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매거진 책 속에 길이 있네

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계정을 잊어버리셨나요?

by 이준 Nov 05. 2020

좀 재밌는 수학 이야기

수학은 흥미로워

수학, 참 쉽지 않은 단어다. 학교 다닐 때도 그리고 졸업하고 나서도 늘 가까이하기 힘든 친구다. 특히, 중고등학교를 거치며 상당 수가 이 시기에 수학을 포기하고, 멀리하기 시작하지 않을까 싶다. 나에게 수학은 싫어하지 않았지만, 그렇다고 즐겁게 공부할 수도 없었다.

성적을 내야 하는 공부에서 성적이 나지 않으니 참 미운 과목이었다. 그만큼 정말 친해지기 어려운 친구였다. 나중에 대학원에 들어가서야 그제야 서서히 흥미가 생기기 시작했다.

왜 대학원에 가서야 수학에 흥미가 생겼는 지를 생각해보니, 그 원천은 수학을 이해하면서 생겨났던 것 같다. 정확히는 수학보다 통계에 흥미를 느꼈다. 성적에 얽매이지 않으며 생활과 밀접한 수학 이야기를 하다 보니 그제야 실제 수학을 공부한다는 느낌을 받았다.

<틀리지 않는 법, 수학적 사고의 힘>은 그런 재밌는 수학 이야기를 담고 있다. 물론, 단순히 쉬운 수학 이야기를 다루진 않는다. 우리가 학교를 다니면서 배웠던 산술적인 수학 공식 계산보다는 복잡하지만, 페르마 정리, 푸앵카레, 리만 가설과 같은 복잡함 보다는 단순한 이야기다. 약간의 집중력과 수학적 고민이 함께한다면, 더욱 즐겁게 이 책을 읽을 수 있으리라 생각된다.

학창 시절, 수학 장벽에 막힐 때 자주 이용하던 문구가 있지 않은가?

"사칙연산만 잘하면, 사는 데 문제없어~"

오늘은 이 사칙연산 말고도 재밌는 수학을 만나보고자 한다.

때론 철학적으로, 때론 물리적으로 질문에 고민을 해보며 말이다.

사칙연산 말고도 이렇게 수학은 우리 곁에 존재한다.

적당히 재밌고 어려운 흥미로운 수학 이야기! 함께 만나보자.

절대 도착할 수 없는 아이스크림 가게!?

아이스크림이 먹고 싶어, 아이크스림을 간다고 하자. 그럼 당연히, 아이스크림 가게까지 가는 길의 절반을 가야 한다. 그다음 역시 그 지점에서 아이스크림 가게까지의 절반을 또 가야 한다. 그다음은 또 그 절반을 갈 것이다. 이렇게 계속 반복해서 걸어 나갈 것이다. 그럼 점점 아이스크림 가게까지 가깝게 다가가게 될 것이다.

그런데, 아무리 그 과정을 반복해도 우린 아이크스림 가게에 도착할 수 없다. 눈 앞에 아이스크림이 보여도 우린 결코 닿을 수 없는 0이 아닌 거리만큼 떨어져 있다. 이 이야기는 제논의 역설을 설명하는 대표적인 사례다. 결코 목적지에 도착할 수 없다는 것이 제논의 결론이었다.

이 논증은 어떤 목적지이어도 다 적용된다. 우리는 길을 건너는 것도, 한 발짝 내딛는 것도, 아이스크림을 향해 손을 뻗을 수도 없다. 모든 운동이 불가능하다.

엘레아의 제논(출처: 위키백과)

디오게네스라는 사람은 이 논증을 자리에서 일어나 방을 가로지르는 것으로 제논의 역습을 반박했다고 한다. 실제로 우리의 시선으로 봐도 도저히 말이 안 되는 주장이다. 이렇게 움직여서 목적지에 도착할 수 있는 데, 영원히 도착할 수 없다니!

제논의 논증은 어디엔가 문제가 있는 것이 분명하다. 하지만, 그 이상한 부분이 어디일까?

우리가 아이스크림 가게까지 절반식 걸어가는 방법을 수식으로 표현해보면, 아래처럼 쓸 수 있다.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + .......

이처럼 쭈욱 계산하게 될 것이다. 쓰인 다섯 번째 항까지의 합은 약 0.999가 된다. 계속 더 작은 수를 더해도 절대 1이 되지 않는다. 갈수록 1에 가까워지는 수가 될 뿐이다. 이는 순환소수 0.999... 가 1이 될 수 있는 가에 대한 질문과 비슷하다.

0.9999.... 는 1이 될 수 있을까? 수학 등식을 통해 살펴보자.

1) 0.3333.... = 1/3

이 등식은 모두가 동의할 것이다.

양변에 3을 곱해보자.

2) 0.9999... = 3/3 (=1)

아직도 뭔가 의아스럽다면 0.9999.... 에 10을 곱해보자.

3) 10 X(0.999...) = 9.999999....

위 수식에서 0.999...를 빼서 좀 더 편하게 계산해보도록 하자.

4) 10 X(0.999...) -1(0.9999...) = 9.9999.... -0.9990...

-> 9.9999.... = 9

위 식이 이해가 안 된다면, 0.999... 를 x라고 생각해보자.

10X-X = 9 , 즉 9X=9 라는 식이 된다. 드디어 우변에 소수가 제거되었다.

9X=9 즉, 9 X (0.9999)가 9가 되려면 X는 어떤 값이 되어야 할까?

특정 수에 어떤 값을 곱해서 다시 자기 자신이 나오는 방법은 1을 곱하는 것뿐이다.

즉, 0.9999... = 1이라는 논증이 가능하다.

그래도 뭔가 기분이 이상하다. 아래 문제는 어떨까?

1+2+4+8+16+.... = ?

우리가 0.999...에 적용했던 논증을 위 식에 적용한다면, 다른 결론이 나온다.

앞의 식에 2를 곱하면 이렇게 된다.

2X(1+2+4+8+16+...) = 2+4+8+16+32+.....

우변 식은 사실 1+2+4+8+16.. 식에서 맨 앞의 1만 반대쪽으로 넘긴 것이다.

즉, 2X(1+2+4+8+16+...)의 식은 1+2+4+8+16의 식에서 1이 적은 값이 된다.

식으로 표현하면, 아래와 같은 표현이 가능하다.

2X(1+2+4+8+16+..) -1 X (1+2+4+8+16..) = -1

여기서 우리가 0.999..에 적용했던 방법으로 좌변을 정리하면

1+2+4+8+16+... = -1 이 된다. 읭,,,??

점점 더 커지는 무한의 수를 다 더하면 -1이 된다니 이상하지 않은가?

이처럼 희한한 계산 결과는 수학자들 사이에서도 인정받고 있다. 이 수수께끼와 같은 수학에 대해서 크게 실망하지도, 틀렸다, 맞다고 생각하지 않아도 된다. 우리는 0.999가 1과 같지 않다고 우길 수도 있으며, 무한급수의 값이 -1이 된다는 것에 불만을 가질 수도 있다. 실제 이러한 분야를 비표준 해석학이라는 분야에서 이런 종류의 수를 연구하고 고찰하고 있다.

이런 문제가 마주하는 문제는 우리의 직관과 충돌하기 때문이다. 우리는 늘 그래 왔듯이, 산술적 조작에서도 깔끔하게 처리되기를 바라는 데, 동의하기 힘든 어색한 값이 나온다는 문제가 있다. 이런 상황을 수학자들은 어떻게 해결했을까?

어떤 수학자는 상황에 따라 그 값을 부여해야 하는 경우가 있고, 부여하지 말아야 할 것도 있다고 보았다. 또한, 특정한 상황에서 값을 부여해야 한다면, 그 값을 정의해야 한다고 보았다.

대박 날 수밖에 없는 볼티모어 주식 중개인

어느 날 볼티모어 주식 중개인으로부터 편지 한 장이 도착한다. 어떤 주식 종목이 폭등할 것이니 미리 그 종목을 사길 바란다는 주식 종목 추천 편지였다. 일주일 뒤, 정말로 그 편지대로 그 종목이 폭등했다. 며칠 뒤 또 그 편지가 도착한다. 이번에는 해당 종목이 하락할 것이라는 내용이었고, 그 역시 현실로 일어났다.

10주 동안 이 패턴은 반복되었고, 10주 동안 내용이 실제로 현실화되었다. 그리고 11주 차, 그 주식 중개인은 자신에게 투자할 것을 권유한다.

자, 그러면 당신은 어떤 선택을 할까?

10주 동안 꾸준히 적중하며,

능력을 입증했기에 비싼 수수료를 감당하더라도 충분히 투자할만하다 생각하지 않을까?

수학적으로 다가가 보자.

단순 찍기로 주식 상승과 하락을 맞춘다고 했을 때, 해당 변동을 예측할 확률은 1/2이다. 첫 번째 예측과 두 번째 예측을 맞출 확률은 1/4이 되고, 세 번째 예측은 1/8... 위 이야기처럼 열 번째까지 맞추려면 1/1024이 된다.

1/2 X 1/2 X 1/2 .... X1/2 = 1/1024

즉, 아이에 주식 정보가 없는 사람이 열 번 연속으로 예측에 성공하기에는 불가능에 가깝다.

그럼, 이 주식 중개인은 과연 믿을만한 것일까?

반대로 이제, 주식 중개인의 입장에서 생각해보자.

사실 알고 보니, 주식 중개인이 편지를 보낸 사람은 나 혼자가 아니었다!

무려 10,240명에게 편지를 보냈던 것이다.

그 편지의 절반은 주식이 오른다는 내용, 나머지 절반은 떨어진다는 내용으로 말이다.

즉, 10,240명 중 절반 5,120 명은 두 번째 편지를 받지 못했다. 맞춘 절반을 대상으로 두 번째 편지를 보냈고 마찬가지로 그중 절반만이 세 번째 편지를 받았다. 위와 같은 과정을 거쳐 열 번째까지 맞춘 최후의 인원은 10명이 남아있을 것이다.

중도 과정에서 틀려버린 사람들은 이 주식 중개인을 멍청이, 사기꾼이라고 생각할지 몰라도, 최후의 10명은 능력 있는 주식 전문가처럼 비칠 것이다. 편지만으로, 이 정도 신뢰를 쌓아 고객으로 만들어, 수수료를 받는다면 최후의 승자는 주식 중개인이 될 수 있지 않을까? 물론, 등록 후 첫 번째 주식을 맞추리라는 보장은 없지만 말이다.

1~20까지 숫자 중 하나를 떠올려보세요. 혹시... 17인가요?

사람들에게 1~20까지의 수 중 하나를 고르라고 하면, 실제로 17을 제일 자주 고른다고 한다. 마찬가지로 0에서 9까지의 수 중 하나를 고르라고 하면, 7을 제일 많이 고른다고 한다. 반대로 0이나 5로 끝나는 수는 잘 뽑지 않는다고 한다. 무작위로 뽑으라고 했는 데, 해당 수를 고르면 덜 작위적인 느낌이 들기 때문이다.

실제 컬럼비아 대학의 두 대학원생 베른트 베버와 알렉산드라 스카코는 이란의 대통령 선거의 투표 조작 증거로 이 방법을 활용해 보기로 했다. 투표가 만약 진짜 득표수라면, 끝 수는 무작위이어야하고, 0~9까지 숫자가 고르게 분포되어 10%로 모두 같아야 한다. 이란의 득표수는 7이 적절한 몫의 2배에 가까울 만큼 많았다. 이것이 선거 조작의 증거일 수는 없지만, 그런 방향의 암시가 가능하긴 하다.

우리는 늘 추론을 한다. 내일은 반드시 해가 뜬다던가, 운동을 열심히 하면 밤에 잠을 잘 잘 것이다 혹은 아침에 미지근한 물 한 잔을 마시면 속이 편하다 등 다양한 이론을 갖고 살아간다. 살아가며, 그 이론에 부합하는 사례를 발견하면 그 이론에 대한 확신도 더 높아지거나 낮아지기도 한다.

베이즈 추론의 사고방식은 이처럼 증거를 본 뒤에 얼마나 믿게 되었느냐 하는 것은 애초에 얼마나 믿었느냐에도 달려있다고 본다. 물론, 다소 거부감이 느껴질 수도 있다. 과학은 객관적인 것인 데, 당신의 의견이 사람의 믿음, 선입견에 의존한다고 생각하면 기분이 나쁠 수도 있다. 그러나, 신념은 그런 식으로 형성되지 않는다.

예를 들어, 기존 약물을 살짝 변형시킨 신약이 특정 암의 성장을 늦춘다는 가설에 대해 실험에서 유의미한 결과가 나왔다고 하자. 그럼, 당신은 아마 신약의 효과에 대해 굳게 믿을 것이다. 반대로 만약, 플라스틱 스톤헨지 모조품 속에 환자들을 넣었더니 마찬가지로 암 종양이 줄어드는 효과가 있었다고 하자. 그럼, 이것도 믿을 것인가?

아마 아무도 믿지 않을 것이다. 그냥 운이 좋았다고 생각할 것이다. 그 이유는 두 상황에 대해 다른 사전 확률을 포함하고 있었기 때문에, 같은 결과를 보이더라도 증거를 다르게 해석하는 것이다. 이처럼, 베이즈 추론은 귀무가설 유의성 검정에 의해서만 판단하지 않는다.

이처럼 사람의 심리는 수학적 판단에도 영향을 미친다. 아래 리처드 파인먼이 이야기한 일화를 보자.

.. 세상에서 제일 놀라운 일이 오늘 밤 내게 벌어졌습니다. 여기 오다가 주차장을 통과했는데요. 글쎄, 번호판에 ARW 357 이라고 적힌 차를 봤지 뭡니까? 상상이 되나요? 이 주에 있는 수백만 개 번호판 중에서 내가 오늘 밤 바로 그 번호판을 볼 확률이 얼마나 되겠어요!

마찬가지로 리처드 파인먼이 놀란 이유는 저 ARW 357에 대한 사전 확률을 매우 낮게 갖고 있었기 때문이다. 우리 일상 속에서도 이런 상황은 쉽게 느낄 수 있다. 저번 주 로또 번호와 이번 주 로또 번호가 갖다면? 홀짝 게임을 했는 데 다섯 번 연속 홀만 나온다면? 의심이 들지 않겠는가? 사실 따지고 보면, 독립 사건으로 전혀 상관없는 확률이지만 말이다.

대개의 음모론은 이런 식으로 작동한다.

믿을 만한 친구가 보스턴 마라톤 폭탄 사건이 사실은 연방 정부의 내부 소행이라고 이야기한다고 가정해 보자. 이 이론을 T라고 하자. 믿을만한 친구이기에 처음에 그 이야기에 대한 믿음을 0.1 정도 부여한다고 하자. 그러다 또 다른 소식을 뉴스로 접한다.

경찰이 용의자 신병을 확보했고, 살아남은 용의자가 자백했다는 소식이다.

만약, 친구의 의견인 T가 참일 경우 뉴스 정보는 발생 가능성이 낮은 내용이 된다. 그 뉴스 정보들은 T에 대한 신뢰 수준을 떨어뜨리고, 신뢰하지 않게 된다.

친구가 달랑 T만 주지 않는 것은 바로 그 때문이다. 친구는 U라는 의견을 덧붙인다. U는 정부와 언론이 한 통속이고, 신문들과 케이블 채널들은 거짓 정보를 흘리고 있다는 이론이다. 즉, T+U 이론의 사전 확률은 T하나의 사전 확률보다 낮아진다. T 뿐만 아니라 U라는 의견까지 믿어야 하니, 당연히 낮을 수밖에 없다.

그러나, 증거들이 들어오기 시작하며, 그 증거들은 T하나를 죽일 순 있겠지만, T+U가 결합된 의견은 건들지 못한다. U가 T이론의 일종의 코팅 역할을 하는 것이다. 별난 이론들 중 성공한 이론은 공통적으로 이런 속성을 갖고 있다.

현실에서도 비슷한 경우를 어렵지 않게 찾을 수 있다. 최근 코로나 19의 확진자 수 증가는 조작이라는 의견을 T라고 하자. 마찬가지로 뉴스에서 최근 집단 감염 사례와 검사 결과를 보여주며 T가 사실일 경우, 일어나기 힘든 정보를 보여준다. 그러자 U라는 의견을 덧붙인다. 모든 정보는 정부에 의해 통제되고 있으며, 언론은 그 수치를 보고하며 압박할 것이다라는 의견이다.

그렇게 T+U가 결합된 이론은 지난 광복절 광화문을 휩쓸고 지나갔다.

진짜 희한한 그 친구 수학

이 책을 쉽다고 해야 할지, 어렵다고 해야 할지 잘 모르겠다. 쉽다고 하기에는 조금은 집중해서 이해하고 읽어야 하고, 어렵다고 하기에는 높은 수준의 심오한 수학을 다루지 않는다. 적당히 재밌고, 적당히 어려운 그리고 적당히 지적 자극을 해주는 책 같다.

도입부에 이런 이야기가 나온다.

전투기의 기체를 강화하기 위해 전투에서 돌아온 비행기에 박힌 총알을 분석했다. 가장 많이 맞은 부분을 강화하는 것이 옳을까?

순간 아차하면, 당연히 제일 많이 맞은 부위가 적의 공격에 쉽게 노출된다고 볼 수 있으니, 그 부분을 강화해야 하는 것이 어떨까 싶다. 그러나, 한번 더 생각하면 그 부위를 맞은 전투기를 살아 돌아왔고, 돌아오지 못한 비행기는 그 부분이 아닌 부분을 맞아 격추되었다고 볼 수 있다.

문장만으로 만 보면, 참으로 간단한 이야기지만 실제 수학 계산은 굉장히 복잡하고 긴 수식으로 되어있다. 이처럼 수학은 오랜 기간에 걸쳐 정의, 정리되어오며 우리 세대에 이어지고 있는 것이다.

순환소수 0.9999...는 1인가? 무한급수의 합은 몇이 되는가? 이런 문제에 대해 고민할 일은 없을 것이다. 또한, 특정 직업을 제외하고는 삶에서 귀무가설을 세우고 이를 기각할지, p값이 몇 인지도 고민할 일도 없을 것이다. 흔히 사용하는 사칙연산도 아니기에 일상에 더욱 와 닿지도 않고 말이다.

그러나, 책은 이렇게 이야기한다. 우리가 수학을 이해하는 것은 시합을 하기 전 기초 운동을 하는 것과 같다. 시합에 나가는 몸을 만들기 위해서 근력 운동도 하고 유산소 운동을 하듯이, 수학 또한 일상을 살아가는 데 있어 필요한 기초 지식이 될 것이라는 것이다.

오늘 만나 본 사례는 그런 관점에서 가장 인상 싶었던 것들만 정리해 보았다. 책이 워낙 두꺼워서 두 편으로 나눠서 살펴보고자 한다. 수학을 두려워하지 말자. 이 책은 우리를 평가하지도, 이해하지 못한다고 질타하지도 않는다.

수학 그 자체를 즐겨 보는 것만으로도 좋은 시간이 될 것이다.

읽은 책 - 틀리지 않는 법: 수학적 사고의 힘