최종 이론은 가능할까?

물리학에서 힘이라는 개념은 어떤 입자나 물체의 운동 상태 변화를 기술할 때 사용된다. 현대 과학의 가장 큰 발견은 자연의 모든 현상을 중력, 전자기력, 강력, 약력 등 네 가지의 힘으로 기술 가능하다는 것이다. 중력은 우리에게 가장 익숙한 힘으로 고층 빌딩에서 뛰어내릴 때처럼 그 위력이 대단해 보이지만, 위의 네 가지 힘들 중에는 중력이 가장 약하다. 전자기력은 전기력과 자기력을 합한 개념으로 원자들을 서로 묶어 두며, 우주 연구에 도움이 되는 전자기 복사를 만들어 낸다. 약력은 강력과 비교하면 약하지만, 중력보다는 훨씬 강한 힘이다. 약력과 강력은 나머지 힘들과는 달리 원자핵의 크기나 그보다 작은 영역에서만 작용한다. 약력은 방사능 붕괴나 중성미자의 생성 반응과 관련된다. 한편, 강력은 원자핵 내에서 양성자와 중성자를 묶어두는 역할을 한다.

물리학자들은 왜 우주에 하필이면 4개의 힘만이 존재하는지 궁금했다. 이에 대한 해답의 실마리는 전자기력에서 찾을 수 있었다. 오랜 세월 동안 과학자들은 전기력과 자기력이 서로 독립된 것으로 생각해 왔지만, 제임스 맥스웰은 이 두 가지 힘을 하나고 통일시킴으로써, 같은 현상의 양면에 불과함을 입증했다. 많은 과학자들은 우리가 아는 네 가지 힘들도 같은 방법으로 통일시킬 가능성을 찾게 되었다. 물리학자들은 네 가지 중에서 세 가지의 힘들을 통합하는 대통일 이론(Grand Unified Theories)을 만들었다. 이 이론에서는 강력, 약력, 그리고 전자기력은 3개의 서로 독립된 힘이 아니라, 한 가지 힘의 세 가지 다른 모습이라고 설명하고 있다.

온도가 매우 높은 상태에서는 오직 한 가지 힘만이 존재하지만, 온도가 낮아지면서 그 힘이 세 가지의 다른 힘들로 분리된다는 것이다. 여러 종류의 기체들이 혼재된 상태에서는 각 기체들이 서로 다른 온도에서 응결되듯이, 하나로 통합된 힘도 온도가 하강함에 따라 적절한 온도에 이르게 되면 그 온도에 해당하는 다른 힘이 하나씩 차례로 빠져나온다는 설명이다. 불행하게도 세 가지의 힘이 하나였던 때의 온도는 워낙 높아서 지상의 어떤 실험실에서도 그 조건을 재현해 낼 수 없다.

물리학자는 기본 힘을 연구하여 몇 가지 공통점을 발견했다. 첫 번째 공통점은 힘의 세기를 결정하는 물리량이 있다는 것이다. 중력은 질량(mass), 전자기력은 전기 전하(electric charge), 강력은 강전하(strong charge), 약력은 약전하(weak charge)라는 양에 의해 결정된다. 두 번째 공통점은 게이지 입자라고 불리는 힘을 전달하는 입자가 있다는 것이다. 물체의 에너지나 속도가 변했을 때 뉴턴 역학에서는 힘을 받았기 때문이라고 해석하는데, 변화된 에너지나 속도를 제공해주는 실체를 입자로 해석할 수 있다. 전자기력은 광자(photon), 중력은 중력자(graviton), 약력은 W와 Z 입자(W&Z boson), 그리고 강력은 글루온(gluon)에 의해 전달된다. 세 번째 공통점은 수학적으로 구조가 유사한 대칭성의 원리를 이용하면 네 가지 힘이 존재해야 하는 이유와 기본 성질을 설명할 수 있다는 것이다.

이러한 공통점들은 이 힘들이 동일한 기본원리에 의해 통일될 가능성을 보여준다. 하지만 힘의 세기나 작용하는 입자가 다른 힘들이 어떻게 하나로 통합될 수 있을까? 그 실마리는 온도에 따라 힘의 세기가 달라진다는 데 있다. 낮은 에너지 상태에서는 서로 다른 형태로 나타나는 힘이 높은 온도 조건에서는 하나로 통합이 될 수 있음을 내포한다. 힘의 세기는 거리에 따라서도 달라지는데 아주 극히 짧은 거리에서 크기가 같아진다는 것이 밝혀졌다.

힘이 각각 다른 입자에 작용하는 문제는 질량이 큰 매개 입자가 존재해서 충돌로 입자가 생성되었을 것으로 추측해 볼 수 있다. 그리고 매개 입자의 질량이 매우 크다는 것은 이 입자들의 생성 당시의 온도가 매우 높았다는 것을 의미한다. (아인슈타인의 질량-에너지 등가 원리에 의해 질량은 곧 에너지이고, 에너지가 높다는 것은 온도가 높다는 것을 의미하기 때문이다.)

기본 힘의 통일 연구에서 거둔 첫 번째 성공은 약력과 전자기력의 통합이다. 1967년 스티븐 와인버그(Steven Weinberg, 1933~2021)와 압두스 살람(Mohammad Abdus Salam, 1926~1996) 등은 새로운 무거운 입자를 매개로 한 전자기력-약력(전약력)의 통합 이론을 제시하였는데, 1983년의 CERN의 실험을 통해서 예측하였던 두 종류의 새로운 기본입자들이 발견됨으로써 옳다는 것이 입증되었다. 이에 힘을 얻은 물리학자는 통합된 전약력에 강력을 통합하는 대통일이론(GUT, Grand Unified Theory)을 연구하게 되었다. 이론적으로 전약력과 강력은 온도가 약 1,028K까지 올라가면 세기가 같아질 것으로 예측하였다.

1,028K는 지구 상의 입자 충돌에 의해 생성될 수 있는 온도가 아니다. 이 온도는 빅뱅 후 아주 초기의 우주 온도에 해당한다. 자연스럽게 대통일이론 연구는 우주론 연구와 연결되어 우주론의 새 패러다임을 제시하였다. 빅뱅이 일어나던 순간에 기본 힘이 하나의 힘(초힘, super force)으로 통합되어 있다가 몇 개의 다른 힘으로 분리되었다. 최초의 순간 힘은 같은 세기로 작용하면서 구별되지 않는 상태였다. 이것을 물리학에서는 대칭성을 갖는다고 표현한다.

대통일이론에서 강력과 전약력은 하나의 힘으로 통합되어 있고, 입자들은 임의의 다른 입자로 변환될 수 있다. 이 반응은 흔히 X 입자와 Y 입자로 불리는 입자들에 의해 매개된다. X 입자는 지금까지 알려진 어떤 입자와도 다른 입자로, 물질을 반물질로 변화시킬 수 있는 입자이다. 모든 기본입자는 자신과 반대의 성질을 갖는 반입자가 존재한다. 하지만 오늘날 우주에는 반입자로 이루어진 반물질이 대량으로 존재한다는 증거는 없으며, 물질이 지배적으로 존재한다. 이와 같은 사실은 우주 초기에 물질과 반물질의 존재량에 차이가 있어야만 설명될 수 있는데, 물리학자들은 X 입자와 그의 반입자가 같은 비율로 붕괴하지 않아 존재량에 차이가 생겨서 오늘날의 불균형 상태로 변화되었다고 설명한다.

한편 두 번째 입자인 Y 입자는 자기홀극(magnetic monopole)이라 불리는 입자로 초기 우주에서 비정상적인 에너지장의 방향이 잘못 배열된 곳에서 생성되었다. 자기홀극은 간단히 말해서 N극 또는 S극만 있는 자석을 의미한다. 이 입자는 우리 우주에 존재하는 전기력과 자기력과의 연관 때문에 대통일이론에서 필연적으로 대량으로 발생하게 된다. 하지만 오늘날 우리 주위에서 볼 수 있는 자석은 N극과 S극이 동시에 존재하며 우주에도 자기홀극이 존재한다는 증거는 없다. 이것을 자기홀극 문제라고 한다.

대통일이론에서 우주는 처음에 에너지 밀도가 높고 대칭성이 높은 상태(‘가짜 진공’이라 불림)에서 팽창과 냉각을 통해 에너지 밀도가 낮고 대칭성이 낮은 상태로 진화해왔다고 생각한다. 이 과정은 댐이 붕괴하는 과정과 비슷한 맥락에서 이해할 수 있다. 강물은 항상 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르고 강이 이르는 최종 목적지는 가장 해발고도가 낮은 바다가 된다. 하지만 때로는 강물이 바다에 도달하지 않았음에도 흐르지 않고 고여 있는 경우가 있다. 댐으로 강물을 가로막아 놓은 경우이다. 댐에 고인 물은 더 이상 흐르지 않는다. 하지만 댐에 엄청난 압력을 가하고 있다. 만약 댐이 수압을 견디지 못해 한순간에 터지게 되면 엄청난 양의 에너지가 쏟아져 나오고 강물은 바다로 흘러가게 된다. 우주공간의 에너지가 가장 낮은 상태를 ‘진공’이라 하면, 바다는 ‘진공’에 해당하고 댐은 ‘가짜 진공’에 해당한다.

대통일이론에서는 우주는 강물을 가둬 놓은 댐과 같은 ‘가짜 진공’ 상태에서 시작되었고 힘은 하나의 힘으로 통합되어 있었다고 상정한다. 그런데 어느 순간 이러한 구조가 붕괴하면서 가짜 진공이 진짜 진공으로 전환되었고, 그 과정에서 힘이 분리되었다는 것이다. 이 과정은 물이 얼음으로 바뀌는 상전이(phase transition)와 유사하며 진공의 상전이라 불린다.

자기홀극 문제로 고민하던 앨런 구스(Alan Harvey Guth, 1947~ )는 어느 날 우주가 가짜 진공의 상태에서 출발했다면, 초기의 팽창 속도는 지수함수적으로 빨라져서 자기홀극의 밀도가 순식간에 작아질 것이라는 생각을 하였다. 그리고 자기홀극이 발견되지 않는 것은 자기홀극이 존재하지 않기 때문이 아니라 너무 넓은 우주에 흩어져 있어서 찾지 못하는 것이라는 답을 얻었다.

인플레이션 이론에서는 우주 초기에 우주는 가짜 진공상태에 있어서 진공의 에너지로 가득 차 있었고 상전이가 일어나는 순간 진공의 에너지는 우주를 급격하게 팽창시켜 우주의 인플레이션이 일어났다고 설명한다. 이 과정은 물이 가득 찬 댐이 한꺼번에 터지듯, 호수의 물이 한꺼번에 얼어붙듯이 극적으로 일어난다. 호수의 물이 얼어붙는 과정은 물 분자들 사이의 미시적인 결합구조가 호수 전체로 확산하는 것이다. 하지만 우주의 인플레이션은 영원히 지속하지는 않는다. 진공에서 흘러나온 에너지가 입자로 흘러들어 가면서 중력이 인력효과를 발휘하여 팽창 속도를 늦추기 때문이다. 이후 인플레이션에 의한 가속 팽창은 멎고 우주는 등속 팽창을 계속하게 되었다는 것이다.

오늘날 인플레이션 이론은 빅뱅의 순간에 일어났던 일을 설명하는 가장 설득력 있는 이론으로 받아들여진다. 그동안 빅뱅 이론은 빅뱅의 순간보다 빅뱅 이후에 일어난 일을 설명해왔는데 비해 인플레이션이론은 빅뱅의 순간에 최대한 접근하게 한다. 그리고 인플레이션이론은 현재의 우주 모습을 자연스럽게 설명한다. 왜 우주가 전체적으로 모든 방향에서 같게 보이는지 우주공간이 평평한지를 설명한다. 인플레이션으로 우주는 자동으로 곡률이 거의 없어지고 밀도가 임계값에 가까워지기 때문이다.

알버트 아인슈타인에 의한 일반상대성이론 이후 양자 중력 이론에 대한 역사는 100여 년이 넘었다. 그동안의 연구에 의하면 양자 중력에 이르기 위해서는 크게 세 가지의 길이 가능할 것이라고 알려져 왔다. 이 세 가지 길은 흔히 공변적(covariant), 정규적(canonical), 그리고 과거를 합한 방법(sum over histories)이라 불려진다. 공변적 방법이란 편평한 민코프스키 공간에서 메트릭의 섭동에 관한 양자장이론이라 할 수 있다. 이 이론은 1930년대 로젠펠트, 피어즈 그리고 파울리에 의해 시작되었다. 그리고 1960년대 드위트등에 의해 일반 상대론의 파인만 규칙으로 발전되었고 70년대에 재규격화가 불가능하다는 것이 밝혀졌다. 이는 1980년대 끈이론(string theory)으로 발전하게 된다. 정규적 방법이란 힐버트 공간에서 양자이론을 구축하는 것을 말한다. 이는 베르그만에 의해 시작되었고 50년대 디랙에 이어지게 된다. 그리고 60년대 중반 휠러와 드위트에 의해 양자 중력 이론의 방정식이 탄생하게 된다. 이는 1980년대 후반 루프 양자이론(loop quantum gravity)으로 이어지게 된다. 과거의 합에 의한 방법은 파인만의 경로 적분의 양자화를 이용하는 것이다. 이는 1970년대 호킹의 유클리드 양자 중력 이론(Eucleadian quantum gravity)으로 나타나게 되고 이어 스핀 거품 모델 등으로 발전하게 된다. 이외에도 슈퍼 그래비티(super gravity), 트위스터 이론(Twistor theory)등 다른 방법들도 많이 있다.

현대 과학의 가장 중요한 이론인 일반상대성이론은 알버트 아인슈타인에 의하여 1915년, 그리고 양자역학은 1926년에 완성되었다. 그 후 1930년에는 보른, 요르단 그리고 디랙 등에 의해 전자기장의 양자 역학적 성질에 대해 이해할 수 있게 되었다. 아인슈타인은 1916년 그가 완성한 일반 상대성이론이 양자적인 효과에 의해 보정될 것으로 예측하였다. 1927년 오스카 클라인은 양자 중력이 시공간에 대한 개념을 바꿀 수 있을 것이라고 생각하였다. 그리고 1930년대 초반 로젠펠트는 양자 중력이론에 대한 구체적인 논문을 발표하였다. 이 논문에서 그는 아인슈타인의 장방정식에 장의 양자화를 위하여 파울리의 게이지 그룹(gauge group) 방법을 적용하였다. 이어 파울리와 피어즈등에 의해 그래비톤(graviton)이 알려지게 되었고 보어는 중성 미자와 그래비톤의 정체성에 대해 고려하게 되었다. 1938년에는 하이젠베르크가 중력결합 상수(gravitational coupling constant)가 차원이 존재한다는 사실이 중력장의 양자화에 있어서 문제를 야기하는 것이라고 지적하였다.

2차 세계대전이 끝난 후 양자 중력이론에 관한 연구는 본격적으로 시작하게 되었다. 우선 피터 베르그만은 1949년 비선형 장이론에서 위상공간의 양자화에 대한 연구를 시작하였다. 그는 양자적으로 측량 가능한 것은 독립적인 하나의 공간에 대응한다는 것을 논하였다. 이어 로젠펠트, 피어즈, 파울리와 굽타는 중력장의 편평한 공간의 양자화에 대한 논문을 발표하였고 이는 양자 중력 이론에서 공변적인 방법의 시작이 되었다. 이어 1957년에는 찰스 마이스너가 “일반상대성이론에 있어서의 파인만 양자화”라는 개념을 제안하는 논문을 발표하였다. 이 논문에서 그는 중력을 양자화할 수 있는 가능한 세 가지의 방법, 즉 공변적(covariant), 정규적(canonical), 그리고 과거를 모두 더하는(sum over histories)에 관하여 논해 큰 주목을 받았다. 디랙은 1959년까지 일반 상대론의 정규적인 방법이 어떤 것인지를 알아내었다. 존 휠러는 중력장의 양자적 섭동(fluctuation)이 기하의 작은 범위에서의 섭동이라는 것을 주장을 하였고 시공간의 거품(foam)이라는 새로운 물리적인 개념을 제안하였다. 그는 또한 2+1차원의 양자 중력 이론이 연구해 볼 만한 가치가 있고 아주 유용한 하나의 모델이 될 것이라고 주장하였다. 1964년 영국의 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈는 새로운 개념인 스핀 네트워크라는 것을 이야기하고 이것은 SU(2) 이론에 의한 공간의 이산적인 구조라고 주장하였다. 이는 이로부터 25년 후에 발표되는 루프 양자이론과 거의 동일한 아이디어라 할 수 있다.

1967년 브라이스 드위트는 “휠러-드위트 방정식”에 대한 논문을 발표하였다. 이 방정식은 소위 양자 중력 이론에 대한 처음으로 성공한 방정식으로 알려져 있으며 많을 주목을 받게 되었다. 드위트의 논문을 바탕으로 공변적 양자 중력 이론이 발전되었고 마이스너는 양자 우주론(quantum cosmology)이라는 새로운 분야를 탐색하기 시작하였다. 1971년에는 드위트의 방법을 이용하여 트후프트와 벨트만은 일반 상대론에 있어서의 재규격화 이론을 연구하기 시작했고 이어 양-밀스 이론의 재규격화에 성공하기에 이르렀고 이로 인해 이 두 사람은 후에 이에 대한 공로로 노벨 물리학상을 수상하게 된다.

1974년 스티븐 호킹은 블랙홀 복사를 유도해 내었다. 호킹의 연구는 휘어진 시공간에 대한 양자 장이론의 응용이라서 양자 중력과는 직접적 연관성이 없었으나 큰 영향을 끼치게 된 것은 사실이며 블랙홀 열역학이라는 새로운 분야를 개척하게 되었고 블랙홀 엔트로피라는 새로운 양자 중력의 문제를 이끌어 내었다. 이는 가속운동 하는 관찰자의 양자 이론, 중력 그리고 열역학의 관계에 대해 생각하는 계기를 마련하게 된다. 이어 호킹과 하틀은 1983년 우주 파동 함수(wave function of the universe)라는 양자 중력과 양자 우주론에 대한 새로운 아이디어를 발표하였다.

1980년대는 양자 중력 이론의 발전에 있어서는 무엇보다도 중요한 끈 이론(string theory)의 등장이라고 할 수 있을 것이다. 1984년 그린과 슈바르쯔는 끈(string)이라는 새로운 개념을 발표하면서 이 끈이 우리의 우주를 설명할 수 있을 것이라고 주장하였다. 이후 10차원의 초끈이론과 4차원의 물리학의 관계가 칼라비-야우 다양체의 형식으로 연구되었다.

당시 물리학계에서는 초끈이론이 양자 중력 이론의 최종적인 대안이 될 수 있을 것이라는 희망에 휩싸이기도 하였다. 1986년에는 압헤이 아쉬태커에 의해 일반 상대론의 연결 공식(connection formulation)이 연구되었다. 1988년에는 연결 공식(connection formulation)의 휠러-드위트 방정식에 대한 해를 얻게 되었고 이는 루프 양자 중력 이론(loop quantum gravity)이 나타나게 된 계기를 마련하였다. 에드워드 위튼은 1988년 위상 양자장 이론(topological quantum field theory, TQFT)를 제안하였고 2+1차원에서의 일반 상대론의 양자화 할 수 있는 독창적인 방법을 알게 되었다. 이후 초끈 이론에 대한 수많은 연구가 수행되었다. 그 중 특히 1995년에 끈이론에 있어서 비섭동(nonperturbative) 이론, 즉 브레인(branes), 듀앨리티(dualities), M 이론등이 제안되었다. 같은 해에는 스핀 네트워크(spin network)와 정규 직교 기저(orthonormal basis)를 이용해 루프 양자 이론에서 힐버트 공간에 대해 연구되었고, 이어 루프 양자 이론에 대한 엄밀한 수학적인 틀과 방법이 마련되면서 이 분야의 발전이 있게 되었다. 2000년에는 리 스몰린에 의해 루프 양자 이론과 끈이론의 관계에 대해 시도를 하였다. 이후 양자 중력 이론의 세 가지 분야에서 많은 연구자들에 의해 여러 방향으로 연구가 계속되어 오고 있다.

수학이나 기초과학 분야에서 어떤 이론이나 아이디어가 서로 잘 맞지 않는 경우 이를 해결하기 위한 과정에서 중요한 발견이나 발전이 이루어지곤 한다. 예를 든다면, 맥스웰방정식과 갈릴레이 변환 사이의 양립하지 않는 문제로부터 아인슈타인의 특수상대성이론이 나타났고, 특수상대성이론과 뉴턴의 만유인력 사이의 문제로부터 일반상대성이론이 발전되었으며, 특수상대성이론과 양자역학으로부터 양자장이론이 나타나게 되었다. 또한, 양자장이론과 일반상대론은 양립하지 않으며, 일반상대성이론을 양자화하기 위해서는 재규격화 이론이 필요하다. 이를 위해서는 아주 짧은 길이나 아주 높은 에너지의 경우에서 가능할 것으로 추측된다.

이를 위해 끈 이론에서는 양자장이론에서의 중요한 가장 기본적인 가정을 포기해야 한다. 이는 소립자가 수학적으로 점입자가 아니라 1차원적으로 연장 가능한 끈이라 불리는 것으로 대체한다는 것이다. 또한, 초끈이론은 만유인력까지 포함하여 기본적인 네 가지 힘을 합할 수 있을 것으로 많은 학자들이 기대하고 있다. 아직 초끈이론이 완벽하지는 않지만 최근 우주론의 발전과 함께 많은 발전이 있었다.

하지만 초끈이론에 있어 아직 해결해야 할 중요한 것들이 있다. 첫째는 아주 짧은 거리나 아주 높은 에너지 영역에서는 이 이론이 성공적이지만 일상생활의 영역에서는 일반상대론의 형태가 아직도 끈이 아닌 원래의 아인슈타인의 형식으로 전개된다는 것이다. 즉 양자장이론에서는 만유인력의 존재가 필요하지 않지만 끈 이론에서는 만유인력이 필요하다는 것이다. 둘째는 표준모델(standard model)을 구성하는 양-밀스(Yang-Mills) 게이지 이론이 끈 이론에서는 자연적으로 나타난다는 것이다. 셋째는 끈 이론의 해는 초대칭성이라는 것이다. 일반상대론이나 게이지 이론에서는 이와는 다르다. 또한, 초끈이론의 결과들이 아직 실험적으로는 발견되지 않고 있다.

초끈이론의 가장 중요한 예측 중의 하나는 초대칭성이다. 초대칭성이 깨지는 에너지 범위는 100GeV~1TeV 근처이다. 대칭성이란 일반적으로 알려진 소립자는 항상 짝이 되는 소립자가 있다는 것이다. 일반적으로 초대칭성에는 R-대칭성이라 불리는 곱이 되어 보존되는 물리량이 존재한다. 우리에게 알려진 대부분의 입자는 짝수 배로 되는 R-대칭성이 존재하며, 이 입자들의 짝이 되는 초입자들은 홀수 배의 R-대칭성이 존재한다. 이러한 초입자들은 입자 간의 충돌에서 생겨난다. 가장 가벼운 초대칭적 입자는 절대적으로 안정적이다. 가장 대표적인 예가 뉴트랄리노(neutralino)라고 불리는 것이다. 이 입자는 전기적으로 중성인 페르미온이다. 이러한 입자는 아주 약하게 상호작용을 하기에 대표적인 암흑물질의 후보이다.

현재로서는 초끈이론이 일반상대론과 양자장이론이 양립할 수 없는 문제점들을 해결하고 네 가지의 기본적인 힘을 합칠 수 있는 가장 유력한 후보로 알려져 있다. 지난 50년간 초끈이론이 어떻게 발전되어 왔는지를 살펴보는 것은 앞으로의 더 많은 연구와 노력으로 이러한 문제점들을 잘 해결하고, 보다 나은 이론으로서 정립해 나갈 수 있는지를 판단해 보는데 유용할 것이다.

양자장이론에서는 가장 기본적인 소립자를 점으로 가정하지만, 섭동적 끈 이론에서 가장 기본적인 개체는 1차원적인 끈이다. 극히 낮은 에너지에서는 끈은 점입자에 근사 된다. 이러한 점에서 끈 이론은 양자장이론에서 성공적이라 할 수 있는 것이다. 끈은 시간이 진행됨에 따라 시공간에서 2차원 표면을 지나가는데 이를 끈의 세계 시트(world sheet of the string)이라고도 한다.

양자장 이론에서는 진폭(amplitude)은 파인만 다이어그램(Feynman diagram)과 관계되는데 이는 가능한 세계선(world line)의 배열을 말한다. 또한 상호작용(interaction)이란 세계선 간의 교차를 말한다. 섭동 이론은 양자전기역학 같은 분야에서 아주 유용하다. 이는 물리량을 작은 매개변수를 이용하여 멱급수로 전개할 수 있기 때문이다. 양자전기역학에 의하면, 아주 작은 매개변수인 파인-스트럭처(fine-structure) 를 사용한다. 양자색역학(QCD)에서도 섭동 이론이 유용한 때도 있지만 그렇지 않은 예도 있다. 하드론의 에너지 스펙트럼을 계산할 때는 비섭동적인 방법이 필요한데 이는 바로 격자 게이지 이론(lattice gauge theory)이다. 끈 이론에서는 차원이 없는 끈결합상수(string coupling constant)가 사용된다.

양자역학은 정확한 위치와 운동량을 갖은 입자를 대신하여 확률 개념을 도입했다. 양자역학의 선구자 중의 한 명은 하이젠베르크는 양자역학이라는 이론을 산란(scattering) 행렬만으로 서술할 수 있어야 한다고 주장했다. 여기서 산란 행렬(S-matrix)이란 멀리 떨어져 있는 두 개의 입자가 서로 가까이 다가올 때 어떤 일이 일어나는지를 말해 주는 수학적 양이다. 두 입자가 충돌 후 단순히 사라져 버릴지, 아니면 충돌과 함께 소멸하면서 새로운 입자를 만들어 낼지는 이 S-행렬에 의해 알 수 있다.

1960년대 초반 강한 상호작용 이론을 연구하던 제프리 츄(G. Chew)는 ‘해석적 S-행렬’이라는 새로운 유형의 S-행렬을 제안하였는데 여기서 ‘해석적’이란 입자의 초기 에너지와 운동량의 변화에 따라 S-행렬이 변해 가는 방식에 해석적 조건을 부과했다는 것이다. 이 조건은 에너지와 운동량은 실수가 아닌 복소수로 표현되며, S-행렬에 부과된 해석적 조건은 ‘분산관계(Dispersion relation)’라는 방정식으로 나타난다. 츄는 해석적 조건과 몇 개의 원리로부터 S-행렬을 단 하나의 값으로 유일하게 결정할 수 있는 소위 구두끈(bootstrap)을 제안하였다. 해석적 조건을 가하면 각 입자의 기본 특성은 다른 입자와의 상호작용에 의하여 결정되며, 전체 이론은 소립자 대신 구두끈을 잡아당겨 스스로 끌어올 리는 체계를 갖게 된다는 것이다.

초기의 끈 이론은 1960년대 가장 연구가 활발했던 하드론 물리학의 이 S-행렬 방법에서 비롯되었다. 1968년 베네치아노(G. Veneziano)는 수학자 오일러(L. Euler)가 창안했던 베타 함수가 해석적 S-행렬의 특석을 서술하는 가장 좋은 도구라고 인식하였다. 베타 함수를 통해 유도된 S-행렬이 가지고 있는 가장 중요한 특징은 이중성(duality)이다. 듀얼리티란 강력을 교환하는 입자들을 바라보는 방식이 두 가지가 있으며 각 방식마다 서로 다른 행동 양식이 관측된다는 의미이다. 이후로 남부(Y. Nambu), 서스킨드(R. Susskind), 닐슨(H. Nielson)은 베네치아노 공식에서 간단한 물리적 의미를 유추하는 데 성공했는데, 양자장 이론의 S-행렬이 고전역학에서 입자를 끈으로 간주한다는 것이다. 여기서 말하는 끈이란 공간 속에 존재하는 1차원 경로로서 이상적인 끈 조각이 3차원 공간 속에서 점유하는 위치를 말하며 이러한 끈은 열려 있을 수도, 닫혀 있을 수도 있다.

이후로 많은 학자들이 입자를 대신해 끈에 양자역학의 표준 방법을 적용하여 양자역학적 끈 이론을 만들어 냈으나, 두 가지 문제에 직면하게 된다. 첫째는 끈이 거하는 공간이 4차원이 아니라 26차원이라는 것이고, 둘째는 빛보다 빠르게 움직이는 타키온을 포함해야 한다는 것이었다. 타키온이 이론에 포함되면 양자장이론은 타당한 체계를 유지할 수 없다. 그 이유는 정보가 과거로 전달되기 때문에 인과율과 위배되며, 타키온을 포함한 이론에서는 진공에서 타키온의 붕괴를 허용하기 때문에 안정된 진공상태가 존재하기 어렵기 때문이다.

1970년 피에르 라몽은 3차원 변수를 갖는 디랙방정식을 무한차원으로 확장시켜서 최초로 페르미온을 포함하는 끈 이론을 구축했다. 그 후 많은 학자들의 연구로 인해 페르미온을 포함한 끈 이론이 타당해지려면 끈이 거하는 공간이 26차원이 아니라 10차원이어야 한다는 것을 알아냈다.

공간 속에서 1차원 끈이 쓸고 지나간 궤적은 2차원 곡면을 이루는데 이것을 끈의 월드 시트(world sheet)라고 한다. 1971~73년 사이에 4차원 양자장이론에 초대칭을 도입하였고, 끈이론을 연구하던 학자들은 페르미온을 포함한 끈이론은 4차원 초대칭과는 달리 2차원의 초대칭이 존재한다는 것을 알아냈다. 이와 같이 초대칭이 도입된 끈 이론을 “초끈이론”이라 하였고, 초기의 초끈이론은 한동안 강력을 서술할 수 있는 유력한 후보로 떠올랐다. 1973년 점근적 자유성이 발견되면서 많은 학자들이 끈 이론을 포기하고 QCD를 다시 연구하였으나, 슈바르쯔는 초끈이론을 계속 파고들었다. 1979년 슈바르쯔는 그린과 함께 끈 이론의 초대칭을 확립하는 데 성공하였다.

초끈이론은 여러 가지 유형이 있는데 게이지 비정상성이 상쇄되는 이론을 II형 이론(type II)이라 하는데 이 이론에서는 표준모형의 양-밀스 장을 다룰 방법이 없다. 다른 유형인 I형이론(type I)은 양-밀스 장을 포함할 수 있다. 1984년 슈바르쯔는 I형 이론의 비정상성을 계산하는 데 성공하였다. 대칭군을 SO(32)로 잡으면(이는 32차원 회전 대칭군이다) 다양한 게이지 비정상성이 상쇄된다. 이어 그로스(D. Gross), 하비(J. Harvey), 마르티넥(E. Martinec), 롬(R. Rohm)에 의하여 비정상성이 상쇄되는 다른 사례를 찾아냈는데 이를 혼합종(heterotic) 또는 이형 초끈이라 불렸다. 이 네 명과 위튼은(E. Witten)은 이형 끈이론으로부터 표준모형의 물리학을 도출해 내는 데 성공하였다.

여기서 초끈이론이 우리들의 현실과 일치하기 위해서는 이론의 배경인 10차원의 문제가 해결되어야 한다. 한 가지 방법은 4차원의 시공간의 모든 점마다 관측되지 않을 정도로 작은 6개의 차원이 지극히 작은 영역에 숨어 있다는 설명이다. 이를 위해서는 끈의 월드 시트인 2차원 곡면의 등각 변환에 대하여 이론 그 자체가 불변이어야 한다. 이 조건을 부과한 후 초대칭성을 도입하면 여‘분의 6차원 공간은 각 점마다 세 개의 복소좌표로 표현되고, 공간의 곡률은 어떤 특수한 조건을 만족해야 한다’라는 사실을 증명할 수 있다. 여기서 곡률에 부과되는 조건은 6차원 공간만이 만족할 수 있는 조건인데 칼라비(E. Calabi)는 ‘이와 같은 곡률 조건이 만족되기 위해서는 어떤 특정한 위상 불변량이 사라져야 한다’라고 주장했고, 이를 야우(S. Yau)가 1977년 증명하여 이러한 곡률 조건을 ‘칼라비-야우 공간’이라 불린다.

비슷한 시기에 네보(Neveu)와 슈바르쯔(Schwarz)는 보존적 끈 이론을 발전시켰는데 이 경우에도 위에서 논한 super-Virasoro 대수와 비슷한 결과를 도출했다. 이 모델은 타키온을 포함할 수 있었고, 흔히 이중파이온 모델(dual pion model)이라 불렸다.

질량이 없는 끈의 상태 중에서 스핀 2인 경우가 있다. 1974년 이 입자는 그래비톤처럼 상호작용하는 것으로 알려졌다. 이 결과는 대통일이론에서 끈 이론이 등장하게 되는 계기가 되었다. 이는 하드론의 크기보다 훨씬 작은 플랑크 스케일 크기의 끈이라 생각하게 되었다. 10차원의 초끈이론에서 가장 문제가 되는 것은 4차원 시공간을 뺀 나머지 6차원의 공간이 무엇인가에 대한 것이다. 여기서 가능한 것은 나머지 6차원은 플랑크 스케일의 극히 작은 컴팩트한 공간이므로 관측 불가능하다는 것이다.

초끈이론의 중요한 발전은 1984~1985년에 나타났다. 특히 끈이론이 가능성을 보인 것은 1984년 그린(M. Green)과 슈바르쯔(J. Schwarz)는 끈 이론의 문제점인 타키온의 존재와 수학적 부정합성을 제거할 수 있는 방법을 알아내면서 부터이다. 그들의 주장은 끈 이론이 중력을 설명하는 동시에 양자역학적으로 모순이 없으려면 10차원이라는 개념을 도입해야 한다는 것이었다. 이 새로운 끈 이론은 고도의 수학적 정합성을 갖춘 것이었고, 실험이 불가능한 영역을 기술하는 이론으로 학계의 흐름을 좌우하는 가장 큰 주제가 되었다. 끈 이론은 어떤 일반 상대론적 배경의 영향 아래 있는 1차원적 물체, 끈의 운동으로 중력과 나머지 근본 상호작용을 동시에 설명하고자 한다

1985년까지 다섯 가지의 형태는 틀리지만 일치하는 초끈이론이 존재한다는 것을 알게 되었고, 이들 각각은 모두 10차원 시공간에서 초대칭성이 필요했다. 이 이론들은 각각 type I, type IIA, type IIB, SO(32) heterotic, heterotic등으로 불린다. heterotic 초끈이론에서 칼라비-야우(Calabi-Yau) 컴팩트화(compactification)는 유용한 저에너지 이론을 제공해주며, 이는 표준모델에 초대칭성을 확장시키는 것과 같다는 것을 알게 되었다. 칼라비-야우 공간은 여러 가지 종류가 있어 자유도가 실질적으로 많이 존재한다. 이는 현실적인 물리학과 많은 연관성이 있어 많은 관심을 받고 있다. 칼라비-야우 공간에서의 위상수학은 쿼크와 렙톤을 얻을 수 있다. 적당한 선택을 하면 3개의 쿼크-렙톤 가족을 얻을 수 있다.

1995년을 즈음하여 끈 이론의 비섭동이론의 중요한 발견들이 이루어졌다. 이러한 발견 중 하나는 이중성(dualilties)에 중요한 것이 있다는 것을 알게 되었다. 그 가운데 첫째는 다섯 가지의 초끈이론이 서로 연관되어 있다는 것이다. 이는 결론적으로 말해 다섯 가지의 초끈이론은 다 같다는 의미이다. 이는 실질적인 물리적 현실에 있어 의미가 있다. 왜냐하면 자연에 서로 다른 다섯 가지 이론이 존재한다는 것은 문제가 있기 때문이다. 주목해야 할 점은 이 이론이 유일하다 할지라도, 똑같은 양자 진공(quantum vacua) 많다는 것이다.

같은 시기에 발견된 두 번째 중요한 것은 p-branes이라 불리는 여러 종류의 비섭동적인 엑사이테이션(excitations)이 발견되었다. 여기서 p는 엑사이테이션의 공간 차원 수이다. 즉, 점입자는 0-brane이 되고, 끈은 1-brane이 된다. p-brane에서 특별한 것은 D-brane인데 이는 열린 끈이론으로 설명할 수 있기 때문이다. 셋째로 중요한 발견은 11차원 해를 가지고 있는 M-theory이다.

우주가 시작되었던 대폭발 당시의 상황이나 블랙홀 부근처럼 중력이 굉장히 강한 영역은 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 양자역학적으로 다루어야 한다. 현대 물리학의 두 기둥인 일반 상대성이론과 양자이론을 통일하는 것은 현대 이론 물리학자들의 궁극적인 목표였다. 끈이론은 입자들 사이의 강한 핵력을 설명하기 위해 나타났는데 계산을 하다 보면 질량이 복소수 값을 갖는 타키온이 나타나는 등의 문제로 강한 핵력을 설명하는 이론에서 배제되었다. 결국, 강한 핵력은 양자 색역학으로 설명되었다.

지난 50여 년간 초끈이론은 많은 성공을 거두어 왔다. 하지만 아직 해결해 나가야 할 과제도 산재해 있다. 그동안 새로운 아이디어로 많은 문제를 해결하면서 훌륭한 이론들이 나타났지만, 초끈이론이 나아가야 할 길은 아직 많이 남았다. 현 상황에서 해결해 나가야 할 가장 중요한 문제들이 있다.

첫째는 초끈이론에 의하면 아주 높은 에너지 범위에서는 초대칭성이 존재하는데, 이 대칭성이 언제, 어떤 경우에 깨지는지에 대하여는 아직 모르고 있다. 둘째는 일반적인 만유인력의 경우 진공에서의 에너지 밀도에 대한 것이다. 이는 실질적으로 물리적인 것인데, 흔히 우주상수라 불린다. 이는 플랑크 단위를 이용하면 아주 작은 수에 해당한다. 만약 초대칭성이 깨지면 우주상수는 0이 되며 이러한 것들에 대한 이해가 아직은 부족한 형편이다. 셋째는 초끈이론이 아직은 유일하지만 다른 양자 진공(quantum vacua)에 대한 것에서는 많은 논란이 있다. 이에 대한 해결이 필요한 상황이다.

하지만 이러한 문제점들에도 불구하고 현재로서는 초끈이론이 일반상대론과 양자장이론이 양립할 수 없는 문제점들을 해결하고, 네 가지의 기본적인 힘을 합칠 수 있는 가장 유력한 후보로 알려져 있는 상황이다. 따라서 앞으로 더 많은 연구와 노력이 이러한 문제점들을 잘 해결하면, 초끈이론이 보다 나은 이론으로서 정립해 나갈 수 있을 것으로 생각된다. 하지만 이에 대한 부정적인 견해 또한 많이 제기되고 있다.

최종이론은 정말 완성될 수 있을까? 만약 그것이 가능해진다면 인류는 한 단계 다른 차원의 과학 세계로 접어드는 것은 확실하다. 완벽한 새로운 패러다임의 세계로.