만-위트니 U 검정

Mann-Whitney U-test

순위합 검정은 아니지만 유사한 통계량을 사용하는 비모수 양측 검정기법이 있습니다.

바로 만-위트니 U 검정(Mann-Whitney U-test, 이하 만-위트니 검정)입니다.

만-위트니 검정은 미국의 수학자인 헨리 만 (Henry Berthold Mann, 1905~2000)과 그의 제자이자 동료인 도널드 랜섬 위트니(Donald Ransom Whitney, 1915 ~ 2007)가 고안한 비모수적 양측 검정 기법입니다.

헨리 만은 오스트리아의 비엔나 대학교Vienna University에서 수학 박사 학위를 받고 1930년 후반 미국으로 이민을 가 여러 대학과 기관에서 교육자의 삶을 살았습니다.

그의 대부분 이력은 1946년에 들어간 오하이오 주립대학교(Ohio State University)에서 이루어졌습니다.

만-위트니 검정 역시 이곳에서 1947년에 논문을 발표되며 세상에 모습을 드러냈죠.

위트니는 헨리 만이 오하이오 주립대에서 배출한 첫 번째 박사 학위 제자로, 같은 대학에서 수학 박사 학위도 받았습니다.

만-위트니 검정이 1947년 논문으로 발표되었으니 아마도 학위에 영향을 주지 않았을까요?

이건 전적으로 제 추측입니다.

수학자가 모두 통계와 관련 있지는 않지만, 수학이 통계의 기초가 되는 학문이라는 점은 의심의 여지가 없습니다.

헨리 만과 위트니 역시 수학자로서 통계와 밀접한 관련이 있죠.

그들은 오랜 시간 수학, 그중에서도 확률과 분포를 꾸준히 연구했습니다.

실제로 만이 저술한 80여 편의 논문 중 많은 수의 논문이 확률과 관련이 있습니다.

만-위트니 검정이 소개된 논문도 확률에 관한 눈문입니다.

그러면 만-위트니 검정의 원리를 사례를 통해 알아보겠습니다.

A 과장은 며칠 전 부장으로부터 매출액과 영업이익에 따른 영업 사원별 비교 검정을 하라는 지시를 받았습니다.

깊이 있는 분석을 위해 A 과장은 매출액과 영업이익의 목표대비 달성률을 다음 표와 같이 정리했습니다.

표로 정리한 달성률은 서로 다른 환경에서 계산된 2차 결과 값입니다.

따라서 A 과장은 비모수적 양측검정 기법인 만-위트니 검정을 수행하기로 결심합니다.

윌콕슨 순위합 검정은 전체 순위를 정하고 집단 별로 순위의 합을 비교하지만, 만-위트니 검정은 두 집단의 관측값을 모두 일대일로 상대 비교합니다.

매출액과 영업이익 달성률을 일대일로 상대 비교한 결과는 다음 표와 같습니다.

표에 표시된 숫자는 다른 집단의 관측값과 모두 비교해 그 값이 큰 경우 그 개수를 더한 값이죠.

예를 들어, A 사원의 매출액 달성률 59%는 다른 사원의 영업이익 달성률과 비교해 큰 경우는 단 한 번도 없으므로 0입니다.

반대로 영업이익 달성률 60%는 다른 사원의 매출액 달성률과 비교해 1명의 사원(E 사원)보다 높으므로 1로 표기합니다.

다음으로는 매출액과 영업이익을 상대 비교한 결과 값의 총합을 구합니다.

매출액 달성률 > 영업이익 달성률 비교합: 0+1+8+6+0+8+1+5 = 29

매출액 달성률 < 영업이익 달성률 비교합: 1+2+6+5+3+4+3+4 = 28

비교합 결과를 보니 두 집단이 비슷하게 나타납니다.

따라서 회사의 목표 대비 매출액과 영업이익 달성률은 큰 차이가 나지 않습니다.

물론 만-위트니 검정 과정은 여기가 끝이 아니며 이 같은 결론을 도출하지 않습니다.

윌콕슨 순위합 검정도 마찬가지죠.

이해를 돕기 위해 개략적인 흐름만 설명한 것이니 오해가 없기를 바랍니다.

윌콕슨 순위합은 말 그대로 순위의 총합을 구해 검정하고, 만-위트니 검정은 값들을 비교해 값이 큰 경우에 해당하는 개수의 총합을 구해 검정합니다.

두 기법은 비모수적 양측검정 기법으로 관측하거나 실험한 값이 서로 다른 환경의 독립적인 결과여야 하고, 어느 쪽이 크다는 서열을 표시할 수 있어야 합니다.