4장 2차원 운동과 3차원 운동
포사체의 운동을 둘러싸고
이제 지금까지 공부한 내용을 토대로 해서, 2차원 및 3차원 운동에 대해 살펴보도록 합시다. 먼저, 변위를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도, 반대로 가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 변위가 된다는 것을 기억합시다. 오늘 우리는 이 개념을 2차원 및 3차원 벡터에 대해서 확장해보려는 것입니다. 이렇게 확장을 할 때, 우리는 한 가지 중요한 예로 포사체 운동이라고 부르는 것에 대해 정량적으로 기술할 수 있게 될 것입니다.
사실 대포에 대한 이론은 중세에도 큰 관심사였을 것입니다. 특히 대포알의 운동은 전쟁에 있어서 효과적인 전술을 수립할 수 있도록 하기 때문에, 내가 쏜 대포알이 어느 위치에 떨어질 것인지에 대해 예측할 필요가 있었을 것입니다. 이와 관련해서 14세기의 철학자였던 색소니아의 알베르투스는 그림과 같은 이론을 제공합니다.
알베르투스는 장 뷔리당의 제자였는데, 그는 11세기의 아랍 철학자 이븐 시나, 또는 훨씬 그 이전으로까지 소급될 수 있는 이른바 ‘임페투스 이론’이라는 것을 역학에 도입한 것으로 유명합니다. 임페투스란 아리스토텔레스주의적 관점에서 포사체의 운동을 기술하기 위해 도입된 개념입니다. 임페투스는 직선운동을 유지하기 위해 끊임없이 작용해야 하는 ‘아리스토텔레스주의적인’ 원인이며, 질량과 속력에 비례하는 값으로, 오늘날 우리가 운동량이라고 부르는 것의 좀 더 원시적 형태라고 생각하면 되겠습니다. 이러한 임페투스 이론에 따라, 포사체는 초반부에는 직선운동을 할 수 있습니다. 그러나 임페투스가 서서히 감소함에 따라, 포사체는 원궤도를 따라 움직이게 됩니다. 그리고 마지막에 임페투스가 완전히 없어짐에 따라, 물체는 위에서 아래를 향해, 수직 방향으로 떨어지게 됩니다. 즉, 대각선 방향의 직선 운동, 원운동, 수직 방향으로의 직선 운동, 이렇게 세 단계로 포사체가 운동한다고 생각했던 것입니다. 여러분들은 어떻게 생각하시나요? 이러한 포사체의 궤도는 대체로 우리가 경험적으로 인지하는 포사체의 궤도와 일치하는 것처럼 보입니다. 저는 이 이론이 아주 그럴 듯한 이론이라고 생각합니다. 하지만 이것을 좀 더 근대적인 역학의 관점에서 기술한다면 어떻게 될까요?
오늘날의 대포 이론은 그림과 같은 게임에서 찾을 수 있습니다. 물론, 이 포사체는 포사체의 회전이나 공기와의 마찰 등을 고려하지 않은, 완전히 현실적인 것만은 아니겠지만요. 이것은 아주 오래 전에 유행했던 앵그리버드 게임입니다. 여기에서 여러분들은 앵그리버드를 발사시키는 각도와 속력을 조절해야 합니다. 이것을 잘 조절함에 따라 여러분이 원하는 타겟에 명중시킬 수 있을 것입니다. 무조건 세게 잡아당긴다고 우리가 원하는 타겟에 닿는 것은 아닌데요. 여러분들도 한 번 이 게임을 실행시켜보면서, 포사체 운동에 대한 감을 잡아보시길 바랍니다.
이러한 포사체 운동을 다음 그림과 같이 정리해보도록 합시다. 왼쪽에 있는 대포로부터 포사체가 발사됩니다. 이 때, 수평면과의 각도를 '세타'라고 합시다. 그리고 발사하는 초기 속도는 '브이 제로'라고 합시다. 발사하는 위치는 물론 우리가 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라질 수 있지만, 이 그림에서는 x = 0 및 y = y0인 지점에서 출발하는 것으로 잡았습니다. 수평 방향을 x-축이라고 하고, 수직 방향을 y-축이라고 합시다. 그리고 중력은 수직 방향, 즉 y-방향으로 작용하는데, 우리가 y-축 좌표의 방향을 아래에서 위로 증가하는 쪽으로 잡는다면, 중력에 의한 가속도는 위에서 아래 방향으로, 즉 ‘- g’만큼 작용하게 됩니다. 여기에서 ‘g’에 해당하는 값은 상수라고 합시다. 이제 이 포사체의 운동을 어떻게 기술할 수 있을까요?
앞에서 이미 했던 일을 반복하면 됩니다.
먼저 변위에서 출발합시다. 변위라는 것은 두 점 사이의 벡터 차이를 의미합니다. 변위를 시간 차이로 나눔으로써 평균 속도를 얻습니다. 그리고 시간 간격을 좁혀감으로써 순간 속도를 얻습니다. 이것은 운동을 시간으로 미분한 것과 같습니다. 때로는 우리가 이것을 그냥 속도라고 부릅니다. 속도를 한 번 더 시간으로 미분하면 가속도를 얻게 됩니다.
변위, 속도, 가속도의 관계를 살펴볼 수 있는 한 가지 예를 살펴보도록 합시다. 토끼가 주어진 궤적을 따라 운동을 하는데, 이 때 토끼의 변위, 속도, 및 가속도를 살펴보고자 합니다.
아래와 같이 토끼가 차지하는 x와 y 좌표가 시간의 함수로 각각 주어져 있습니다.
x(t)와 y(t)는 토끼의 위치 벡터의 x-성분과 y-성분을 나타내는 것입니다. 이것이 시간의 함수라는 것은 토끼를 기술하는 ‘매개 변수’가 하나라는 것, 즉 토끼는 일차원 곡선을 그릴 것이라는 것을 의미합니다. 먼저, 이것을 그래프로 한 번 그려보도록 합시다.
그래프를 그리는 여러 가지 방법이 알려져 있지만, 간단한 경우에는 무료 프로그램 지오지브라(GeoGebra)를 사용할 수 있습니다.
왼쪽에 나온 것과 같이 괄호 안에 x-좌표와 y-좌표를 시간의 함수로 입력하면, 오른쪽과 같은 그림을 그려줍니다. 그림에서는 시간이 어떻게 흘러가는지 보기가 어렵지만, 시간 t에 0을 대입해보면, (28, 30), 즉 제1사분면에 토끼가 있었다는 것을 알 수 있습니다. 그 다음에 t를 점점 키워가면 시계 방향으로 돌아간다는 것을 확인할 수 있습니다.
이제 이렇게 시계 방향으로 뛰어가는 토끼의 속도가 어떻게 되는지를 살펴봅시다. 이것을 위해서는 정의에 따라 각 성분을 시간에 대해 미분하면 됩니다.
자세히 미분을 하기 전에, 미분은 이 궤적의 접선을 나타낸다는 것을 생각해보면, 이 그림과 같이 빨간색 화살표를 곡선의 접선에 그려볼 수 있겠습니다. 물론 이것은 엄밀하게 그린 건 아니고, 대략 곡선을 보고 그린 것입니다.
이제 이 빨간색 벡터들의 원점을 일치시켜 봅시다.
그러면 대략 이 화살표의 끝을 나타내는 지점들이 전체적으로 하나의 직선상에 놓임을 알 수 있습니다. 즉, 시간에 따라 속도 벡터의 방향이 바뀌지만, 이 벡터의 끝은 한 직선 위에 놓여있다는 말이 됩니다.
실제로 미분해보면 이렇게 됩니다. 즉, 우리가 직관적으로 예상한 대로, 속도 벡터는 직선 상에 놓여 있습니다. 물론 당연하겠지만, 이것을 한 번 더 미분하면, 어떤 점 하나가 나올 것입니다. 다시 말하면, 이 운동에 대한 가속도의 벡터는 일정하다는 것, 즉 등가속도 운동이었다는 것을 의미합니다.
그래서 속도는 운동의 미분이고, 가속도는 속도의 미분입니다. 그런데 아주 중요한 사실은, 벡터의 경우, 특히 직교 좌표계를 사용하는 경우, 이러한 운동, 속도, 가속도의 관계는 각 성분 별로 주어진다는 것입니다. 직교 좌표계가 아닌 경우에는 단위 벡터 자체가 미분이 되면서 조금 더 복잡해질 수 있는데, 그 중요한 예는 나중에 등속 원운동의 경우에 살펴보도록 합시다. 아무튼 어떤 좌표계에 대해서든 변하지 않는 것은, 우리가 벡터 미분의 성분을 생각해야 한다는 것입니다.
그러면 그 역 연산, 즉 가속도를 적분해서 속도를 얻고, 속도를 적분해서 운동을 얻는 것도 성분별로 할 수 있습니다. 물론 이것도 역시 직교 좌표계의 경우는 성분별로 독립적으로 적분을 하면 되지만, 직교 좌표계가 아닌 경우에는 좀 더 복잡해질 수 있습니다.
포사체 운동은 직교 좌표계로 나타낼 수 있기 때문에, 각 성분별로 적분을 해주면 완벽하게 풀 수 있습니다. 먼저 x-방향, 즉 수평 방향과 y-방향, 즉 수직 방향의 가속도를 생각해 봅시다.
수평 방향으로는 가속도가 0이지만, 수직 방향으로는 중력에 의한 가속도가 있습니다. 우리가 와이 좌표가 증가하는 방향을 아래에서 위로 잡으면, 중력 가속도는 y가 증가하는 방향의 반대 방향으로 작용하기 때문에, '-g'가 되어야 합니다.
먼저 가속도의 x-성분을 x-방향으로 적분을 하면, 어떤 적분 상수가 나오게 됩니다. 이것은 x-방향으로의 초기 속도이므로, 수평선에서의 각도를 '세타'라 할 때, '브이 제로 코사인 세타' 라고 적을 수 있습니다. 이것을 한 번 더 적분하면, '브이 제로 코사인 세타 티'가 나오고, 적분 상수가 하나 더 나오게 됩니다. 이것은 x의 처음 위치를 말하는데, x0라는 상수로 놓도록 하겠습니다.
가속도의 y-성분을 y-방향으로 적분을 하면, 먼저 속도는 '마이너스 지 티 플러스 브이제로 사인 세타'가 됩니다. '브이제로 사인 세타'는 역시 y-방향으로의 초기 속도를 의미합니다. 이것을 한 번 더 적분하면, '이분의 일 마이너스 지 티 제곱'이 나오고, '브이제로 사인 세타' 항을 적분하면서 '브이제로 사인 세타 티' 항도 나와야 합니다. 그리고 마지막으로 y-방향으로의 초기 조건 y0가 적분 상수로 더해지게 됩니다.
몇 개의 적분 상수가 나왔나요? x-방향과 y-방향 두 개의 성분이 있었고, 각각에 대해서 두 번 적분했습니다. 따라서 적분 상수, 또는 초기 조건에 의해 결정되어야 하는 상수는 2 x 2 = 4개가 있습니다. ‘2 x 2’라고 했는데, 앞의 ‘2’는 우리가 x와 y 방향으로의 2차원 문제를 다룬다는 것을 나타내고, 나중의 ‘2’는 우리가 다루는 문제가 가속도를 적분하는 것이라는 것, 즉 2차 미분 방정식을 다룬다는 것을 의미합니다. 2차 미분 방정식을 다룬다는 것은 뉴턴 역학에서 아주 근본적인 특징입니다. 우리가 3차원 운동을 다룬다면, ‘3 x 2’, 즉 6개가 필요한 초기 조건이 될 것입니다. 입자가 2 개가 있다면, 여기에 ‘2’를 더 곱해서, 12개의 초기 조건이 필요할 것입니다. 이러한 초기 조건을 ‘자유도’라고 부르기도 합니다. 아무튼 우리는 미분 방정식을 푸는 것입니다. 미분 방정식은 초기 조건만 정해주면, 해를 완전히 결정하게 됩니다. 비록 미분 방정식이 복잡해지더라도 이 사실은 변하지 않습니다. 따라서 이것으로부터 고전 물리학의 ‘결정론’이 나온 것이 결코 이상하지 않아 보입니다.
이렇게 적분한 결과에 적당한 초기 조건을 대입하여 그래프를 그려봅시다.
편의상 초기 변위를 원점으로 잡도록 합시다. 그리고 발사하는 초기 속력을 동일하게 잡도록 합시다. 그러면 발사 각도에 따라 궤적이 달라지게 됩니다. 검은 색과 파란 색 곡선은 각각 60도와 30도로 발사했을 때의 궤적을 나타낸 것이고, 빨간 색 곡선은 45도로 발사했을 때의 궤적을 나타낸 것입니다. 흥미롭게도 수평면에 충돌하는 최종 지점은 45도 일 때가 가장 멀고, 30도일 때와 60도일 때는 수평 이동 거리가 동일하다는 사실을 알 수 있습니다. 실제로 이것을 좀 더 엄밀하게 입증하기 위해서는 x(t)와 y(t)에서 t, 즉 시간을 소거하면 됩니다. 그러면 y와 x 사이의 관계를 얻을 수 있는데, 이것으로부터 이동 거리가 가장 길어지기 위한 발사 각도를 알아볼 수 있을 것입니다. 여기에 대한 자세한 관계식은 수업 시간에 다루도록 하겠습니다.
포사체 운동을 다루면서 빼놓지 말아야 할 예가 바로 명탐정 코난 극장판 중 ‘천국으로의 카운트다운’에서 나오는 이야기입니다. (https://www.youtube.com/watch?v=JVs5miRMtic)
코난과 소년 탐정단은 75층 건물 꼭대기에 갇혀 있게 됩니다. 이 건물은 곧 폭파하게 될 거라서, 탈출해야만 하는데, 마침 여기에는 스포츠카가 있습니다. 이 스포츠카를 타고 오른쪽에 있는 69층 건물로 피신하는 것이 유일한 탈출 방법입니다. 수직 높이 차이는 20m 정도 되고, 수직으로 20m를 낙하하는 동안에 수평으로는 60m를 이동해야 합니다. 그런데 우리의 천재 물리학자 홍장미, 또는 하이바라는 이것이 불가능하다는 것을 암산으로 계산합니다. 그 이유는 무엇일까요?
먼저 수직으로 20m를 낙하하는 동안에 걸리는 시간을 계산해 봅시다. 이것은 ‘루트 이 에스 나누기 지’로 계산할 수 있습니다. 수를 대입해서 계산해보면, 이 시간은 대략 2초 정도가 됩니다.
그러면 이렇게 2초 동안에 수평 방향으로 60m를 이동해야 합니다. 2초 동안에 60m를 수평으로 이동한다는 것은, 1초 동안에는 30m를 간다는 것, 즉 30 m/s로 수평 방향으로 탈출해야 한다는 것을 의미합니다. 이것을 시속으로 바꾸면, 108 km/h의 속력으로 수평 방향으로 탈출해야 한다는 말이 됩니다.
그러나 안타깝게도 75층 건물에는, 비록 스포츠카는 있지만, 스포츠카가 108 km/h까지 가속할 수 있는 충분한 공간이 없는 것으로 보입니다. 그렇다면 수평 방향으로의 속력이 부족하기 때문에, 결국은 옆 건물 꼭대기에 도착하는 것이 아니라, 옆 건물의 벽에 부딪히고 말 것입니다. 그러면 명탐정 코난도 종영을 하고 마는 사태에 도달하게 되겠지요. 그러면 우리의 코난은 이 위기를 어떻게 극복할까요?
아무튼 그건 여러분들이 찾아보시기 바랍니다. 마지막으로 속도를 x 및 y-축을 가지는 직교 좌표계로 표현하기 곤란한 경우를 살펴보겠습니다. 제가 ‘곤란하다’고 말한 것은 불가능하다는 뜻은 아닙니다. 다만 속도 및 가속도의 벡터가 시간에 따라 바뀌기 때문에 직교 좌표계로는 다루기 복잡하다는 것입니다.
이 그림에서는 짱구가 이슬이 누나를 중심으로 등속 원운동을 합니다. 이러한 등속 원운동의 경우에는, 속도는 항상 접선 방향이며, 크기는 같지만 계속 방향이 바뀌게 됩니다. 속도의 방향이 바뀌기 때문에, 가속도가 존재하며, 그 가속도는 원의 중심 방향을 향합니다. 그런데 왜 원의 중심 방향을 향할까요? 이것을 확인하기 위해, 여러분들이 추를 실에 매달아서 돌리다가, 그 실을 갑자기 끊는 경우를 생각해봅시다. 그러면 순간적으로 추를 회전의 중심 방향으로 잡아당기는 효과가 사라지면서, 즉 가속도가 사라지면서, 이 추는 접선 방향으로 날아가버리게 됩니다. 즉, 중심 방향으로의 가속도가 없으면, 더 이상 원 운동을 하지 않는다는 말이 되는 것입니다. 물론 이 그림에서 이슬이 누나가 사라진다면, 짱구도 등속 원운동을 멈추거나 운동의 방향을 바꾸게 될 것입니다.
가속도에 대한 관계식이 어떻게 되는지에 대해서는 수업 시간에 간단하게 증명해볼 수 있습니다.
결과만 적으면, 가속도는 속력의 제곱 나누기 반지름이 됩니다. 그리고 등속 원운동이기 때문에, 한 번 회전을 할 때의 주기는 원주의 길이 나누기 속력이 됩니다. 여기에 대해서는 수업 시간에 좀 더 자세히 이야기하도록 합시다. 중요한 것은 이것이 바로 등속 원운동에서의 가속도를 나타낸다는 것입니다. 나중에 몇 가지 중요한 예에서, 예를 들어 중력장에서의 등속 원운동이나 전기장에서의 등속 원운동, 특히 이른바 ‘보어 모형’이라고 불리는 모형에서, 이 공식이 중요한 역할을 하게 될 것입니다.
