2. 연역논증 1)정언논리
⑦정언삼단논법과 타당성 평가
*유튜브 해설 : https://www.youtube.com/watch?v=YIo9lOA9rvo
지금까지 정언논리에 관한 굉장히 많은 개념들을 배웠습니다. 정언명제의 종류부터 시작해서 대당사각형, 주연, 환위, 환질, 이환, 그리고 존재함축에 대한 현대 논리학의 입장에 이르기까지 헷갈리는 개념도 많았고, 또 외워야 할 것들도 상당히 많았죠. 이번 포스팅에서는 드디어 정언 논리의 꽃이라할 수 있는 정언삼단논법에 대해 살펴보려 합니다. 다만 다소 복잡한 내용들은 과감히 생략하려 합니다. 이를테면 정언명제의 네 가지 격이라던가, 혹은 열 다섯 가지 타당한 형식 등이 그에 속하는데요. 그 이유는 이 포스팅에서 다뤄지는 내용만 잘 이해하더라도 얼마든지 정언삼단논법의 타당성을 평가할 수 있을거라 판단했기 때문입니다. 따라서 본 포스팅의 내용 바로 시작 하겠습니다.
아마 여러분은 이미 삼단논법에 대해 많이 들어보셨을 겁니다. 가령 이런 것이죠.
두 개의 전제가 있고, 두 전제로부터 하나의 결론을 도출해내는 논증이 바로 삼단논법입니다. 그렇다면 정언삼단논법은 뭘까요. 답은 간단합니다. 논증을 구성하는 명제들이 모두 정언 명제면 됩니다. 예를 들면 이런 것이죠.
보다시피 주어진 논증을 이루고 있는 각 명제들은 정언 명제입니다. 또한 그들의 유형을 살펴보면 각각 A명제, O명제, 그리고 O명제임을 확인할 수 있습니다. 논리학에서는 각 명제들의 유형을 그대로 옮겨 AOO를 주어진 논증의 식이라고 부릅니다.
그렇다면 이쯤에서 한 가지 질문을 드리겠습니다. 위 논증은 과연 타당한 논증일까요? 쉽게 단언하기에는 어딘가 개운치 않죠. 따라서 지금부터 정언삼단논법의 타당성을 평가하는 방식을 살펴보려 하는데요. 그전에 몇 가지 용어부터 짚고 넘어가도록 하겠습니다. 결코 어려운 내용은 아니므로 잘 따라오시기 바랍니다.
먼저 결론부를 보겠습니다. 결론부에서 주어에 해당하는 것은 소개념, 그리고 술어에 해당하는 것은 대개념이라 합니다. 그런데 이들은 전제에서도 언급되고 있는 것들이죠. 따라서 소개념을 포함하는 전제를 소전제, 대개념을 포함하는 개념을 대전제라고 합니다. 그럼 한 가지가 남죠. 바로 심장이라는 개념입니다. 이는 결론에는 나와 있지 않지만 소전제와 대전제를 매개해주는 역할을 한다하여 매개념이라 합니다. 이들 개념을 이용하여 주어진 논증을 기호화 하면 다음과 같습니다.
소개념은 S, 대개념은 P, 그리고 매개념은 M이죠. 여기에 덧붙여 부정명제와 주연여부도 같이 표기해두도록 하겠습니다.
여기까지 하면 드디어 여러분은 정언삼단논법의 타당성을 평가할 준비가 된 것입니다. 표준적인 정언삼단논법이 타당성을 갖추기 위해서는 다음의 조건들을 만족시켜야 합니다.
일단 각 조건이 등장하게 된 배경은 잠시 후에 살펴보기로 하고, 오른편에 위치한 논증이 이 조건들을 준수하고 있는지부터 확인해보겠습니다.
먼저 첫번째 조건입니다. 오른쪽에 기호화해둔 논증을 보시면 등장하는 개념은 S, P, M총 세개 이므로 첫번째 조건은 만족하고 있습니다.
다음으로 두번째 조건입니다. 주어진 논증은 매개념이 소전제에서 주연되고 있으므로 두번째 조건도 만족합니다. 나아가 결론부에서 주연된 대개념은 전제에서도 이미 주연되었으므로 세번째 조건 역시 만족하고 있습니다.
다음으로 두 전제 중 부정명제는 하나이므로 네번째 조건도 준수하고 있죠. 뿐만 아니라 부정 명제인 전제가 하나 있고 나아가 결론도 부정이므로 다섯째 조건 역시 만족하고 있습니다. 끝으로 마지막 조건은 두 전제가 전칭명제일 경우에 해당하는 것인데 주어진 논증에서 전칭명제는 하나 뿐이 없으므로 여섯번째 조건도 만족하고 있습니다.
따라서 이 논증은 모든 조건을 만족하므로 타당한 정언삼단논법입니다.
조금 복잡하게 느껴지시죠. 다행히도 이보다 훨씬 간편하고 쉬운 방법이 존재합니다. 하지만 그 방법을 소개하기 전에 이 여섯가지 조건들이 발생한 배경을 혹시라도 궁금해 하실 분들을 위해 아주 간단하게 짚고 넘어가도록 하겠습니다. 지금부터 설명할 부분은 만약 이해가 안 되신다면 스킵하셔도 전혀 상관 없습니다.
먼저, 첫째 조건입니다. 정언삼단논법은 대개념과 소개념을 매개념으로 연결시키는 구조입니다. 따라서 논증 속에는 이 세 개를 초과한 개념이 나타날 수는 없겠죠. 바로 이것이 첫번째 조건의 내용입니다.
다음으로 두번째 조건을 보겠습니다, 주연된다는 개념은 주어진 명제가 해당 개념의 원소 전체에 대한 언급을 하고 있다는 뜻이었죠. 따라서 매개념이 대개념과도 주연되지 않고, 소개념과도 주연되지 않는다면 대전제와 소전제의 관계를 알 수가 없습니다. 이해가 안 된다면 위 이미지에 삽입된 두 명제를 살펴보겠습니다. 두 명제에서 매개념에 해당하는 남자는 주연되지 않고 있죠. 이처럼 매개념이 주연되지 않으면 학생과 간호사, 즉 소개념과 대개념의 관계를 정확히 파악할 수가 없는 것입니다.
이제 세번째 조건을 보겠습니다. 주연은 한 개념의 전체를 언급하는 겁니다. 만약 전제에서는 한 개념의 일부만 언급하고 있는데 결론에서 전체를 언급한다면 이는 전제를 벗어나는 결론이겠죠. 따라서 이는 타당하지 않은 논증이 됩니다.
다음으로 네번쨉니다. 두 전제가 모두 부정인 경우 우리는 새로운 정보를 얻을 수가 없습니다. 이를테면 위 이미지에 삽입된 명제들을 보겠습니다 세 쌍의 명제들은 모두 부정 명제죠. 우리는 이처럼 부정 명제로 묶인 논증에서 학생과 간호사의 관계에 대한 추가적인 정보를 얻을 수 없습니다.
이제 다섯째입니다. 만약 결론이 긍정명제라면 결론의 유형은 A명제 아니면 I 명제겠죠. 이 두 유형은 S가 P에 부분적으로, 혹은 전체적으로 포함된다는 것을 뜻하는데요. 그러한 포함의 내용을 담기 위해선 두 전제 모두 긍정이어야 합니다. 만약 그렇지 않고 전제 중 하나라도 부정명제가 있다면 결론에서 결코 긍정명제가 나올 수가 없습니다. 위 이미지에 삽입된 예시 명제를 보시면 두번째 전제가 배제의 내용을 포함하게 되자 결론이 포함의 내용을 담을 수 없는 모습이 보이죠.
마지막으로 여섯번째 조건입니다. 이는 이미 이전 영상에서 부울의 견해를 통해 확인했던 바죠. 부울의 견해에 따라 전칭명제에서 특칭명제를 추론할 수는 없는 것입니다.
이로써 간단하게 각 조건들의 배경을 살펴봤습니다. 이는 거듭 말씀 드리지만 혹시라도 궁금해 하실 분들을 위한 것이므로 이해가 안 되신다면 여섯 조건을 암기하시는 것만으로도 충분합니다.
하지만 그렇다 하더라도 이 여섯 가지 조건을 외우는 것이 그리 쉬운 일은 아닐 겁니다. 따라서 보다 간편하고 직관적인 방식을 하나 소개해드리려 합니다. 바로 각 명제들이 나타내는 바를 벤 다이어그램으로 그려보고 눈으로 확인해보는 방법입니다.
아까 살펴본 명제를 다시 보겠습니다.
이 중 두 전제를 표현하기 위해서는 몇 개의 원이 필요할까요. 등장한 개념은 사람, 심장, 생물, 즉 세 개의 개념이므로 세 개의 원을 겹쳐 그립니다.
이 원들은 각각 사람의 집합, 생물의 집합, 그리고 심장이 있는 것들의 집합을 나타내고 있습니다.
그렇다면 첫번째 전제부터 이 그림 위에 표현해보겠습니다. 첫번째 전제--모든 사람은 심장이 있다--는 사람 집합과 심장 집합의 관계죠. 모든 사람이 심장이 있다는 말은 다시말해 사람 집합에 해당하는 원에서 심장 집합과 겹치지 않는 바로 이 부분이 공집합이라는 거죠. 따라서 아래편에 첨부한 이미지와 같이 색칠해주면 됩니다.
다음으로 두번째 전제--어떤 생물은 심장이 없다--를 보겠습니다. 두번째 전제는 생물 집합과 심장 집합의 관계죠. 그 내용을 보면 생물 집합에 속하는 원에서 심장 집합과 겹치지 않는 부분에 적어도 하나 이상의 어떤 생물이 존재한다는 이야기하고 있죠. 따라서 그 공간에 엑스를 써 넣으면 됩니다.
이로써 두 전제를 벤 다이어그램에 표시했습니다. 이제 결론을 표시할 차롑니다. 결론에 해당하는 명제--어떤 생물은 사람이 아니다--는 생물과 사람의 관계를 나타내고 있죠. 그 내용은 생물 집합에서 사람에 속하지 않는 갈색 영역에 최소 하나 이상의 어떤 생물이 존재한다는 건데요. 그 테두리 안에는 1번과 2번 영역이 존재합니다.
만약 둘 중 아무데나 한 곳에 원소가 있다면 결론은 참이 됩니다.
자명하게도 우리는 앞서 두 개의 전제를 통해 2번 영역에 엑스가 존재한다는 사실을 확인할 수 있죠. 따라서 두 전제가 결론을 포함하고 있으므로 이 논증은 타당한 논증입니다.
이로써 정언삼단논법에 대해 대략적으로 훑어 봤습니다. 혹시라도 오늘 배운 내용을 적용해보고싶거나 본인의 이해도를 스스로 점검해보고 싶다면 다음 논증의 타당성을 평가해보시길 바랍니다. 참고로 약간의 트릭이 있으니 이 점 유의해서 푸셔야 할 겁니다.
아무쪼록 오늘도 긴 글을 읽어주셔서 감사합니다.
*부족한 글을 읽어주셔서 감사합니다. 혹시 재미있으셨다면, 심심하실 적에 유튜브도 놀러와주세요^^
https://www.youtube.com/channel/UCT6CEgi8KQN2MCIvCLMl-bQ/videos
