9장 질량 중심과 선 운동량
입자에서 입자계로
이제 이번 장에서는 질량 중심과 선 운동량에 대해서 살펴보도록 합시다. 지난 시간에 우리는 에너지의 보존에 대해서 살펴보았고, 오늘 우리는 운동량의 보존에 대해 관심을 가질 것입니다.
먼저 이런 질문을 던져봅시다. 우리는 지난 시간까지 입자를 기술하는 방법에 대해 충분히 살펴보았습니다. 그런데 대체 왜 새로운 것을 배워야 할까요? 사실 여기에 대한 한 가지 이유는, 우리가 살고 있는 세상은 하나의 입자로만 이루어진 게 아니라 여러 개의 입자로 이루어져 있다는 사실에서 비롯됩니다. 일반적으로 여러 입자들이 있는 입자계는 다루기 복잡합니다. 우리는 이러한 입자 계에 대한 일반적인 현상을 기술해보고자 합니다.
그런데 문제는, 왜 우리가 뭔가 새로운 것을 더 배워야 하냐는 것입니다. 이미 우리가 알고 있는 운동 방정식에 대한 지식만으로 충분하지 않을까요? 물론 이것은 맞습니다. 우리가 알고 있는 운동 방정식으로도 운동을 기술하기는 충분합니다. 그러나 다음과 같은 두 가지 사항 때문에 우리가 오늘 다루고자 하는 문제가 아주 유용하고도 중요한 주제가 되는 것입니다.
먼저, 우리는 이 계 ‘전체’에 대한 질문을 할 수 있습니다. 개별적인 입자만이 아니라 이 입자들 전체를 조망할 때, 이 전체에 대해서 어떤 물리 법칙을 이야기할 수 있을까요? 이게 가능하다면, 우리는 먼저 계 ‘외부’에 대한 기술과 계 ‘내부’에 대한 기술을 나누어서 하는 것이 가능해질 것입니다. 또한 공간적으로뿐만 아니라, 시간적으로도, 우리가 계의 초기 상태와 최종 상태에 대한 어떤 일반적인 특성을 말할 수 있다면, 이것이 이 계 전체를 기술하는데 있어서 어떤 유용한 제약 조건으로 작용할 수 있습니다.
이와 관련된 가장 전형적인 예가 바로 충돌 및 산란 실험입니다. 우리는 간단한 충돌 문제들을 다루게 될 것입니다. 왜 충돌을 다루어야 하나요? 사실은 충돌이야말로 ‘미지의 영역’을 과학적으로 탐구하는 가장 근본적인 방법이 되기 때문입니다. 우리가 ‘잘 알고 있는’ 초기조건이 부여된 입자들을 ‘잘 모르는’ 영역에 입사시킵니다. 그러면 ‘잘 모르는’ 영역에 대한 정보를 담고 있는 입자들이 방출되게 될 것입니다. 우리는 입자들이 어떻게 방출되는지에 대해서 이론적으로 계산할 수 있을 것이고, 실험과 비교도 할 수 있을 것입니다. 이러한 접근 방식은 물리학의 역사에 끊임없이 적용되었고, 여기 있는 그림과 같이 오늘날의 입자 물리학에서 수행하는 입자 가속기 실험에서도 같은 방법을 사용하고 있는 것입니다. 따라서 만일 어떤 보존 법칙과 같은 것이 있어서, 충돌의 전과 후에 어떤 제약조건이 생기는지에 대해서 설명할 수 있다면, 아주 유용한 정보가 될 것입니다.
또 한 가지 중요한 부분이 있습니다. 우리는 몇 강의 전에 ‘자유도’를 세는 법에 대해서 이야기했습니다. 그런데 입자의 개수가 너무 많아지면, 자유도의 수도 많아지고, 우리가 풀어야 할 방정식의 수도 많아지게 됩니다. 그런데 만일 입자들 사이에 모종의 구속조건이 있다면, 예를 들어 그림과 같이 어떤 원 위에 반드시 점들이 놓여 있어야만 한다면 어떻게 될까요? 그러면 우리가 풀어야 할 방정식의 개수도 줄어들게 될 것입니다. 이 때, 이 계 전체를 기술하는 좀 더 간단한 방법은 없을까요?
그 전형적인 예가 바로 ‘강체’ 입니다. 영어로는 ‘rigid body’라고 부릅니다. 단단한 물체라는 뜻입니다. 강체의 수학적 정의에 따르면, 강체를 이루는 임의의 두 점 사이의 거리는 변하지 않습니다. 따라서 모양이 변하지 않게 됩니다. 강체가 만일 연속체라면, 여기에는 무한히 많은 질점이 있습니다. 그러나 ‘임의의’ 두 질점 사이의 거리가 변하지 않는다는 강력한 구속조건이 있기 때문에, 강체의 경우에는 자유도가 무한개가 되는 것이 아니라, 단 여섯 개로 줄어들게 되는 것입니다. 왜 여섯 개일까요? 여기에 오늘 강의의 중요성이 있습니다. 이 여섯 개는 ‘질량 중심’에 대한 병진 운동의 방향 세 개와 ‘질량 중심’에 대한 상대적 회전 운동의 방향 세 개가 되는 것입니다. 여기에서 질량 중심이라는 개념을 통해 ‘계 전체’를 외부의 시선으로 조망하는 방법에 대한 단서를 얻게 되는 것입니다.
이제 이러한 일을 하기 위해서 필요한 중요한 개념이 여기에 있습니다. 그것은 계 전체를 기술하는 중심점, 즉 ‘질량 중심’에 대한 것입니다. 만일 이 질량 중심을 기준으로 해서 외력이 작용하지 않는다면, 질량 중심에 대한, 즉 계 전체에 대한 보존 법칙을 말할 수 있게 된다는 것을 살펴볼 것입니다. 많은 경우, 입자들 사이에는 상호작용이 있지만, 계 전체는 고립계 또는 외부와 분리된 계로 생각할 수 있습니다. 이 때, 개별 입자들에 대해서는 불가능할 수 있지만, 질량 중심에 대해서는 보존법칙을 적용할 수 있습니다. 따라서 질량 중심을 기준으로 계를 이해하는 것이 여러 가지 면에서 유용할 수 있습니다.
그렇다면 실제 입자들은 어떻게 기술하면 좋을까요? 예를 들어 그림에서처럼, 뽀로로가 비행기를 타고 있는데, 이 비행기의 프로펠러를 어떻게 기술할지에 대해서 생각해 봅시다.
가장 좋은 방법은 먼저 뽀로로의 위치를 기술하는 것입니다. 그리고 뽀로로의 관점에서 프로펠러의 위치를 상대적으로 기술하는 것입니다. 프로펠러의 위치 자체를 구하려고 하면 훨씬 복잡할 수 있지만, 두 가지 단계로, 즉 뽀로로를 먼저 기술하고 그 다음에 프로펠러를 뽀로로의 관점에서 상대적으로 기술한다면, 좀 더 간단할 것입니다.
좀 더 물리적으로 표현한다면, 뽀로로가 있는 위치는 대략 계 전체를 기술하는 질량 중심이라고 할 수 있을 것입니다. 뽀로로를 먼저 기술한다는 것은 질량 중심의 ‘병진 운동’을 기술한다는 것과 같습니다. 그 다음, 뽀로로의 관점에서 본다는 것은 ‘질량중심 주변의’ 상대적 운동을 본다는 것과 같아집니다.
즉, 우리는 질량 중심의 병진 운동과 질량 중심 주변의 상대적 운동을 나누어 봄으로써 입자계를 본격적으로 다룰 수 있게 되는 것입니다. 질량 중심 주변의 상대적 운동이라는 것이 강체의 경우에는 ‘회전 운동’으로 생각될 수 있습니다. 따라서 강체의 경우에는 질점의 개수가 무수히 많다 하더라도, 실제 자유도는 여섯 개로 줄어들게 되는 것입니다.
지금까지 제가 질량 중심이라는 것에 대해 많은 강조를 했습니다. 영어로는 ‘center of mass’라고 부릅니다. 그런데 이것을 수학적으로는 어떻게 정의할 수 있을까요? 먼저, 질량 중심은 아무래도 질량이 많이 모여 있는 곳에 가까이 놓여 있어야 합니다. 질량 중심은 무거운 물체에 더 가깝다는 것입니다. 질량 중심의 좌표를 0으로 잡는다면, 아래 그림과 같은 수식이 성립해야 합니다. 파란색 물체의 질량(m)과 질량 중심에서의 거리(b)를 곱한 것, 즉 ‘m x b’와, 빨간색 물체의 질량(M) 및 질량 중심에서의 거리(a)를 곱한 것, 즉 ‘M x a’, 이 두 값은 질량 중심에서 균형을 이루어야 합니다. 이런 방식으로 질량 중심을 정하면 계 전체의 중심을 나타낼 수 있게 됩니다.
좀 더 일반적인 상황에서 수학적으로 표현하면 아래와 같습니다.
‘xi’라는 좌표축에 대한 질량 중심의 위치는, 밀도 함수에 xi 좌표를 곱해서 부피 적분한 것을 총 질량으로 나누어준 것과 같아지게 됩니다. 이것이 바로 앞에서 정의한 질량 중심의 개념을 연속체의 경우로 일반화한 것이라고 생각할 수 있습니다.
이러한 질량 중심의 중요성은 이미 고대의 건축 기술에도 나타나 있습니다. 중력이 균일하다면, 질량 중심은 사실은 ‘무게의 중심’과 같아지게 됩니다. 이 사실을 사용하면 어떤 복잡한 형태의 벽돌이나 건축 구조물의 질량 중심을 찾을 수 있습니다. 질량 중심을 찾기 위해 우리는 ‘다림줄’이라는 것을 사용합니다. 먼저, 왼쪽 그림의 빨간색 동그라미와 같은 한 지점을 잡고, 이 지점에 구조물을 매답니다. 그리고 이 점으로부터 파란색 선과 같이 다림줄을 내려뜨립니다. 그 다음, 이 구조물을 회전시킨 다음에, 오른쪽 그림의 빨간색 동그라미와 같은 두 번째 지점을 기준으로 해서 구조물을 한 번 더 매답니다. 이 점에서부터 다림줄을 한 번 더 내려뜨리면, 이 두 개의 줄이 만나는 지점이 바로 질량 중심이 되는 것입니다.
이제 이번 장에서는 질량 중심의 병진 운동에 대해 살펴봅시다. 과연 질량 중심을 중심으로 기술하면 운동 방정식이 ‘질량 중심의 병진 운동’과 ‘질량 중심에 대한 상대적 운동’으로 잘 나뉘게 될까요? 그리고 ‘질량 중심의 병진 운동’에 대한 운동 방정식은 우리에게 익숙한 형태로 주어질까요?
실제로 그렇게 됩니다. 자세한 수식은 수업 시간에 살펴보도록 합시다. 간단한 계산을 거쳐 보면, 질량 중심의 운동 방정식을 그림과 같이 적을 수 있습니다. 물체에 작용한 또는 계에 작용한 전체 외력을 F라고 할 때, 이것은 ‘전체 질량 (m) 및 질량 중심의 가속도(a)의 곱’과 같아집니다. 따라서 우리는 계 전체를 볼 때, 계의 모든 질량이 질량 중심에 집중된 것처럼 생각할 수 있다는 말이 됩니다. 따라서 질량 중심의 병진 운동을 기술할 때는, 질량 중심에 모든 질량이 집중되어 있는 하나의 질점과 같다고 놓고 기술하면 됩니다.
우리는 같은 식을 운동량의 시간 미분으로 적을 수도 있습니다. 이 때에는 계 전체의 운동량을 시간으로 미분한 것이 계 전체에 작용한 힘이 됩니다. 따라서 계 전체에 작용하는 외력이 없다면, 계 전체의 선운동량은 보존되어야 합니다. 비록 각각의 입자들에 대해서는 운동량이 변할 수 있더라도 말입니다. 따라서 질량 중심에 대해 보존 법칙을 적용할 수 있다는 것을 우리가 이해할 수 있습니다.
여러분들이 집에 있는 곤봉을 옆으로 던져보면, 그림과 같이 운동함을 알 수 있습니다. 실제로 곤봉은 굉장히 복잡하게 운동하지만, 실은 곤봉의 질량 중심은 마치 하나의 질점처럼 포물선 운동을 하게 됩니다. 곤봉은 질량 중심을 중심으로 해서 적당히 회전 운동을 한다는 것도 볼 수 있을 것입니다.
상당히 의외라고 볼 수 있지만, 같은 이야기는 폭죽이 폭발을 하는 경우에도 적용됩니다. 폭발을 하기 전에는 폭죽이 포물선 운동을 하는 것을 알 수 있습니다. 폭발 후에는 각 파편들이 복잡하게 흩날리게 됩니다. 그런데 그럼에도 불구하고 각 파편들의 질량 중심을 추적해보면, 질량 중심의 경로는 포물선 운동을 계속 한다는 것을 알 수 있습니다. 폭죽이 폭발을 하는 사건이 있었지만, 전체적으로 보면 외력이 작용한 것이 아니기 때문에 그렇습니다.
충돌에 대해서 살펴본다면, 크게 우리는 두 가지로 구분할 수 있습니다. 그림에 보이는 탄성 구의 충돌은 ‘탄성 충돌’이라고 부릅니다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 에너지도 보존됩니다. 따라서 이 운동은 무한히 반복되어야 합니다. 그래서 왼쪽에서 하나의 추를 들어올려서 충돌시키면, 오른쪽으로 하나의 추가 들어올려지게 되고, 이 과정이 반복되게 됩니다.
‘비탄성 충돌’이란 이와는 다르게 충돌에 의해 에너지가 손실되는 경우입니다. 물론 손실되는 에너지는 열 에너지나 그 밖의 다른 형태로 전환되었다는 뜻이 됩니다. 그림에서와 같이 총알이 나무 토막에 완전히 박혀서 나무 토막과 총알이 하나가 된다면, 이 경우에는 ‘완전 비탄성 충돌’이라고 부릅니다. 이 경우에는 에너지는 보존되지 않지만, 여전히 충돌 순간에 계 전체에 외력이 작용하지는 않았다는 점은 동일합니다. 따라서 이 경우에 선 운동량은 보존되어야 합니다. 이 단서를 통해 우리는 이 상자와 총알의 ‘충돌 직후의 속력’을 계산할 수 있고, 이에 따라 이 상자와 총알이 어떤 높이까지 들어올려지게 되는지를 계산할 수 있게 됩니다.
충돌 및 운동량과 관련한 한 가지 더 중요한 정리, 즉 일-에너지 정리에 대응되는, 운동량-충격량 정리에 대해서 살펴봅시다. 일-에너지 정리를 증명하기 위해서 운동 방정식의 양변에 ‘dx’를 곱해서 적분했다면, 이번에는 ‘dt’를 곱해서 적분해 봅시다. 즉, 시간 방향으로 적분한다는 뜻이 됩니다.
그러면 좌변은 힘에 대한 시간 적분이 되는데, 우변은 아주 간단하게 운동량의 변화가 됩니다. 힘을 시간으로 적분한 것을 ‘충격량’이라고 정의합니다. 그러면 이 충격량이란 운동량의 최종 및 초기 값의 차이와 같다는 것이 됩니다.
충격량 자체가 어떤 물리적인 의미를 가지는지는 불분명할 수 있지만, 만일 적분하는 시간 간격이 아주 짧은 경우에는 직접적인 물리적인 의미를 줄 수 있습니다. 충격량을 아주 짧은 시간으로 나누면, 주어진 시간동안 작용한 ‘평균 힘’을 구할 수 있게 됩니다. 그런데 이 평균 힘은 운동량-충격량 정리에 의해, ‘운동량의 차이 나누기 시간 간격’으로 계산할 수 있게 됩니다.
예를 들어, 야구공을 배트로 치게 되면, 아주 짧은 시간 동안 공이 배트에 접촉하게 되는데, 이 때 공이 전달하는 평균 힘은 공이 배트에 '입사하는 속도' 빼기 '반사되는 속도'를 '시간 간격'으로 나눈 것으로 기술될 것입니다. 탄성 충돌로 근사한다면, 입사하는 속도와 반사하는 속도는 크기는 같고 방향은 반대가 됩니다. 따라서 근사적으로는 ‘2 x 공의 질량 (m) x 공의 속력 (v)’을 접촉한 시간 간격으로 나눈 것이 바로 배트가 타격 시점에 느끼는 ‘평균 힘’이라고 할 수 있겠습니다. 따라서 공의 속력이 커지면 커질수록, 타격을 하는 사람들은 더 많은 힘이 필요하다고, 즉 타격을 할 때 ‘무거운’ 느낌이 든다고 말하게 될 것입니다.
몇 가지 물리적 상황을 대략적으로 조망해보도록 합시다. 먼저, 1차원의 충돌 문제입니다. 탄성 충돌의 경우에는 보존법칙에 대한 고려만으로도 반사되는 입자의 속력을 완벽하게 결정할 수 있습니다.
그러나 2차원의 경우에는 완벽하게 결정할 수 없습니다. 부딪힌 동전이 산란되는 각도는 보존법칙으로는 결정할 수 없기 때문입니다. 동전이 산란되는 각도는 입사하는 동전의 속도와 질량 중심 방향 사이의 각도에 민감하게 의존할 것입니다.
물론 이보다 복잡한 산란 과정에 대해서는 작용하는 변수가 더 많아질 것이며, 더 복잡한 계산을 필요로 할 것입니다. 다만, 두 입자 사이에 작용하는 힘이 ‘중심력’이라면, 2차원의 문제로 환원할 수 있으며, 실제로 자연에서는 두 입자 간의 산란이 세 입자 간의 산란보다 좀 더 자연스럽게 일어난다는 것을 생각해보면, 2차원 충돌에 대한 분석이 상당히 큰 중요성을 가지게 됨을 알 수 있습니다. 이렇게 입자의 수가 많아지는 경우에는, 특히 입자의 수가 아주 많은 경우에는, 입자의 운동을 직접 기술하는 것 보다는 입자의 운동에 대한 확률 분포를 고려함으로써, 거시적인 현상을 통계적으로 보는 것이 필요할 것입니다. 이것은 열물리학와 통계역학에서 다루게 될 주제가 됩니다.
마지막으로 질량이 변하는 예를 생각해 봅시다. 질점의 질량은 질점의 고유한 속성으로 변하지 않는다고 간주해 왔습니다. 그런데 로켓의 경우를 생각해 보면, 로켓을 하나의 질점으로 생각해서 기술할 수 있지만, 로켓에서는 반대 방향으로 입자를 방출시키기 때문에, 마치 로켓의 질량이 감소하는 것처럼 생각할 수 있을 것입니다. 따라서 로켓에 대해서는, 아주 예외적으로, ‘질량이 변하는’ 질점으로 기술하는 것이 좋은 방법이 됩니다. 자세한 계산은 수업 시간에 살펴보도록 합시다.
