더하기, 빼기, 곱셈, 나누기. 사칙연산은 일상에서 많이 쓰이기 때문에 당연히 나는 이해하고 있다고 믿었다. 그러나 아니었다. 정확히 "안다"라고 말하기 어려웠다. 내가 생각하는 안다는 원리가 설명되야 한다. 왜 이렇게 되는지. 만화책을 읽고나서야 알았다. 내가 뭘 모르는지. 맞다. 나는 사칙연산을 모른다.
흑...
내가 모른다라고 얘기한 이유는 이렇다. 사칙연산의 특징을 바로 이해하기 어려웠다. 그럼 일단 사칙연산의 특징이 무엇인지 알아야 한다.
[사칙연산의 특징]
곱셈은 덧셈의 연속이다.
뺄셈은 덧셈의 반대이다.
나눗셈은 곱셈의 반대이다. 곱셈은 덧셈의 연속이다.
"곱셈은 덧셈의 연속이다"는 이해하기 쉬웠다. 영어로도 times라 되어 있다. 즉, 몇 번 더하냐이다. 2 x 3 = 2 + 2 + 2가 성립한다. 2를 세번 더한 것이다. 다음, "뺄셈은 덧셈의 반대이다." 이 부분도 직관적으로 와 닿았다. 사과가 한 개가 있었는데 거기서 누가 두 개를 가져다 놨다. 현재 사과가 총 세 개이다. 여기서 누가 두 개를 가져갔다. 다시 사과가 한 개가 됐다. 더한만큼 빼면 다시 원래 있던 상태인 사과 한 개가 된다. 마지막 "나눗셈은 곱셈의 반대이다. 곱셈은 덧셈의 연속이다." 후자는 이미 1번의 내용이라 이해가 됐다. 그런데 나눗셈은 곱셈의 반대라는게 확 와닿지 않았다. 사실 뺄셈이 덧셈의 반대라고 했을 때도 명확하게 아는 건 아니었다. 그냥 사과 더했고 뺏으면 원래대로 돌아오니까 반대아니야? 정도였다. 그렇다면 나는 무엇을 정확히 알지 못했던 걸까?
먼저, 반대의 개념을 제대로 이해하지 못했다. 사전에 정의된 반대 뜻은 다음과 같다.
'두 사물의 방향이나 속성 따위가 서로 맞섬' 속성이 다르다는 의미다. 덧셈과 뺄셈의 속성은 다르다. 나눗셈과 곱셈의 속성은 다르다. 여기서 또 의문이 생겼다. 그렇다면 무슨 속성이 서로 다른거지?
반대를 그냥 내가 있는 그대로 느낀 건 이런 식이었다. 1 + 2 = 1 - 2. 식에서 그냥 부호만 변경되는거다. 곱셈과 나눗셈의 관계도 마찬가지다. 1 x 2 = 1 / 2. 그런데 계산해보면 올바른 답이 나오지 않는다. 두 식이 완전히 다른 수가 나온다. 단순히 연산자가 반대인 건 아니었다. 그럼, 뭐가 반대이고 왜 연산자가 반대인 건 아닐까 라는 고민이 생겼다. 그래서 AI와 대화를 나눴더니 이런 결론이 나왔다.
1. 수학에서 반대는 연산자가 아니라 숫자의 변화량를 말한다.
2. 그리고 숫자의 변화량을 취소하는 것을 역연산이라고 한다.
결론에 대해 예시를 들어보면 이러하다. 사과 1개에서 사과 2개를 더했다. 여기서 +2라는 숫자 변화가 생겼다. 식으로 나타내면 1 + 2 = 3이다. 3이라는 숫자로 변화했다. 변화한 값을 다시 원래 상태로 돌리기 위해서는 변화된 양 3에서 2를 빼야 한다. 3 - 2 = 1. 이것이 역연산이다. 따라서 수의 세계에서 반대란 "숫자의 변화량이 서로 맞섬"이다.
나눗셈과 곱셈도 숫자의 변화량이 서로 맞선다. 2에 3을 곱하면 6이된다. 2 x 3 = 6. 역연산을 통해서 6 / 3을 하면 원래 값이었던 2가 나온다. 6 / 3 = 2.
완전히 사칙연산을 다 이해했다! 라고 얘기할 수는 없지만, 내게 불확실한 사실들이 명확해졌다. 수학에서 반대는 숫자의 변화량을 말한다. 그 변화량이 반대가 되는 연산자들이 있다. 덧셈과 나눗셈, 곱셈과 나눗셈이 그들이다.