인수분해는 왜 배울까

우리는 해답을 찾을 것이다

중학교 3학년이 되면 처음으로 다항식의 인수분해라는 것을 배운다. 소인수분해가 자연수를 소수의 곱으로 표현하는 것이었다면, 인수분해는 다항식을 가능한 한 낮은 차수의 다항식들의 곱으로 표현하는 것이다. 어떤 다항식은 일차항들의 곱으로 표현할 수 있는 반면, 어떤 다항식은 아예 인수분해가 안되기도 한다. 전자의 예시로 y×y-1 = (y-1)(y+1)을 들 수 있고, 후자의 예시로 y×y+1이 있다. 그런데 도대체 왜 이런 것을 하는 것일까?

가장 근원적인 이유는 인수분해를 하면 방정식의 해를 찾을 수 있다는 점이다. 좌변에 다항식이 있고 우변이 0인 방정식이 있다고 해보자. 인수분해하고 나면 좌변은 다항식들의 곱으로 표현되게 되는데, 이 경우 각각의 다항식을 0으로 만드는 x를 찾으면 방정식의 해를 찾을 수 있다. 예를 들어 좌변이 (x-1)(x-3)과 같이 적혀진다면, 방정식의 해는 1과 3이 된다.

인수분해를 실수에 그치지 않고 복소수까지 확장해서 하게 되면 모든 다항식을 인수분해할 수 있다. 예를 들어 y×y + 1 = 0 이라는 방정식이 있다면, (y+i)(y-i) = 0으로 바꿔 쓸 수 있고, 방정식의 해는 i와 -i가 된다.