17. 가설 검정의 입체적 이해(1)
독학으로 논문쓰는 안내서
갈수록 내용이 어려워지는 것 같기도 하다. 그러나 단어가 생소한 것일 뿐 그렇게 어려운 내용은 아니라고 웃어 넘기도록 하자. '가설'이니 '검정'이니 '유의수준' 이니 모르는 통계 용어 때문에 조금 외국어처럼 보일 수 있다는 점을 이해하고 보면 별 것 아닐 수 있다. 우리는 이해하기 어려운 지식을 습득하기 위해 조금 더 입체적으로 보아야 할 필요가 있다. 이는 마치 사건의 본질은 동영상인데, 동영상이 없으니까 목격자 A의 말을 듣고, 목격자 B의 말을 듣고, 목격자 C의 말을 모아서 실제 사건이 어떠했는지를 상상하려니 어려운 것이다. 하지만 증거 CCTV가 있다면 사건에 대해 동영상같은 이해가 가능할 것이다.
니 말이 맞다는 것을 입으로만 털지 말고 제발 영상으로 보여달라고!!가설의 검정도 조금 더 입체적으로 이해하기위해 노력할 필요가 있다. 앞서 정규분포 그래프는 중간이 넓고 양 끝이 좁은 종 모양, 모자 모양 그래프라고 설명했다. 이 그래프는 그래프 아래 면적이 1, 즉 100%임을 가정한다. 왜냐고? 이해를 돕기 위해 좀 더 단순한 예를 들어보려 한다. 바로 동전 던지기이다(나도 학교 다닐때 동전던지기 같은 예가 싫었지만 뭐 굳이 설명을 하자니 이것만한게 없어서 설명을 해 보겠다)
100원짜리 동전을 2개 던지면 나올 수 있는 경우는 무엇이 있을까? 바로 앞면 2개(HH), 뒷면 2개(TT), 앞뒤(HT), 뒤앞(TH) 이렇게 4가지 경우밖에 없다. 정말이다. 이 4가지 경우 밖에 없다(동전이 세워지는 경우도 있잖아요 같은 초딩스러운 질문은 다음으로 미루도록 하자) 그래서 앞면만 나올 확률은 1/4, 뒷면만 나올 확률도 1/4, 앞뒤와 뒤앞 즉 앞면이 하나만 나올 확률은 2/4가 된다. 으니 이것을 다 더하면 1이다(1/4 + 1/4+ 2/4 = 4/4 = 1). 즉 이 모든 경우를 다 합쳤으니 100%이다.
자, 동전이 3개인 경우도 같은 원리로 생각해 보면 간단하다.
앞면 3개(HHH)
뒷면 3개(TTT)
앞면 2개(HHT, HTH, THH)
뒷면 2개(TTH, THT, HTT)
또 있나? 앞면 1개 = 뒷면 2개이므로 이미 했고, 뒷면1개=앞면2개 이므로 이미 했다. 즉 이 8가지가 전부라는 말이다. 그러므로 각각이 나올 확률은,
앞면 3개(HHH) ---> 1/8
뒷면 3개(TTT) ---> 1/8
앞면 2개(HHT, HTH, THH) ---> 3/8
뒷면 2개(TTH, THT, HTT) ---> 3/8
이지 않겠는가? 이걸 다 더하면 결국 1이고(1/8 + 1/8 + 3/8 + 3/8 = (1+1+3+3)/8 = 8/8 = 1) 이를 100%라고 말한다. 그렇다면 동전을 더 늘려도 같은 답을 얻는다는 것이 상상이 될 것이다. 결국 동전을 무한대로 늘려나간다고 해도 그 결과는 동일하다.
이해를 돕기 위해 동전 던지기처럼 값이 딱딱 떨어지는 경우를 예로 들었지만, 사람의 키나 몸무게 등 연속적인 값들은 어떨까? 결국 동전을 무한대로 늘려나가는 것과 같은 상황이 된다. 수많은 사람들 등 키가 1m인 사람, 3m인 사람은 적고, 중간으로 갈수록 많아지는 것은 결국 동전 던지기에서 동전을 무한대로 늘려나간 것과 비슷한 모양이 된다.
아래 그래프를 비교해보면 쉽게 알 수 있다. 아까 동전 2개를 던졌을 때 여기서 앞면이 나오면 1점, 뒷면이 나오면 0점을 먹는다고 생각한 그래프가 왼쪽 그래프이다. 그렇게 하면 앞면 2개(HH)는 2점, 뒷면 2개(TT)는 빵점, 앞뒤(HT), 뒤앞(TH) 은 둘 다 각각 1점이고 각각이 나올 확률은 아래 그래프처럼 1/4, 2/4, 1/4 모양의 그래프가 된다. 이것을 합치면 1이 된다. 동전이 3개인 것을 그래프로 그려도 조금더 작대기가 촘촘해지는 그래프가 될 뿐이지 배가 볼록하면서 합이 1인 그래프가 되는 것은 동일하다. 이것을 무한대로 늘려나간다면 바로 오른쪽처럼 연속된 모양의 그래프가 되지만 그래도 그 아래 작대기들의 합은 1이고 그게 전부니까 100%다.
쉬운 개념을 더 쉽게 설명하는 건, 생각보다 더 어려운 일이었습니다(뭔소리야)
