2,600년전 탈레스의 아이디어
닮음과 비율이라는 아이디어로 문제를 해결하다
문제입니다. 다음 그림에서 숫자는 도형의 넓이를 나타냅니다. 색칠된 부분의 넓이는 얼마일까요?
2,600년전 최초의 철학자, 최초의 수학자라고 불리는 탈레스는 닮음과 비율이라는 아이디어로 많은 문제를 해결했습니다. 닮은 도형들 사이에는 일정한 비례가 성립한다는 것이죠. 예를 들어 다음과 같이 닮은 두 개의 삼각형 사이에는 길이의 비율, 넓이의 비율이 일정하게 유지됩니다. 닮음과 비례를 이용하여 길이와 넓이를 계산하는 것은 수학 역사의 초창기에 있었던 아주 중요한 아이디어였습니다.
우리의 문제에서도 닮은 두 개의 삼각형을 찾아서 닮음과 비례에 관한 탈레스의 아이디어를 적용하는 것이 문제를 해결하는 방법입니다. 주어진 문제에서는 크기가 1인 삼각형과 크기가 4인 삼각형이 닮음입니다. 삼각형의 넓이는 1/2에 높이와 밑변을 곱하는 것이기 때문에 닮은 작은 삼각형과 큰 삼각형의 밑변과 높이의 비율은 각각 1:2입니다. 따라서 작은 삼각형의 밑변을 a, 높이를 h라고 하면 큰 삼각형의 밑변과 높이는 각각 2a, 2h입니다. 다음과 같이 표시할 수 있습니다.
이제 전체적인 상황을 파악해보면 주어진 사각형은 가로 2a, 세로 3h 인 사각형입니다. 넓이가 1인 삼각형의 밑변을 a, 높이를 h라 하고 넓이를 계산하면 1/2×a×h = 1 이므로 ah = 2 입니다. 따라서 전체 사각형의 넓이는 2aⅹ3h = 6ah = 6ⅹ2= 12 입니다.
색칠된 부분의 넓이는 전체 직사각형의 넓이에서 표시된 넓이의 합(1+3+4=8)을 빼면 구할 수 있습니다. 따라서 색칠된 부분의 넓이는 12 - 8 = 4입니다.
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박종하
mathian@daum.net
