by
Nov 22. 2020
어려운 이야기이나 중요한 이야기,왕도는 없다.
Parallax 아르케 시리즈 ,세상의 문을 열고자 한다면 패럴랙스 수학을 만나야 한다. 
어려운 이야기이나 중요한 이야기이고 반드시
깨우쳐야 하는 이야기다.
서양 문화의 출발은 고대 그리스 아테네에서 비롯
되었다. 아테네가 세계 사람들이
6번 째로 많이 찾는 이유다. 세상 사람들이 그토록
많이 찾는 아테네는 현재의 아테네 모습이 아니라
2500년 전 고대 아테네의 정신이다.
고대 아테네의 정신이란 무엇인가?
그것은 눈으로는 보이지 않는 사물의 뒤에 숨은
원리를 알고자 끊임없이 사유하고 질문하는 아테네
인들의 정신을 말한다.
그 중심에 피타고라스가 있다.
그는 이집트, 바빌론을 25년 간 여행하며 이집트
인들이 보지 못한 것을 보려 했다. 사막의 한가운데
태양빛을 머금은 피라미드를 본 피타고라스는 그냥
지나치지 않았다. 그리스인답게 이집트 인들이 보지
못했던 보이지 않는 그 무엇을 보려고 했다.
거대한 피라미드 형체는 빼고 그 테두리의
반쪽을 본 것이다. 그것은 직각 삼각형이었다.
직각 삼각형을 이루는 비율이 3: 4:5의 비율
이라는 것을 알아내고 고향 사모스 섬으로 돌아와
이를 끈질기게 파고들어 증명해 보인다
피타고라스의 정리,
'a제곱 더하기 b의 제곱 합은 c의 제곱'이 그것이다.
피타고라스의 정리피타고라스는 어느 날 대장간을 지나다가 대장간
철 두드리는 소리를 듣는다. 평소에는 귀에 거슬리던
소리가 아름답게 들리는 이유는 무엇일까?
대장간 불의 온도일까? 철의 재질?
아니었다. 그것은 길이의 조합이었다.
3대 2의 비율, 그것이 아름다운 화음을 만들어낸다는
것을 알었던 것이다. 이제 피타고라스는 거기서 멈추지
않고 2/3의 2/3를 계속 늘리고 줄이면서
세상의 아름다운 소리 도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도의
7 음계를 만들어 냈다.
파타고라스 이전까지 우리는 아름다운 음악 선율은
저절로 만들어진다고 생각했다. 그러나 감동의 선율을
찾아들어가다 보면 길이의 비율, 즉 수의 비율이 존재
한다는 것을 알게 되었다.
피타고라스는 여기서 멈추지 않고 아름다운
소리를 내는 수의 비율이 음악에서만 존재하는
것일까?
피타고라스는 오랜 질문에 답을 찾았다.
"이 세상은 정수의 비로 이루어졌다."
물이나 흙같이 이 세상의 원리를 물질에서만 찾았던
그리스 세계에 피타고라스는 파문을 던진다.
세상을 구성하는 보이지 않는 수, 피타고라스는
그리스 인들을 정신의 세계로 초대한다.
"세상은 수의 조합으로 이루어졌다."는
피타고라스의 인식이 여기서 나온 것이다.
이제 피타고라스는 이집트 피라미드에서 본
직각삼각형의 비율 3:4:5를 드디어 증명해 낸다.
피타고라스의 정리
"a제곱 더하기 b의 제곱은 c의 제곱이다."는
이렇게 탄생했다.
학문으로서 수학의 시작이 피타고라스로부터
출발했다고 이야기할 수 있는 이유다.
기원전 300년 경 이집트 왕 프톨레마이오스 왕은
스승 유클리드로부터 기하학을 배웠다. 왕이
철학이나 통치학도 아니고 기하학을 공부하는
이유는 무엇이었을까?
고대 그리스 시대, 기하학은 단순한 계산 학문이
아니라 생각열기 학문이었다. 모든 학문의 기초로
기하학을 중시했다.
세상이 무엇으로 이루어졌는지 궁금했던
그리스 철학자들은 저마다 물, 불, 원자 등으로
논쟁하다가 그들의 주장을 뒷받침하기 위해
그들만의 방법을 만들어냈다.
그것은 바로 수학적 사유체계, 증명이었다.
자신의 주장을 증명으로 입증함으로써 자신의
주장이 진리임을 증명하는 것이다. 그 증명하는
논리를 기하학에서 가져온 것이다.
기하학은 점, 선, 면으로 이루어졌다. 따라서
点을 정의하지 못하면 기하학의 출발은 없다.
피타고라스는 "점을 위치가 있는 단자"라고 정의
했다. 피타고라스의 제자 플라톤은 "점은 선의 시작
이다. 점은 쪼갤 수 없는 것이다."라고 정의했다.
플라톤의 제자 아리스토텔레스는 "점이 선의
시작이면 그 끝이 있어야 한다"라고 반론을 제기했다.
이러한 것들을 모아 유클리드는 '유클리드의 원론'
을 만들어 냈다. 원론에는 23개의 정의와 이 정의로
부터 증명할 수는 없지만 사실로 받아들일 수 있는
5개의 공리를 만들어 냈다.
세계에서 가장 많이 읽힌 책이 성경 다음으로 바로
유클리드의 <기하학 원론>이다. 역사상 가장 위대한
책으로 평가받고 있는 이 책은 23000년이 지난 지금
까지 수학 교과서로 사용되고 있다.
<원론>은 기하학과 산술에 관한 내용으로 총 13권
으로 구성되어 있으며 23개의 정의, 5개의 공리를
기본으로 465개의 수학적 명제를 증명해 놓았다.
'점은 쪼갤 수 없는 것, 선은 폭이 없는 길이다 ~~'
와 같은 자명한 사실들을 23개의 정의로 기록하고,
23개의 정의를 바탕으로 일반적인 원칙, 즉 5개의
공리를 만들어 냈다.
자명한 진리를 제시하고 이를 기초로 체계적으로
한 단계 한 단계 논리를 진행하여 증명해 나가는
사유체계, 그것이 바로 '연역법적 증명'이다.
연역법적 증명은 단지 수학뿐만 아니라 철학, 과학,
우리의 생각 체계에까지 광범위하게 영향을 미치는
사유체계이다. 법률의 구성 원리도 이를 따른다.
유클리드의 <원론>은 위대한 수학책을 넘어 철학,
과학, 법률, 그리고 나아가 우리의 사유체계를
확립하는 데 지대한 영향을 미치는 학문의 기본서
이자 생각열기의 바이블인 것이다.
인류의 지성인들은 피타고라스로부터 시작된
수학을 유클리드가 정리한 '유클리드의 원론'을
통해 2300년 동안 학문의 기초이자 생각열기의
기본서로 배우고 익혀 왔다.
뉴욕에 있는 자유의 여신상의 왼손에는 독립
선언문이 들려있다.'인간은 태어나면서부터
평등하다. 이 공리를 기반으로 미국은 영국으로부터 독립해야 한다는 정당성을 이끌어낸 것이 독립선언문
이다.
모든 학문의 체계가 유클리드의 원론을 차용한다.
공리 1.
모든 점에서 다른 모든 점으로 직전을 그을 수 있다.
공리 2.
유한의 직선이 있으면, 그것을 얼마든지 길게
늘일 수 있다.
공리 3.
임의의 점에서 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
공리 4.
직각은 서로 같다.
공리 5.
평행선은 영원히 만나지 않는다.
프톨레마이오스의 왕에게 유클리는 문제를 낸다.
"폐하, 공리를 이용해서 정삼각형을 그려보십시오."
정답은 공리 3 , 임의의 점에서 반지름을 갖는 원을
그릴 수 있으니 같은 반지름의 원을 두 개 그리고
공리 1을 이용해서 각 꼭짓점을 이으면 정삼각형을
그려낼 수 있다.
프톨레마이오스는 유클리드에게 질문한다.
"좀 더 쉬운 방법은 없소?" 유클리드가 답한다.
"폐하 기하학에는 왕도가 없습니다."
그렇다. 한 나라의 왕이 기하학을 배우는 이유는
정의와 공리를 통해 세상 모든 문제를 해결하기
위한 방법을 찾는 사유 체계를 배우는 것이다.
복잡해 보이지만 이 사회는 우리가 합의한 공리
위에서 세워졌다. 미국의 독립선언문도, 뉴턴의
만유인력 법칙도, 스피노자의 윤리학 원리도
다 유클리드의 원론의 사유 체계를 도입한 결과다.
정의와 공리만을 이용해서 세상 문제를 풀 수 있는
사유체계, 그것이 기하학 곧 수학 학습을 통해
배워야 하는 지식 체계다.
수학이 계산 학문이 아니고 생각열기 학문인 이유다.
프톨레마이우스 왕이 기하학을 배우는 이유이기도
하다.
그리스 사유체계, 논리의 층계를 하나씩 쌓아 올라
가서 진리에 이르고자 하는 사유체계 , 그것이 세상을
위대하게 만든 그리스 정신이다
어려운 이야기이나 중요한 이야기다.
옥스포드 대학에서 수학은 이과가 아니라
문과로 분류한다.수학이 깊어지면 철학이 되고 더
깊어지면 신학이 된다고도 한다.지성인이라면 반드시 깨우쳐야 할 깨달음이다. 이것을 건너뛰는 왕도는 없다.
그 깨달음은 꾸준한 수학 학습을 통해서 만들어진다.
수학은 계산 학문이 아니고 생각열기 학문이다.
'뱓아들인 지식을 관점을 달리하여 재해석해서
세상에 새로운 가치를 창출하는 지식인을 기르고자
하는 교육가치 철학을 지닌 패럴랙스가 패럴랙스
수학을 하는 이유다.
기억하라.
수학자는 문제를 푸는 사람이 아니라
문제를 만들어 세상의 난제를 해결하는 사람이다.
"세상의 문을 열고자 하는 자,
패럴랙스 수학의 문으로 들어서라."
Plato Won
