수학적 원리를 활용한 술 게임 필승전략

The Game Of Death

감옥같던 고교시절이 끝나면 단지 스무 살이 되었을 뿐인데 많은 것이 바뀐다. 

그 중 빠질 수 없는 것은 단연 술인데, 대학교 새내기가 되면 친해져야 한다는 이유로 다양한 술 게임을 접하게 된다. 술 게임이란 대개 아직 약간은 어색한 사람들이 모여 술을 먹거나 먹이기 위한 게임으로, 그 종류가 매우 다양하다. 사실 대부분이 심리적 요인이나 상대의 취기를 이용하는 것이라 분석이 불가능하지만 수를 활용한 게임이라면 여느 비디오 게임처럼 필승 공략법이 존재한다. 이는, 술 게임의 목적이‘누군가가 지목 당하게 하기 위함’이기에‘지목 당하지 않을 조건’만 찾아내면 절대 지목당하지 않을 수 있기 때문이다.      

The Game Of Death (더게임오브데스)는 K명이 서로를 한 손으로 지목한 후, 최초로 시작하는 출발점에 있는 참가자(호스트)가 원하는 숫자를 외치고 지목한 손을 따라 타겟을 1회 이동시킬 때 마다 수를 1부터 +1을 시키는 과정을 거쳐, 최종적으로는 호스트가 외친 숫자에서 멈추게 되며 마지막으로 지목당한 참가자는 술을 마셔야 하는 게임이다.      

오직 호스트만 승패를 결정할 수 있으며 그 외에는 승패를 관망해야하지만, 호스트임에도 자칫 아무 숫자를 불렀다가 본인이 마시게 되는 슬픈 일이 일어나기도 한다. 하지만 본인이 호스트라면 반드시 승리할 수 있는 방법이 있는데 한 번 알아보자. (호스트를 A라고 놓고, 혼자서는 게임을 할 수 없으므로 참가자가 2명 일 때부터 가정하자 .)      

1) 2명인 경우 서로를 지목하는 경우 밖에 나오지 않는다. 이 경우는 짝수를 부르면 본인이 걸리게 되므로 본인이 지목당하지 않으려면 2의 배수는 제외해야 한다.

2) 3명인 경우 2명만이 서로를 지목하는 경우와 3명이 각각 서로를 지목하는 경우가 등장한다. 2명이서 서로 지목한 경우라면 1)과 동일한 경우이기 때문에 2의 배수가 제외되어야 한다. 3명이 각각 서로를 지목한 경우라면 3의 배수가 되면 A가 지목되기 때문에 3의 배수가 제외되어야 한다. 즉, 2의 배수와 3의 배수가 제외된다면 지목되지 않는다. (물론 A는 B를, B는 C를 C는 B를 지목하는 경우도 있으나 호스트가 제외되었기 때문에 최종적으로 지목당하는 사람은 B와 C둘 중 하나가 되므로 고려하지 않아도 된다. 앞으로도 A가 지목에서 빠지는 경우는 제외하도록 한다.) 

3) 4명인 경우 2명이 서로를 지목하는 경우, 3명이 서로를 지목하는 경우, 4명이 서로를 지목하는 경우가 등장한다. 2명, 3명인 경우는 2)와 같기 때문에 생략하고, 4명인 경우에 4의 배수가 되면 A가 지목되기 때문에 4의 배수 또한 제외 되어야 한다. 즉, 2의 배수, 3의 배수, 4의 배수가 제외되면 지목되지 않는다.     

이런 식으로 생각하다보면 n명인 경우에 대해서도 생각할 수 있다. n명인 경우에는 앞선 경우와 마찬가지로 2명이 서로를 지목하는 경우, 3명이 지목하는 경우, 4명이 지목하는 경우 ... n명이 지목하는 경우까지 등장할 수 있다. 즉, 2의 배수, 3의 배수, 4의 배수 ... n의 배수가 모두 제외되어야 하는데 배수가 없어야 한다는 부분에서 우리는‘소수’의 개념을 떠올릴 수 있다. 소수란 1과 자기 자신 외의 약수가 존재하지 않는 수로, 자기 자신을 배수로 하는 자연수가 없다. 혹자는 여기서 “참가자가 n명일 경우 n보다 큰 소수를 말하면 된다” 라는 원리를 빠르게 눈치 챌 수도 있겠지만 조금 더 깊이, 소수의 개념에서 수학적으로 접근해보자.      

정의 : K-Cycle, t, m, N

전체 참가자가 N명일 때 더게임오브데스에서 K명이 서로를 지목하여 호스트가 m을 외친 후 타겟이 이동된다고 가정하자. t번째 경우부터 특정 인원에게만 지목이 반복되는 경우가 발생하는데, 이를 K-Cycle이라 하자. 예를 들어 2명이 반복 된다면 2-Cycle이다, 3명이 반복 된다면 3-Cycle이다. 이때, 참가자의 수를 N명 이라하면 1<K≤N이다.     

더게임오브데스에서 호스트가 술을 마시게 되는 사건은 그가 외친 수 m이 K-Cycle의 배수인 경우이다. (이때, K-Cycle의 최초 발생 시점 t>1 이라면 호스트가 제외되며 발생하는 K-Cycle의 경우이므로 고려하지 아니할 수 있다.)      

이와 동시에 호스트가 술을 마시게 되었다는 말은 누군가가 본인을 찍었다는 뜻이다. 이를 역추적하게 되면 다시 본인이 나와야 하므로 자연수에 대하여 본인이 t=1인 K-Cycle에 포함된다는 것을 의미한다. 이때, t=1이고 K-Cycle이 수차례 회전되다가 m이 되었을 때 본인이 지목되는 경우이므로 K는 m의 약수이다. 즉, 호스트가 외치는 수m이 참가자 전체의 수 K의 약수인 경우에만 호스트가 걸릴 수 있다.     

때문에 우리는 여기서도“참가자가 K명일 경우 K보다 큰 소수를 부르게 되면 걸리지 않는다.”라는 아까와 동일한 일반항을 도출 할 수 있게 되는 것이다. 

이제부터는 40명이 더게임오브데스 게임을 한다면 41이나 43을 외치고 벌주로부터의 해방을 선언하자.