만 물리학계는 이 가설을 정설로 받아들입니다. 심지어 보어를 양자역학의 아버지로 추앙하기까지 하죠. 더 깊이 있는 내용은 저도 모릅니다... 더 아시는 분은 댓글 달아주시고요~
제가 할려는 얘기는 ..이겁니다.
저런 말도 안되는(?) 전자의 파동형 운동의 모양을 수학적으로 표현한 방정식이
바로 유명한 쉬뢰딩거방정식 이란 녀석입니다. 미분방정식이죠.
미분방정식은 별게 아니고 방정식에 미분이 들어있는 수학식을 말합니다.
그런데 원궤도를 펴서 무한직선이라고 가정하고 쉬뢰딩거방정식을 풀어서 해를 구하면
놀랍게도 푸리에변환 수식과 같아진다는 겁니다.
수학적 증명 참고 : https://depletionregion.tistory.com/98
푸리에변환은 주기적이지 않은 신호를 주파수 요소로 재구성해서 보여주는 적분변환이죠.
푸리에변환은 음성인식이나 영상처리에도 많이 쓰이는데요...
흥미로운 점은 푸리에변환에도 불확정성원리가 나타난다는 것입니다.
즉, 푸리에변환 하기전 신호와 한후의 신호는 서로 불확정성관계를 가집니다.
하나가 뭉쳐있으면 변환한건 퍼져서 나타나고 퍼져있으면 그반대로 뭉쳐서 나타나죠.
그래서 그런지 양자역한 세계의 핵심원리가 바로 하이젠베르그의 불확정성 원리 입니다.
푸리에변환에 나타나는 불확정성 원리.위 그림처럼 시공간 도메인에서 임펄스 신호를 푸리에 변환하면 주파수도메인에선 정현파가되고, 반대로 시공간 도메인에서 정현파를 푸리에변환 하면 주파수도메인에선 임펄스가 됩니다.
즉, 시공간 도메인에서 작은 곳에 모여있는 신호파형은 주파수 도메인에선 널리 퍼져서 나타나고, 반대로 시공간 도메인에서 넓은 곳에 퍼여있는 신호파형은 주파수 도메인에선 좁게 모여서 나타나게 되는 것입니다.
알면 알수록 신비로움 덩어리인 푸리에변환..
참고로, 슈뢰딩거 방정식과 푸리에변환 방정식은 이렇게 생겼습니다.
- 슈뢰딩거 방정식
일반해에 복소수(허수) 성분을 포함합니다.
- 푸리에변환 공식
역시나 가우스의 복소수평면에서 정의됩니다.
