2. 연역논증 1)정언논리
⑧연쇄삼단논법
그리고 복합적 정언 논증
*유튜브 해설 : https://www.youtube.com/watch?v=xdzJ8kNNcEQ
지난 포스팅에서는 정언삼단논법과 그것의 타당성을 평가하는 방식에 대해 살펴봤습니다. 이번 포스팅에서는 좀 더 나아가서 이전보다 복잡한 구조인 연쇄삼단논법과 복합적 정언명제에 대해 살펴보려고 합니다. 조금 어렵게 느껴지실 수도 있지만 그 원리는 이전 포스팅에서 다룬 것과 동일하기 때문에 걱정하실 필요는 전혀 없습니다. 그럼 바로 시작하겠습니다.
먼저 연쇄삼단논법의 예시부터 살펴보겠습니다.
보다시피 이전 포스팅에서 학습한 표준적인 정언삼단논법과는 달리 논증을 이루는 명제의 개수가 세 개가 아닌 네 개나 됩니다. 이처럼 연쇄삼단논법에서는 명제의 개수가 네 개, 다섯 개, 혹은 그 이상일 수도 있습니다. 또한 등장하는 개념도 교직원, 교수를 좋아하는 사람, 대학생, 총장이 좋아하는 사람, 무려 네 개나 됩니다.
이를 논리학에서 연쇄삼단논법이라 부르는 이유는 두 전제를 통해 하나의 결론을 도출하고 나면 그 결론이 다시 새로운 전제가 되어 전제 3, 그리고 결론과 삼단논법의 형태를 갖추기 때문입니다. 다시말해 이 논증은 삼단논법이 연쇄적으로 맞물려있다 하여 연쇄삼단논법이라는 이름이 붙은 것입니다.
그렇다면 질문을 드리겠습니다. 위 논증에서 전제1과 전제2에서 매개념은 뭔가요? 전제1과 전제2에서 동시에 등장하는 '교수를 좋아하는 사람'이 매개념이죠. 즉 우리는 전제1, 전제2를 통해 교직원과 대학생 사이의 관계를 파악할 수가 있습니다.
나아가 새로운 전제와 전제3에서 매개념은 대학생입니다. 따라서 우리는 new전제와 전제3을 통해 교직원과 총장의 관계를 파악할 수 있습니다. 실제로 결론을 확인해보시면 교직원과 총장의 관계가 언급되고 있죠. 물론 우린 아직 결론에서 언급된 포함관계가 사실인지 아닌지는 알지 못합니다. 따라서 벤 다이어그램을 통해 처음부터 다시 살펴보도록 하겠습니다.
먼저 전제1과 전제2를 벤 다이어그램으로 표시해보겠습니다.
전제 1. 모든 교직원을 교수를 좋아한다.
전제 2. 모든 대학생은 교수를 좋아하지 않는다.
두 전제에는 세 개념이 나와있기 때문에 다음과 같이 세 개의 원을 겹치게 그리면 되죠. 각각의 원은 교수를 좋아하는 사람, 교직원, 대학생을 나타냅니다.
이제 1번 전제를 표시해보겠습니다. 모든 교직원이 교수를 좋아한다는 말은 갈색 부분이 공집합이라는 뜻이죠. 따라서 그곳을 색칠하면 됩니다.
다음은 2번 명젭니다. 대학생 중 교수를 좋아하는 사람이 없다는 말은 바로 파랑색 부분에 해당하는 원소가 존재하지 않는다는 뜻입니다. 따라서 이곳도 색칠하면 됩니다. 이제 완성된 그림을 통해 교직원과 대학생의 관계를 추론해볼까요?
보다시피 빨간색 공간이 색칠되어 있죠. 이는 교직원과 대학생의 교집합이 공집합이라는 것을 뜻합니다. 다시말해 '모든 교직원은 대학생이 아니다'라는 것이죠. 물론 주어와 술어의 순서를 바꿔서 모든 대학생은 교직원이 아니라고 해도 같은 의미입니다. 하지만 전제3을 보면 알 수 있듯 매개념이 대학생이므로 대학생을 술어에 위치시키는 게 더 보기 좋을 겁니다.
new 전제. 모든 교직원은 대학생이 아니다
전제 3. 총장이 좋아하는 모든 사람은 대학생이다
아무튼 이제 새로 주어진 전제와 전제3을 벤 다이어그램으로 나타내봐야겠죠. 두 명제에 등장하는 개념은 교직원, 대학생, 그리고 총장이 좋아하는 사람, 이렇게 세 개이므로 세 개의 원을 겹쳐 그리겠습니다. 각각의 원은 대학생, 교직원, 총장이 좋아하는 사람입니다.
먼저 new전제부터 표현해보겠습니다. 모든 교직원은 대학생이 아니라는 말은 교직원 영역 중에 갈색 공간에 해당하는 공간이 공집합이라는 뜻이죠. 따라서 이만큼을 색칠하도록 하겠습니다. 다음은 전제3입니다. 전제 3에 따르면 총장이 좋아하는 사람의 집합에서 파랑색 공간에 해당하는 공간이 공집합이므로 이 공간을 색칠하면 되겠죠. 이제 이를 토대로 결론과 비교해보기만 하면 됩니다.
결론이 나타내는 바는 교직원 집합과 총장이 좋아하는 사람 집합의 교집합에 해당하는 빨간 공간이 공집합이라고 하는 것이죠. 보다시피 빨간색 영역에는 빗금이 색칠되어 있으므로 결론이 주장하는 바는 전제의 내용과 일치하고 있습니다. 따라서 이 논증은 타당한 논증입니다.
이 같은 방식이 차츰 익숙해진다면 사단이 아닌 오단 육단 등 훨씬 많은 전제들로 구성되어 있는 논증도 여러분은 얼마든지 그 타당성을 평가할 수 있을 것입니다.
그렇다면 이번엔 조금 다른 논증을 살펴보겠습니다. 이름하여 복합적 정언논증라고 하는데요. 이름은 복잡하지만 이미 여러분들이 배운 개념입니다. 먼저 논증부터 살펴보시면 이런 식입니다.
두번째 세번째 전제의 술어를 살펴보시면 '~이거나' 라는 접속사가 존재하죠. 이는 영어에서 'or'에 해당하는 접속사인데요. 이처럼 명제 안에서 접속사가 여러 개념을 동시에 연결하고 있는 정언명제를 복합적 정언명제라고 합니다. 또한 복합적 정언명제를 포함한 논증을 가리켜 복합적 정언논증이라 하는 것이죠.
아무튼 다시 이 논증을 자세히 살펴보면 연쇄적 삼단논법과는 조금 다른 점이 하나 있습니다. 비록 명제의 개수가 4개인 점은 동일하지만 논증에 등장하는 개념의 개수가 다르죠. 잘 세어보시면 부유한 사람, 나쁜 남자, 이기적인 사람, 총 세 가지 뿐이 없습니다. 앞서 살펴본 연쇄삼단논법에서는 총 네 가지 개념이 등장했던 것과는 대조적인 모습입니다. 따라서 복합적 정언논증은 중간에 결론을 도출하는 과정 없이 세 개의 원만 그려서 바로 풀어낼 수 있습니다. 그렇다면 위 논증의 타당성을 바로 평가해보도록 하겠습니다.
먼저 전제1을 표시해보면, 부유한 사람의 집합에서 나쁜 사람에 해당하는 보라색 공간에 빗금을 색칠하면 되죠.
다음으로 전제 2에 따라 부유한 사람은 1번, 2번, 3번 중 최소 한 곳에 속해야 하죠. 그런데 전제1에 따라 1,2번 공간에는 이미 빗금이 칠해져 있으므로 일부 부유한 사람이 존재할 수 있는 공간은 3번입니다.
이어서 전제3을 보겠습니다. 전제3에 따르면 이기적인 사람은 나쁜 사람이나 부유한 사람에 속해야만 하죠. 따라서 나쁜 사람도 아니고, 부유한 사람도 아닌 파란색 공간은 지우도록 하겠습니다.
이제 최종적으로 남은 과제는 과연 위 그림이 결론을 함축하고 있는지만 확인해보면 됩니다. 그림을 보시면 나쁜 사람이 아닌 빨간 영역에 최소 하나 이상의 원소가 존재한다고 표시되어 있습니다. 따라서 이 논증은 타당한 논증이라 할 수 있습니다.
이로써 정언논리를 통해 다루고자 준비한 모든 내용을 다 살펴봤습니다. 생소하기도 하고, 또 다소 어렵게 느껴지는 부분도 있었을 테지만 반복해서 읽다 보면 누구나 완벽하게 이해하실 수 있을 겁니다. 혹시라도 이해가 안 되는 내용이 있으실 땐 댓글을 남겨주신다면 도움을 드릴 수 있도록 노력하겠습니다. 그동안 정언논리 시리즈를 읽어주신 모든 분들께 진심으로 감사드리며, 좀 더 시간이 흐른 후에 명제논리를 주제로 정리하여 다시 돌아오도록 하겠습니다. 오늘도 긴 글 읽어주신 모든 분들에게 감사드립니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 적에 유튜브도 한 번 놀러와주세요^^
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