연산 +. -. ×. ÷
To Mathematics. 19
연산 演算. 식이 나타낸 일정한 규칙에 따라 계산함.
사칙연산, 사칙계산, 가감승제라고도 한다. 어느 말이나 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 이용하는 셈을 말한다.
삶에서 옴팡지게까진 아니어도 무난하게 사는 방법이 있다. 너무 쉽고 흔해서 잊어 버리고 살지만 누구나 알고 있다. 단지 실천이 어려울 뿐. 낄 때 끼고 빠질 때 빠지는 것, 노력해야 할 때 노력하고 쉴 때 쉬는 것. 더하고 덜하고만 잘 해도 인생 술술 풀린다. ‘수학 용어’로 덧셈 뺄셈만 잘해도 괜찮게 산다.
연산은 기본이자 기초다. 문제 해결의 출발점이자 종착역이다. 연산이 얼마나 중요한지,
‘○○이 연산 능력 좋아요’
라는 말이 얼마나 큰 칭찬인지 모를 것이다.
연산 능력을 키우기 위해 비슷한 문제를 수없이 풀어낸다. 이 학습 효과 있다. 풀고 풀다 보면 계산 원리를 득도까지는 아니어도 터득한다. 좋은 약은 그만큼의 독도 있다나? 이 방법 잘 사용해야 한다. 자칫 기계적 반복이 주는 폐해를 고스란히 안을 수 있기 때문이다. 터득했으면 응용하는 것, 적당히, 넘치지 않을 만큼 반복해야 한다. (과유불급) 아이가 싫증을 내면(대부분 충분하지 않은 상태에서 싫증을 내지만) 딱! 멈춰야 한다. 다른 자료(학습 방법)를 주어야 한다. 즉, 전략의 문제다.
1. 덧셈과 뺄셈 (+ plus 합, – minus 차)
중학교 때 사회 선생님은 발음이 특이했다. 이집트를 에지쁘트라 하고, 플러스를 쁘라스라 했다. 나중에 알았다. 일본식 영어 발음이었다. ‘3+8=11을, 3 쁘라스 8 이꼬르 11’ 이런 식이다. 다행히 대부분의 아이들은 잘 알아들었고, 답을 찾아갔다.
초등학교 들어 가면 5월에 ‘덧셈과 뺄셈을 알고 계산을 해 볼까요?’를 배운다. 밭에 과일이 몇 개 있나요? 닭장에 수탉이 두 마리 암탉이 네 마리 있어요. 모두 몇 마리지요? 사이 좋게 세 마리씩 나눠 살게 할까요? 모으니 여섯 마리, 나누니 세 마리가 되었네요. 그러면서 이야기로 만들어 보고(스토리텔링), 식으로 만들어 보는 학습을 한다.
이 시기 아이들은 수 개념 형성이 중요하다. 숫자가 주는 양을 구체화할 수 있어야 한다. 3이라는 수는 전체 양이 7일 때, 10일 때, 100일 때 차지하는 양이 다르다. 전체 양이 3일 때 3이 차지하는 양은 전부다. 4일 때는 대부분이고 5일 때는 많은 양을 차지하며, 전체가 6일 때는 절반만큼, 7일 때는 조금 적고, 8일 때는 더 적다. 즉, 전체에서 주어진 수만큼을 구체화하는 개념을 익혀야 한다. (분수도 전체 양에서 차지하는 양을 이렇게 설명한다)
추상성을 구체화하는 과정이다. 이 단계를 잘 거친 아이들은 단순 계산 너머 학습을 할 수 있다. 고정되어 있지 않은, 여러 가지 방법으로 풀어 보는 사고의 유연성 말이다.
운동할 때 하나둘 셋 넷 구령 붙여 하면 왠지 쉽게 느껴진다. 수도 그렇다. 가르고 모으는 개념이 쉽게 익혀지는 수가 있다. 10이다. 완전체까지는 아니어도 10을 그렇게 취급하자. 완전체 10이 되기 위해서 얼마가 더 있어야 하지? 완전체 10에서 3만큼 뺐다. 얼마 남았지? 즉, 3에 얼마만큼 더해야 완전체 10이 되지? 이 부분을 완벽하게 익히면(수 개념을 확립하면) 그 뒤는 쉽다. 10까지 가르기 모으기 쉽다고 다음 단계 넘어 가지 말고 지겹도록(?) 연습하자. 뇌는 몸이 하는 것을 기억한다.
주변에 있는 물건으로 가르고 모아 보자. 손가락 발가락 동원하여 아주 많이 세어 보자. 그리고 풀이해 보는 거다. (이 부분 정말 중요하다)
‘깊이 있는 학습을 추구한다는 것은 학습자가 교육 내용을 스스로 자신의 것으로 만들고 학습한 것을 새로운 상황에 적용할 수 있도록 소수의 핵심 내용을 심층적으로 학습하게 하는 것을 말한다. 이는 특정 상황에서 학습한 것을 일반화된 형태로 전환하여 다른 상황에 사용할 수 있는 전이로까지 나아갈 수 있어야 한다는 것을 의미한다.’ (초등학교 1~2학년군 수학 교사용 지도서 p.p. 13)
(문제)
‘4-1=3’을 바르게 읽은 것은 어느 것인가요?
‘4 빼기 1은 3과 같습니다.’
‘4와 3의 차는 3입니다.’
(정답. 둘 다 맞다)
2. 곱셈 구구
(교과서에서 곱셈 구구지만 ‘구구단’이라는 용어가 친숙하게 사용되어 여기서는 구구단이라 한다)
2학기가 되면 2학년 교실 복도에 구구단 외우는 소리가 울려 퍼진다. 구구단 송도 있고, 어떤 반(선생님)은 거꾸로 외우기도 한다. 예전 방송에서 틀린 구구단 외는 프로그램이 있었다. ‘3×4=16, 5×2=8’ 이거 정말 어렵다.
구구단은 중국 원나라 시대 때 나왔다고 한다. 얼마나 고급스러운 정보였던지 철저히 비밀에 부쳐 특권계층만 사용했단다. 예나 지금이나 정보는 돈이다.
교과서에 곱셈 구구는 2단-5단-3단·6단-4단·8단-7단-9단-1단 순으로 나온다. 학생들 대부분은 곱셈 구구를 잘 외운다. 기계적으로 외워서 그렇지 술술 외워 댄다. 하지만 원리를 조금만 알면 굳이 외우려 하지 않아도 외워진다.
2단과 5단은 두 배다. 3단과 6단, 4단과 8단도 그렇다. 두 배 전략, 이등분 전략이다. 다음과 같은 4단계 전략을 구사해 보자.
첫째, 하나씩 세기 전략이다.
예를 들어 4×3의 경우 1, 2, 3, 4(검지), 5, 6, 7, 8(중지), 9, 10, 11, 12(약지) 4씩 세 묶음이다. 손가락, 그림 등 구체물을 이용하여 세어 본다.
둘째, 수 세기 전략이다.
덧셈에 기초해서 세어 보는 방법으로, 6×4의 경우, 6을 계속 더해 보기, 6을 두 개씩 묶어서 더해 보기 6, 6, 6, 6이라고 쓰고, 6, 12, 18, 24와 같이 세는 경우다. 물론 손가락을 이용하는 방법도 있다.
셋째, 곱셈에는 교환법칙, 분배법칙, 결합법칙이 들어 있다.
6×8과 8×6은 같다. 교환법칙이다. 8×8은 8×5와 8×3을 더하면 된다. 분배법칙이다. 8×6은 8×5를 해서 40에 8을 더하면 되고, 8×8은 8×9=72에서 8을 빼면 된다. 8×6은 8×3의 두 배이고(두 배 전략), 8×3은 8×6의 반이다.(이등분 전략)
넷째, 형식화 수준 전략이다.
5단은 0, 5의 반복이고, 9단은 십의 자리는 1씩 올라가고, 일의 자리는 1씩 작아진다. 이 단계에서는 그동안 배운 다양한 전략을 구사해 보는 거다.
(여기까지 정독한 사람은 수학에 소질 있거나 그 반대이다)
3. 나눗셈 (÷. 나누어지는 수, 나누는 수, 몫)
나누기를 잘해야 한다. 나누는 것은 공정과 협력의 가치다. 푹 빠져 본 드라마, 두 번 더 본 드라마 ‘나의 아저씨’에 이런 대사가 나온다.
‘응원해 주는 사람이 있다는 것만으로도 숨이 쉬어져.’
우리 사회가 따뜻한 이유는 나눔이 있기 때문이다. 나눠줄 수 있는 마음이 있고, 나눌 수 있는 용기와 실천이 가능한 것은 나눗셈을 잘 한다는 것이다.
초등학교 3학년 수학에 다음과 같은 문제가 나온다.
‘물고기 14마리를 어항 한 개에 2마리씩 담으려고 합니다. 어항이 몇 개 필요한지 구해 봅시다. ’
1) 같은 양이 몇 번 들어 있는지 알아보기
즉, 금붕어를 2마리씩 어항에 담을 때 어항이 몇 개 필요한지 개수를 알아보기 14÷2=7
2) 똑같이 나누어 한 부분이 차지하는 크기 알아보기
즉, 어항 하나에 들어가는 금붕어 수 14÷7=2
나눗셈을 배우는 이유가 단순히 계산을 잘하기 위해서만은 아니다. 주장이나 판단이 이치에 맞도록 추론하고 이해하는 능력을 논리라 할 때, 합리적인 논리적 사고를 갖게 한다. 물론 다른 수학 개념과 연결되고 이해하는 데 필수적인 요소가 나눗셈이다.
하나 더,
덧셈의 검산은 뺄셈으로 하고 뺄셈 검산은 덧셈으로 하는 것처럼, 곱셈 검산은 나눗셈으로, 나눗셈 검산은 곱셈으로 한다.
수학은 가장 쉬운 문제를 가장 어려운 방법으로 푸는 기술이다. (독일 수학자 데이비드 힐버트)
이미지
