2. 연역논증 1) 정언논리
②대당사각형과 직접추리
*유튜브 해설 : https://www.youtube.com/watch?v=zLc6x7zO9rg
지난 포스팅에서는 정언 명제가 무엇인지 아주 간단하게 살펴봤습니다. 정언 명제란 주어와 술어 집합의 포함관계를 나타낸 것으로서 그 종류로는 다음의 네 가지가 있었죠.
만약 이 명제들의 약어가 아직 헷갈리신다면 이번 포스팅부터 어렵게 느껴질 수 있으니 꼭 암기하고 넘어가길 권장합니다.
이번 포스팅에서는 이 정언명제들 간의 논리적인 관계에 대해서 살펴보려 합니다. 즉 A명제와 E명제, I명제, O명제 등이 서로 간에 어떠한 논리적 관계를 갖는가 하는 점이 이번 포스팅에서 학습할 내용입니다. 이들간에 가능한 논리적 관계는 다음의 네 가지입니다.
함축. 모순. 반대. 소반대
이 중 함축 관계를 제외한 나머지 모순과 반대, 그리고 소반대 관계는 이미 논리학 기초개념에서 공부했던 것들입니다. 따라서 자세한 개념은 해당 포스팅을 참고하길 바라며, 여기서는 아주 간단하게만 살펴보려 합니다.
먼저 함축입니다. 가령 (가) 명제가 (나) 명제를 함축한다는 것은 무슨 뜻일까요. 이는 (가) 명제가 참이면 (나) 명제는 무조건 참이어야 한다는 것을 뜻합니다. 이러한 관계가 성립할 때 (가) 명제는 (나) 명제를 함축하는 것입니다.
반면 모순이란 동시에 동일한 진리치를 가질 수 없는 관계입니다. 가령 (가) 명제와 (나) 명제가 모순이라면 (가)와 (나) 명제는 늘 반대의 진리치를 가집니다. 다시말해 (가) 명제가 참이면 (나) 명제는 거짓, (가) 명제가 거짓이면 (나) 명제는 참이어야 하는 겁니다.
다음으로 반대 관계란 동시에 참일 순 없지만 동시에 반대일 수는 있는 관계입니다. 즉 (가) 명제와 (나) 명제가 반대 관계라면 둘은 동시에 참일 수는 없지만 동시에 거짓일 수는 있는 관계입니다.
마지막으로 소반대 관계란 동시에 참일 수는 있지만 동시에 거짓일 수는 없는 관계를 뜻합니다.
그렇다면 앞서 배운 네가지 정언 명제들 간에 맺을 수 있는 관계를 살펴보겠습니다. 아래 이미지를 보시면 각각 주어와 술어는 같고 포함 관계만 다른 네 개의 정언 명제들이 있습니다.
먼저 A명제와 I명제를 보겠습니다. A 명제가 참일 경우 I 명제의 진리치는 무엇인가요.
'어떤 책'은 '모든 책' 안에 포함되므로 A명제가 참이라면 당연히 I 명제도 참이겠죠. 따라서 A명제는 I명제를 함축하고 있습니다. 마찬가지로 E 명제가 참이라면 O 명제도 당연히 참이겠죠. 따라서 E명제 역시 O명제를 함축하고 있습니다. 다만 A명제와 E 명제가 각각 거짓일 때 우리는 I 명제와 O명제의 참 거짓 여부를 알 수는 없습니다.
덧붙여 함축 관계는 대소관계라고도 부릅니다. 이는 A명제와 I명제, 그리고 E명제와 O명제가 각각 질은 같지만 양만 다르다는 점에서 대명제, 소명제라는 별칭이 붙은 것입니다.
그럼 다음으로 A명제와 E 명제의 관계는 어떤가요. 둘은 동시에 참일 수 없죠. 만약 모든 책은 소설이라는 명제가 참이라면 E 명제는 거짓이며, E 명제가 참이라면 A 명제가 거짓일 겁니다. 하지만 동시에 거짓일 수는 있습니다. 소설인 책도 있고, 소설이 아닌 책도 있다면 A 명제와 E 명제는 둘 다 거짓이기 때문입니다. 이처럼 동시에 참일 수는 없고, 동시에 거짓일 수는 있는 관계를 반대 관계라고 합니다. 따라서 A 명제와 E 명제는 반대관계에 해당합니다.
이번엔 I 명제와 O 명제의 관계를 보겠습니다. 둘은 동시에 참일 수 있을까요? 당연히 가능하죠. 어떤 책은 소설이고, 또 다른 책은 소설이 아닐 가능성이 충분히 있습니다. 그렇다면 동시에 거짓일 수도 있을까요? 그것은 불가능합니다. 어떤 책은 소설이거나, 소설이 아니거나 둘 중 하나에 반드시 해당해야만 합니다. 따라서 I 명제와 O 명제는 소반대 관계에 해당합니다.
이제 마지막으로 A 명제와 O 명제의 관계를 보겠습니다. 모든 책이 소설이라는 명제가 참이라면 '어떤 책은 소설이 아니다' 라는 명제는 거짓이겠죠. 반대로 모든 책이 소설이라는 명제가 거짓이라면, '일부의 책은 소설이 아니다' 라는 명제는 참이 됩니다. 따라서 이 두 명제는 항상 서로 다른 진리치를 가지기 때문에 모순 관계에 해당합니다. 또한 마찬가지 원리로 E 명제와 I 명제도 모순관계에 해당합니다.
이렇게 해서 완성된 아래의 도식이 바로 그 유명한 대당사각형입니다.
그렇다면 우리는 이 대당사각형을 통해 무엇을 할 수 있을까요? 다름아닌 직접추리를 할 수 있습니다. 논리학에서 직접 추리란 한 명제를 통해 다른 명제를 직접적으로 추론해내는 것을 뜻하는데요. 이를테면 여러분은 '모든 인간은 동물이다' 라는 (가) 명제를 통해 (나) 명제를 도출해낼 수 있죠.
이처럼 한 명제로부터 다른 명제를 직접적으로 추론하는 것이 바로 직접 추리입니다.
아울러 대당사각형은 이같은 직접 추리를 돕는 매우 훌륭한 도구입니다. 한 번 예를 들어보겠습니다.
만약 A 명제가 참이라고 할 때 우리는 추가적으로 어떤 사실을 알 수 있을까요? 일단 E 명제가 거짓이라는 사실을 알 수 있죠. A명제와 E 명제는 동시에 참일 수 없는 반대관계이기 때문입니다. 또한 함축관계에 따라 I 명제가 참이라는 사실을 알 수 있죠. 뿐만 아니라 모순 관계에 해당하는 O 명제는 거짓이라는 사실도 알 수 있습니다. 이처럼 우리는 어떤 명제가 주어졌을 때 대당사각형을 이용해서 다른 정보들을 직접적으로 추리할 수가 있습니다.
연습차원에서 한 가지 예를 더 살펴보겠습니다.
이번엔 O 명제가 거짓이라고 가정하겠습니다. 이때 우리가 알 수 있는 것들은 무엇일까요. 먼저 우리는 모순관계에 따라 O 명제가 거짓일 때 A 명제는 참이라는 사실을 알 수 있죠. 또한 함축 관계에 따라 E 명제가 거짓이라는 사실도 알 수 있습니다. 뿐만 아니라 I명제와 O명제는 동시에 거짓일 수는 없으므로 I 명제가 참이라는 사실도 추론할 수 있죠.
아직 조금 헷갈리신다면 종이에 대당사각형을 그려보시고 몇 번 연습해보시면 금방 익숙해지실 겁니다.
이번 포스팅에서 다룬 내용을 정리하면 이렇습니다.
이상이 이번 포스팅에서 다뤄진 내용입니다. 덧붙여서 직접추리에는 대당사각형 말고도 환위, 환질, 이환 등의 여러 방법들이 존재하는데요. 이는 다음 포스팅에서 다룰 예정입니다. 아울러 오늘날 현대 논리학에서는 대당사각형에 대한 입장이 이번 포스팅에서 소개해드린 것과는 많이 다릅니다. 그 내용은 나중에 다시 소개해드리도록 하겠습니다.
긴 글을 읽어주셔서 감사합니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 적에 유튜브도 한 번 놀러와주세요^^
https://www.youtube.com/channel/UCT6CEgi8KQN2MCIvCLMl-bQ
