자연철학의 수학적 원리(프린키피아)

근대 과학을 완성한 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 1642년 영국 링컨셔 울즈소프라는 작은 마을에서 태어났다. 미숙아로 태어났던 뉴턴은 몸이 너무 약해 어릴 때 잔병치레가 심했다. 그의 아버지는 뉴턴이 태어나기 3개월 전에 세상을 떠나며 100 에이커의 농장과 조그만 이층 집을 아내에게 남겼다. 1642년 집의 서쪽 정원에는 사과나무 한 그루가 심어졌다.

뉴턴의 어머니는 뉴턴이 3살 때 재혼하였다. 어머니의 새 남편은 전 남편의 자식을 원하지 않아 뉴턴은 외할아버지 집에서 자라면서 부모의 사랑을 받지 못한 채 어린 시절을 외롭게 보내야 했다. 그는 집에서 농사일을 하는 데 있어서는 전혀 소질이 없어 외삼촌의 권유로 대학에 들어갔다.

그는 18살에 케임브리지 대학의 트리니티 칼리지에 입학하였고 이곳에서 수학자 아이작 배로(Isaac Barrow)를 만났다. 배로는 뉴턴에게 수학과 광학을 공부하도록 격려했다. 그의 격려에 힘입어 뉴턴은 스스로 수학과 과학을 혼자서 파고들면서 깊은 사색에 빠졌다. 1665년 그의 나이 23살 때 페스트가 유행하여 대학에 휴교령이 내려지면서 고향인 울즈소프로 돌아와 2년여간 혼자서 완전히 몰입하여 아무것에도 방해받지 않고 학문에 정진하게 된다.

1666년 5월, 뉴턴은 달이 어떻게 지구 주위를 공전하는지 고민하며 울즈소프의 정원에 있는 사과나무 옆에 앉아 있었다. 그리고 우연히 사과가 땅에 떨어지는 모습을 보았다. 그 순간 뉴턴은 지구의 중심이 잡아당기는 힘이 사과와 달에 똑같이 작용한다는 것을 깨달았다. 만약 달이 정지해 있다면, 사과나무의 사과처럼 지구를 향해 떨어질 것이며, 달이 우주 공간으로 튕겨 나가지 않도록 붙들어 주는 것은 지구의 인력이라는 생각을 하게 된다.

이를 바탕으로 뉴턴은 거리가 멀어질수록 세기가 약해지는 지구의 인력을 설명할 수 있는 물리법칙과 수학의 공식을 알아냈다. 그는 이 인력이 지구의 중심에서 물체까지의 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 계산해 낼 수 있었다. 행성과 천체들은 모든 물체와 마찬가지로 질량을 가지고 있다. 물체가 가지는 물질의 양, 즉 질량은 행성이나 물체를 이루는 원자의 총수이다. 물체의 무게와 달리, 질량은 지구나 다른 물체의 중력으로부터 영향을 받지 않는다. 따라서 어디에서도 달라지지 않는 질량을 보편적인 척도로 사용할 수 있다.

뉴턴은 또한 울즈소프에서 운동의 법칙도 발견했다. 그 운동의 법칙은 세 가지로 구성되어 있다. 첫 번째는 관성의 법칙으로 정지해 있는 물체는 외부에서 힘이 가해지지 않는 한 정지해 있으려고 하며, 일정한 속도로 직선 운동을 하고 있는 물체는 외부에서 힘이 가해지지 않는 한 같은 속도로 계속 움직인다. 두 번째는 가속도 법칙으로 가속도는 힘에 비례한다. 예를 들어 엔진에 의해 더 많은 힘이 가해지면 자동차는 더 빨리 가속될 것이다. 힘이 2배로 되면 가속도도 2배로 된다. 세 번째는 작용 반작용 법칙이다. 모든 작용에는 크기가 같고 방향이 반대인 반작용이 따른다. 예를 들어 총에서 발사된 탄환은 반동의 형태로 총에 반작용을 가한다.

뉴턴은 운동 법칙을 통해 역학을 확립하였고, 고전 물리학이라 불리는 과학의 기틀을 만들었다. 만유인력의 법칙이나 운동의 법칙이 오늘날의 우리에게는 당연해 보일지 모르나, 당시에는 관찰과 측정을 통해 정밀한 수학적 법칙을 도출했다는 점에서 완전히 새로운 사고방식이었다.

뉴턴은 1667년 케임브리지로 돌아가 트리니티 칼리지의 연구원이 되었고, 배로가 사임하면서 뉴턴을 추천해서 1669년 루카스 석좌 교수가 되었다. 뉴턴의 이론은 1687년 책으로 출판되었는데 그것이 바로 “자연철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)” 흔히 “프린키피아” 라 불리는 책이다.

뉴턴은 이 책의 1권에서 역학이라 불리는 물리학의 한 갈래와 빈 공간에서 물체가 움직이는 이유를 설명했다. 그리고 제2권에서는 저항이 발생하는 환경에서의 물체 운동을 설명했다. 제3권에서는 앞의 두 권에서 확립한 법칙들을 이용해 태양계 전체의 구조와 움직임을 설명했다. 뉴턴은 ‘무거움’을 뜻하는 라틴어 ‘gravitas’에서 중력 즉, gravity라는 단어를 생각해 냈다. 그리고 태양 주위를 공전하는 행성들뿐 아니라 목성과 토성, 지구의 주위를 도는 위성들의 운동까지도 아주 정확하게 설명했다. 그리고 이후 200년 가까이 태양계에 관한 뉴턴의 이론보다 더 의미 있는 진전은 이루어지지 않았다.

또한, 뉴턴은 지구의 질량으로부터 태양과 다른 행성들의 질량을 계산하는 방법과 태양이 혜성을 끌어당기는 인력을 수학적으로 설명하였다. 또 달과 태양의 인력이 바다에 작용하며 발생하는 조수의 움직임과 달의 움직임까지 정확하게 설명하였다.

프린시피아의 서문은 아래와 같다. “나는 이 책을 자연철학의 수학적 원리들로 제시한다. 왜냐하면 자연철학의 임무 전체가 운동의 현상으로부터 자연의 힘을 탐구하고 그 힘으로부터 다른 현상을 보여주는 데 있기 때문이다.”

이 서문에서 알 수 있듯이 뉴턴의 자연현상에서 가장 중요한 것을 운동이라고 생각한 것이었다. 왜냐하면, 우주 공간의 모든 것은 움직이고 있기 때문이다. 뉴턴의 천재성은 이 운동의 원인이 무엇인지를 파악하려고 한 것에 있었고, 그는 그 원인을 자연의 힘이라고 생각한 것이다. 그는 운동의 원인인 힘을 알면 그 후의 결과인 운동을 수학적으로 모두 풀어낼 수 있을 것이라고 생각했던 것이다. 그는 이 이론을 확장하여 지구 상의 모든 물체는 지구의 중심으로 향하여 떨어지는 운동을 하기에 모든 물체가 가지고 있는 공통된 성질이 이러한 운동의 원인이라고 생각하게 되었고, 그 공통된 모든 물체의 성질이 바로 질량이라는 것이었다. 이것은 질량이 있는 모든 물체는 서로 힘을 작용한다는 만유인력 법칙의 이론으로 탄생하게 되었던 것이다.

뉴턴은 젊었을 때 유클리드의 원론을 좋아했고 깊게 공부했다. 원론은 수학의 역사에서 가장 중요한 책 중의 하나로 주로 기하학과 관련된 내용들이다. 과학의 역사에서 가장 기념비적인 프린키피아는 이 원론의 형식과 비슷하게 쓰여졌다. 뉴턴이 그만큼 유클리드의 원론을 좋아했다는 것이다. 프린키피아에는 근대 과학의 혁명을 이룬 모든 내용이 전부 들어 있다.

“물체에다 힘을 가해서 그 상태를 바꾸지 않는 한, 모든 물체는 가만히 있든, 일정한 속력으로 직선 운동을 하든, 계속 그 상태를 유지한다. 허공으로 던진 물체는 공기의 저항 때문에 속력이 느려지고, 지구의 중력 때문에 아래로 떨어지지만, 그런 힘들이 없다면 계속 똑바로 움직인다.”

이것은 운동의 제1 법칙인 관성의 법칙에 해당하는 내용이다. 자연의 본질은 자신의 현재의 상태를 바꾸지 않으려는 데 있다. 이것을 관성이라 부른다. 자연은 이러한 일관된 성질을 계속 유지하려고 한다. 그것이 바로 자연이 가지고 있는 원리 중에 가장 중요한 것이다. 어떻게 보면 당연한 것처럼 보일지 모르나 이를 법칙화한다는 것은 차원이 다른 문제이다. 우주 공간에 존재하는 모든 물체들이 따르는 법칙, 즉 보편 법칙(universal law)을 알아낸다는 것은 아무나 할 수 있는 수준의 영역이 아니다. 과학은 바로 이러한 보편적인 원리를 찾는 데 의미가 있고, 위대한 과학자란 이러한 것을 이루어 낸 사람들이라 할 수 있다.

“운동이 바뀌는 정도는 가한 힘에 비례한다. 그리고 운동이 바뀌는 방향은 힘을 가한 것과 똑같은 방향이다. 어떤 힘이 어떤 운동을 낳으면, 두 배의 힘은 두 배의 운동을 낳으며, 세 배의 힘은 세 배의 운동을 낳는다. 힘을 한꺼번에 가하든, 천천히 차례차례 가하든 마찬가지이다. 이 운동은 항상 힘을 가한 것과 같은 방향으로 생기는데, 만약 물체가 이미 움직이고 있었다면, 그 방향이 똑같으냐 아니면 반대냐에 따라, 기존의 운동에다 더하거나 빼는 것이 된다.”

이것은 운동의 제2 법칙에 해당하는 내용이다. 자연의 본질 중의 하나인 관성을 깨뜨리기 위해서는 외부에서 어떤 영향력을 가해주기 전에는 불가능하다는 뜻이다. 물리학자들은 그 영향력을 힘이라 부른다. 즉 관성은 외부의 힘에 의해 깨진다. 그런 경우 그 물체는 운동의 상태가 변하게 되고, 이를 가속도로 알 수 있다. 우리가 너무나 잘 아는 과학의 역사에서 가장 중요한 방정식인 F=ma가 여기서 탄생한 것이다.

“모든 작용에 대해서, 반드시 그에 대항하여 같은 크기의 반작용이 생긴다. 즉, 두 물체들이 서로 상대방에게 가하는 작용은 크기가 같으며 방향이 반대이다. 어떤 것을 밀거나 당기면, 그 물체에 의해서 자신도 그만큼 밀리거나 당겨지게 된다. 손가락으로 돌을 누르면, 마찬가지로 돌은 손가락을 누른다.”

커다란 비행기가 하늘에서 앞으로 갈 수 있는 이유는 무엇일까? 이는 바로 작용-반작용 법칙 때문이다. 두 개의 물체가 있는 경우 하나의 물체가 다른 물체에 힘을 가하게 되면 그 힘을 받은 물체는 같은 크기를 가지고 반대 방향으로 반작용을 가한다는 것이다. 비행기의 엔진에서 대기에서 작용을 하면 대기는 반대 방향으로 비행기에 반작용을 하기 때문에 앞으로 갈 수 있게 된다. 이 3가지의 원리로 뉴턴은 우리 주위에 일어나는 모든 운동을 해결할 수 있게 되었고, 이로 인해 인류에게 있어 과학은 새로운 세계로 진입할 수 있었고 근대 과학이 완성되었다.

“행성들은 직선 운동에서 계속 벗어나 그 궤도를 따라 돌도록 하는 힘은, 해를 향해서 작용한다. 그리고 그 힘은 해의 중점에서부터 그 행성까지 거리의 제곱에 역으로 비례한다. 힘이 거리 제곱의 역비율과 조금이라도 어긋나면, 매번 돌 때마다 원일점이 감지할 수 있을 만큼 움직이게 되며, 어떤 행성들은 아주 크게 움직이게 된다.”

뉴턴이 가장 관심이 있었던 것은 운동의 원인인 힘에 대한 것이다. 따라서 운동의 법칙을 발견하고 난 후 힘에 대해 더 깊게 이해할 필요가 있었다. 지구가 태양 주위를 도는 이유는 바로 만유인력 때문이다. 그 만유인력은 구심력의 형태가 되어 지구는 태양을 중심으로 원운동을 할 수 있는 것이다. 이에 대한 설명을 뉴턴이 프린키피아에서 하고 있다.

“모든 물체들은 모든 행성들을 향해서 중력을 받는다. 어느 한 행성을 향한 물체들의 무게는 그 행성의 중점에서부터 같은 거리에 놓여 있을 때, 그 물체의 질량에 비례한다. 온갖 종류의 무거운 물체들이 같은 높이에서 지표면으로 떨어지는 데 걸리는 시간이 모두 같음을 많은 사람들이 오랜 세월 관찰하였다. 모든 행성들을 향해서 생기는 중력은 지구를 향한 중력과 그 본성이 같음이 의심할 여지가 없다. 왜냐하면 여기 지구 상의 물체를 달의 궤도로 갖고 가서, 거기에서 달과 함께 모든 움직임을 없앤 다음에 자유롭게 떨어지도록 하면, 이들은 함께 지구를 향해서 떨어질 것이며, 우리가 앞에서 증명한 것에 따르면, 달과 물체는 같은 시간 동안 같은 거리를 떨어질 게 확실하다. 따라서 그 물체는 달과 비교해서, 질량과 질량의 비율이 무게와 무게의 비율과 같다.”

뉴턴은 우주 공간에 있는 모든 물체의 운동에 대해서 이해하고 싶었다. 상상할 수 없을 정도로 많은 우주에 있는 물체들이 어떤 이유로 움직이고 있는 것인지 그것을 알고 싶어 했다. 이것이 바로 뉴턴의 만유인력 법칙이 나오게 된 계기였다. 수천억 개의 별들이나 행성 그 외 모든 물체들은 만유인력에 의해 운동하고 있을 뿐이다. 정말 간단한 만유인력의 법칙 그 수식 하나로 우주 공간의 모든 물체의 운동을 설명해 낸 것에 뉴턴의 천재적인 위대함이 있었던 것이다.

“공기 속으로 던진 물체는 공기에 의해서만 저항을 받는다. 진공 속에서는 아주 가벼운 깃털과 금덩어리가 같은 속력으로 떨어진다. 지구 대기권 위의 우주 공간에서도 마찬가지가 된다. 우주 공간에는 움직임을 방해할 공기가 없으니, 모든 물체들은 가장 자유롭게 움직인다. 행성들과 혜성들은 주어진 종류의 궤도와 위치에서 늘 계속 돌게 된다.”

뉴턴은 더 나아가 우리 주위에 존재하는 각종 힘에 대해 연구했다. 두 개의 물체가 접촉하는 경우에만 나타나는 마찰력, 수직항력 그리고 공기의 존재로 인해 나타나는 저항력 등과 같은 것을 알아냈다. 이는 보다 정확한 운동을 풀 수 있는 유용한 결과를 보여주었다.

뉴턴의 “자연철학의 수학적 원리”는 인류 역사상 가장 위대한 책이라 할 수 있다. 이로 인해 인류는 과학이라는 패러다임을 가질 수 있었다. 이를 계기로 과학은 엄청난 발전을 시작하게 된다. 뉴턴의 방법은 모든 분야에 활용되고 적용되면서 인류 사회는 급격한 발전을 하게 되었다. 한 명의 위대한 과학자가 세상을 완전히 바꾸어 놓은 것이다. 그는 단순히 과학의 방정식을 만들어 낸 것이 아니라 인류의 사고방식 자체를 변혁시켰다. 여기에 뉴턴의 “프린키피아”라는 책의 위대함이 있는 것이다.

뉴턴의 연구실이 있었던 케임브리지 대학 건물 앞에 있는 사과나무, 이것은 뉴턴이 죽은 후 그를 기념하기 위해 심어진 것이다.