2. 연역논증 1) 정언논리
① 명제의 종류와 정언명제
*유튜브해설 : https://www.youtube.com/watch?v=K0Xt7tHJwOk
지난 몇 편의 포스팅을 통해 논리학의 기초개념들을 간단히 살펴봤습니다. 자고로 기초 개념이란 쉬운 것이 아니라 아니라 중요한 개념이기 때문에 이전 포스팅을 안 읽으신 분들께서는 순차적으로 읽어나가시길 추천드립니다.
이번 포스팅부터는 지금껏 배운 기초개념들을 토대로 좀 더 깊은 이야기로 들어가보려고 합니다. 지난 포스팅에서 우리는 논증의 종류에 크게 두 가지가 있다는 사실을 배웠죠. 하나는 연역 논증, 또 하나는 귀납 논증이었습니다. 이 중 당분간 학습하게 될 영역은 바로 연역 논증입니다. 이 연역 논증은 다시 고전 논리학과 현대 논리학으로 크게 양분되는데요. 고전 논리학이란 아리스토텔레스의 논리학에 기반을 둔 것으로서, 저는 이를 여느 논리학 서적들과 마찬가지로 정언 논리라는 테마로 엮어 살펴볼 예정이고요, 현대 논리학의 내용으로는 기호 논리 및 양화 논리 등이 포합되어 있는데 여기에 대해서는 정언 논리를 다 다루고 나서 순차적으로 건드려 볼 예정입니다. 그럼 각설하고 연역 논증의 첫 단추를 꿰어줄 정언 논리를 살펴보도록 하겠습니다.
정언 논리란 무엇일까요. 답은 간단합니다. 정언 명제들로 이루어진 논증을 다루는 논리 체계가 바로 정언 논리입니다. 그렇다면 정언 명제란 무엇일까요. 이에 대해 답하기 위해 해서는 먼저 명제들의 종류를 살펴봐야 합니다. 일반적으로 명제들의 종류는 다음과 같이 구분됩니다.
명제의 종류
1. 단칭명제
2. 복합명제
3. 정언명제
단칭 명제란 그리고, 또는 등과 같은 연결사가 없이 단일하게 나타낸 것들로서, 예를들어 '강아지는 포유류다', 혹은 '아파트는 건축물이다' 등의 명제를 가리킵니다. 나아가 이러한 단칭 명제는 그 내용에 따라 다시 두 유형으로 나뉩니다. 개체의 속성을 나타내는지, 혹은 개체들 사이의 관계를 나타내는지에 따라 구분되는 것입니다. 전자에 해당하는 예로는 '소크라테스는 남자다' 라는 명제가 포함될 수 있고요, 후자에 해당하는 예는 '소크라테스가 아리스토텔레스보다 오래 살았다' 등의 명제가 포함될 수 있습니다.
다음으로 복합 명제란 연결사를 포함하고 있는 명제들을 가리킵니다. 여기에 해당하는 연결사들은 나중에 더 자세히 다루게 될 테니 여기서는 간단하게 언급만 하고 넘어가려 합니다. 가능한 연결사는 다음과 같은 것들입니다.
연언명제 (and)
선언명제 (or)
조건명제 (if)
쌍조건명제 (if and only if)
부정명제 (not)
물론 이를 다달이 외우실 필요는 전혀 없습니다. 이번 포스팅에서는 그저 '아, 복합명제는 연결사를 포함하는 것이구나' 하는 정도로만 기억하고 넘어가시면 충분합니다.
끝으로 대망의 정언 명제를 살펴볼 차롑니다. 정언 명제란 주어개념과 술어개념이 이루는 집합의 포함 관계를 나타내는 명제를 가리킵니다. 하지만 이렇게 말해서는 잘 와닿지 않을 겁니다. 그럼 한 번 예를 들어보겠습니다.
어떤 남자는 대학생이다
위와 같은 명제가 있습니다. 이 명제에서 주어는 남자, 술어는 대학생이죠. 이들 각각의 집합을 원으로 표시하면 다음과 같습니다.
여기서 주어에 해당하는 남자 집합의 원소는 세상에 존재하는 모든 남자들이며, 술어에 해당하는 대학생 집합의 원소도 마찬가지로 모든 대학생들입니다. 이들 집합 간에는 보다시피 세 영역이 존재합니다. 이들 각각을 1, 2, 3이라고 하겠습니다.
이때 1번 영역이 나타내는 바는 대학생이 아닌 남자를 가리킵니다. 또한 2번은 대학생인 동시에 남자인 경우며, 마지막으로 3번은 남자가 아닌 대학생들입니다. 우리에게 주어진 명제는 '어떤 남자는 대학생이다' 였죠. 이는 다시말해 대학생인 남자가 적어도 한 명 존재한다는 뜻입니다. 논리학에선 이를 집합에 표현하기 위해 대문자 X를 사용합니다.
따라서 이와 같이 2번에 대문자 X를 써넣으면 '아 2번 공간에 최소 하나 이상의 원소가 존재하는구나', 다시말해 '남자인 대학생이 한 명 이상 존재하는구나' 하는 사실을 파악할 수 있는 것입니다.
이처럼 정언 명제란 주어와 술어의 포함관계를 나타내기 위한 명제이며, 그 종류는 다음의 네 가지로 나뉩니다.
정언 명제가 이처럼 네 가지로 나뉘는 이유는 아주 간단합니다. 상식적으로 두 개의 집합이 가질 수 있는 포함 관계는 세 가지 경우 밖에 없기 때문입니다. 즉 아래 이미지에 나타낸 것과 같이 완전히 포함되거나, 혹은 완전히 배제되거나, 그도 아니면 일부만 포함되는 경우입니다.
완전히 포함되는 경우는 1번(모든 S는 P이다)에, 완전히 배제되는 경우는 2번(모든 S는 P가 아니다)에, 그리고 일부만 포함되는 경우는 3번(어떤 S는 P이다),4번(어떤 S는 P가 아니다)에 해당하는 것입니다. 이들 명제들의 이름은 각각 다음과 같습니다.
조금 복잡해 보이지만 어려울 건 전혀 없습니다. 전칭은 '모든', 특칭은 '어떤' 으로 시작하고 있죠. 다시말해 전칭이란 주어의 모든 구성원을 가리키고, 특칭이란 주어의 일부 구성원을 가리키는 것입니다. 또한 긍정이란 무엇무엇 '이다' 라는 긍정 어미로 끝나는 것이고, 부정이란 무엇무엇이 '아니다' 라는 부정 어미로 끝나는 것을 뜻합니다. 참고로 전칭과 특칭은 명제의 양을 나타내며, 긍정과 부정은 명제의 질을 나타냅니다. 여유가 되신다면 같이 기억해두시길 추천드립니다.
여기에 보태 한 가지 더 외울 게 남아 있습니다. 바로 이 네 명제들의 약어입니다. 논리학에서는 이 명제들을 간단하게 지칭하기 위해 다음과 같은 약어로 표기합니다.
따라서 만약 제가 'A 명제' 라고 말하면 여러분은 바로 '모든 S는 P이다' 라는 형태가 머릿속에 떠올라야만 합니다. 이들 약어의 기원은 다음의 라틴어에서 유래했습니다.
라틴어 각 단어의 첫번째, 두번째 모음을 보시면 a, i, e, o 를 확인할 수 있죠. 즉 이들 알파벳이 차례로 긍정 명제와 부정 명제를 순서대로 나타내게 된 것입니다. 아무튼 이들 약어는 꼭 외우셔야만 정언논리를 손쉽게 이해할 수 있습니다. 개인적인 팁을 드리자면, 저는 A 명제의 경우 영어단어 all, E 명제는 empty, I명제는 적어도 하나 있다는 뜻에서 숫자 1, 그리고 O 명제는 '어떤'과 '아니다'에 들어가는 '이응'을 연상해서 기억했습니다. 여러분도 각자 최선의 방법으로 꼭 암기하고 넘어가시길 바랍니다.
그럼 이제 각 명제를 벤 다이어그램으로 어떻게 표현하는가 살펴보고 포스팅을 마무리 짓도록 하겠습니다. 먼저 a 명제입니다.
주어진 명제에 따르면 1번 영역엔 원소가 존재하지 않죠. 이를 표기할 때 한 가지 주의할 점은 논리학에선 원소가 존재하지 않는 공간을 깜하게 색칠한다는 점입니다. 이는 고등학교 시절 학교에서 집합을 배울 때 표기한 방법과는 전혀 반대이기 때문에 헷갈리시는 일 없도록 주의하시길 당부합니다. 아무튼 여러분은 이 그림만 보시더라도 모든 강아지는 동물이구나 하는 점을 읽어내실 수 있어야 합니다. 그렇다면 이제 나머지 명제들도 모두 표시하실 수 있을 것입니다.
E 명제의 경우는 모든 강아지가 동물이 아니기 때문에 2번 영역을 색칠해주시면 되고요.
I 명제는 2번 영역에 대문자 X를 표시함으로써 동물인 강아지가 최소 하나 이상 존재한다는 것을,
그리고 O 명제는 1번 영역에 대문자 X를 표시해서 동물이 아닌 강아지가 최소 하나 이상 존재한다는 것을 나타낼 수 있습니다.
이렇게 해서 오늘 준비한 내용을 모두 마쳤습니다. 생소한 개념들이라 아마 머리가 지끈하셨을지도 모르겠지만, 생소할 뿐 어려운 개념은 절대 아닙니다. 오늘 배운 내용을 간단하게 정리하면 다음과 같습니다.
참고로 오늘 배운 내용들 모두 2천년 전에 아리스토텔레스가 썼던 책에 고스란히 실려 있는 것들입니다. 새삼스레 느끼는 것은, 이 세상엔 시간이 흘러도 낡지 않는 것들이 있구나 하는 점입니다. 겉보기엔 좀 까다롭고 쓸모 없어 보일지 몰라도, 무려 2천년 전 사람의 호흡과 숨결을 더듬어 본다는 자부심을 갖고 공부에 임한다면 이 모든 내용들이 조금은 다르게 느껴지실 지도 모르겠습니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면 심심하실 적에 유튜브 채널도 한 번 놀러와주세요^^
https://www.youtube.com/channel/UCT6CEgi8KQN2MCIvCLMl-bQ
