[수학논문리뷰] 각을 길이로 잰다. 라디안을 아는가?
라디안 개념의 역사적 분석과 수학적 분석 – 유재근, 이경화
위 도형의 이름을 아는가?
각이다. 각은 놀랍게도 도형이다. 수학적으로는 선도 도형이다. 점도 도형이라고 하지만 약간 논란이 있다.
그렇다면 위의 도형에서 각의 크기는 얼마일까? 40° 정도 되려나? 참고로 각의 크기를 각도라고 한다.
40°를 그리라고 하면 얼마나 정확할까?
우리는 각을 어림하는 것에 서툴다. 생활에서 많이 사용하지 않기 때문이다. 또한 단위 각도를 어림하는 것조차 어렵다. 그런데 단위 각도는 무엇을 말하는 것일까?
우리는 측정을 할 때에 단위를 이용한다. 길이의 단위는 1m 와 1cm를 주로 이용한다. 1cm는 손톱정도, 1m는 어른 키의 허리까지 정도를 이용하여 어느 정도 어림할 수 있다.
그렇다면 단위 각도는 1°라고 해야 할까? 각도기 없이 1°를 그리거나 생각하기는 어렵다. 단위만 알 수 있다면 우리는 번거롭더라도 측정을 할 수 있는데 말이다.
다행히도 우리가 쉽게 알 수 있는 각이 있긴 하다. 바로 직각이다. 이것은 종이를 반듯하게 두 번 접으면 어디서든 만들 수 있다. 사실 주변에 흔하다. 책이나 공책, 지폐 등에서 쉽게 볼 수 있다. 그래서 직각=90°는 쉽게 찾는다. 이 직각을 이용하여 직각의 반정도 되면 45°쯤 되겠지 하고 어림을 할 수 있다. 그러나 이 방법은 한계가 있다. 모든 각이 반으로 계산되지 않는다.
여기에 대한 대안으로 라디안을 소개한다. 소개하려는 논문은 라디안이 계산에 집중되어 있는 상황을 아쉬워한다. 그래서 위의 내용은 라디안을 쓸모를 찾다가 내가 생각한 내용이다. 라디안을 많이 사용하려면 쓸모가 있어야 한다. 쓸모가 있다면 그 개념은 생존하고 널리 퍼진다.
라디안이 수학적으로는 의미가 많다. 삼각함수에도 필요하고, 각을 실수로 표현하기 때문에 다루기 편하다. 이 부분은 논문에서 자세히 다루고 있으나 여기서는 언급만 하도록 한다.
360°=2π라디안
라디안: 길이로 각도를 잰다.
위와 같이 라디안은 호의 길이와 반지름의 길이의 비율이다. 길이가 약분되어 라디안은 단위가 없다. 실수처럼 취급 가능하다는 뜻이다.
이 논문을 읽고 난 후 나는 여전히 60분법이 편하다. 그러나 그 편함이 익숙해서인지, 편리해서인지 분간이 되지는 않는다. 확실한 건 60분법을 배우지 않은 어린아이에게 각의 크기(각도)를 설명해야 한다면 호도법으로 설명하는 것이 더 쉬울 것 같다.
위와 같은 크기의 각을 그리는 상황을 생각해 보자. 또는 각을 아직 모르기 때문에 원이 그려진 동그라미 종이에 벌어진 정도만을 표시할 수 있다고 생각해 보자.
1. 반지름과 같은 길이 정도로 벌려봐
2. 60°정도 벌려봐(1 라디안은 약 57.2°)
1번의 방법이 설명하기 편하다. 우리는 길이에 익숙하며 같은 것을 찾는 것에도 익숙하기 때문이다. 1번의 방법은 다른 단위가 필요하지 않다. 호도법은 각도에 내재되어 있는 본질이기 때문이다.
2번의 방법은 60분법이라는 새로운 단위에 대해서 배워야 하며 어림 또한 쉽지 않다.
각의 크기를 반지름을 단위로 재는 호도법은 어림에도 효과적이다. 측정하기 위해서는 단위가 필요하며 호도법의 단위인 반지름은 눈에 보이는 상황이 많기 때문이다. 그러나 60분법의 단위인 1°는 찾거나 그리기 어려우며 그나마 직각을 이용해야 하는데 직각의 반이라면 반직각이 아니라 90°를 반으로 나누는 식을 사용해야 한다.
이 논문에서 한 구절만 기억해야 한다면 다음과 같다.
길이로 각을 측정한다는 발상이다.
우리는 60분법을 배우지만, 호도법이라는 기술을 알고 있어서 손해 볼 일은 없다. 그리고 간단하다.
내가 학교 다니면서 배울 때에는 호도법을 60분법으로 바꾸는 공식에 열중한 것 같다. 그래서 어렵고 재미없게 느껴진 것 같다. 지금도 상황은 비슷할 것이다. 이 논문을 읽으며 호도법의 쓸모에 대해 생각해 보는 좋은 기회가 되었다. (실생활에서 60분법과 호도법을 떠나 각 자체를 사용하는 일이 없는 것 같다. 어쩌면 세상에는 호도법을 사용하는 사람이 더 많을지도 모르겠다.)
당장 초등 수학에 적용하기는 어려울지 모르지만, 각을 측정하는 방법을 배울 때 언급하는 정도로는 좋을 것 같다. 각도기 없이 각의 크기를 전달해야 하는 상황이라면 호도법이 쓸모는 있다.
역시 수학에서 단위는 중요하다.
