시간이 걸리더라도 그려야 하는 그래프
[005] 그림 그리기와 국어 능력(2)
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Sep 20. 2022
선박은 그 형태로 인해 수직 단면적이 변화하고 특히 선수와 선미 부분에서는 변화 폭이 크므로 다시 심프슨 공식을 사용해야 한다. 선박의 물에 잠길 부분의 부피를 구할 때에는 단면적 곡선이 그려진 그래프를 이용한다. 먼저 수평축은 일정한 길이의 구역으로 분할된 선박 측면에서의 위치로, 수직축은 선박의 수직 단면적으로 설정한다. 심프슨 공식을 활용해 각 구역의 특정 지점의 수직 단면적을 구한 후 이를 그래프에 점으로 나타낸다. 그리고 각각의 점을 연결하면 단면적 곡선이 되는데, 심프슨 공식을 이용해 이 선 내부의 면적을 구하면 선박의 부피를 추정할 수 있다.
[이것만은 …]
*직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면 따위가 서로 만나 직각을 이루는 상태. ( )
*물체를 하나의 평면으로 자른 면의 넓이. ( )
*넓이와 높이를 가진 물건이 공간에서 차지하는 크기. ( )
*여러 가지 자료를 분석하여 그 변화를 한눈에 알아볼 수 있도록 나타내는 직선이나 곡선. 주어진 함수가 나타내는 직선이나 곡선. ( )
*앞뒤에 대하여 왼쪽이나 오른쪽의 면.=옆면.( )
*좌표를 정할 때 그 표준. ( )
*모든 도형의 궁극적 구성 요소인 가장 단순한 도형으로서 위치만 있고 크기가 없는 것. ( )
단면적 곡선이 그려진 그래프
그림을 그리거나 이해하는 국어 능력과 관련하여 빠질 수 없는 것이 그래프(graph)이다. 앞에서 강조한 수학적 사고로서의 국어 능력과도 관련 있는 그래프는, 머리로 생각하던 것을 눈으로 볼 수 있게 한 수단이다. 수학자들 사이에서는 데카르트가 그래프를 도입한 이후 수학이 획기적으로 발전했다고 말한다. 대수(代數)와 기하 사이에 운하를 파 연결함으로써, 사고의 편리성과 확장성을 가져다 준 것이 데카르트였던 것이다. 그 그래프가 수학에서만 쓰인다면 국어 능력이 아닐 것이다. 그래프는 갖다 쓰지 않는 학문이 없으니 슈퍼스타도 이런 슈퍼스타가 없다. 그렇다면 지문에 그것이 나오거나 이용되는 것은 당연하지 않겠는가?
그래프를 그리거나 이해할 때 알고 있어야 할 개념이 함수(函數)이다. 함수가 그래프고 그래프가 함수라 할 정도 둘은 떼려야 뗄 수 없는 관계이다. 그러나 그것은 추후 설명하기로 하고, 여기에서는 글을 그림으로, 그림을 글로 이해하는 국어 능력에 대해 얘기할 것이므로 그래프를 구성하고 있는 요소들만 얘기하도록 하겠다. 물론 이 내용은 고등학교 1학년 이전에 모두 배운 것이라 새삼스러울 것도 없지만 말이다.
그래프를 그리거나 이해할 때 중요한 것이 좌표, (좌표)축, 좌표 평면이다. 좌표는 평면이나 공간 안의 임의의 점의 위치를 나타내는 수나 수의 짝이다. 예를 들면 직선 위의 한 점 O를 고정시켰을 때에, 그 위의 점 P와 O와의 거리가 a라면 P가 O의 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지에 따른 a 또는 －a를 ‘O를 원점으로 한 P의 좌표’라고 한다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
직선 위의 한 점 O를 고정시켰을 때, 그 위의 점 P와 O와의 거리가 a라면 P가 O의 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지에 따른 a 또는 －a를 ‘O를 원점으로 한 P의 좌표’라 함위의 경우와 달리 '수의 짝'으로서 좌표는 (좌표)축과 좌표평면을 이해해야 한다. (좌표)축은 좌표를 정할 때 그 표준이 되는 축으로서, 흔히 엑스축, 와이축이라고 한다. 좌표 평면은 좌표계가 정하여진 평면으로서, 이 평면의 각 점에는 위 좌표와 달리 두 수로 된 한 쌍의 좌표가 대응한다. 아래의 그림은 x,y를 축으로 하고, 수많은 좌표 (x,y)로 이루어진 좌표 평면인데, 좌표의 사례로 점 A, B, C를 표시하고 있다. x,y 축의 각 눈금을 1,2,3,… 이라 할 때, 좌표는 A(3,5), B(-2,3), C(3,3)이다.
x축과 y축이라는 좌표축으로 이루어진 좌표평면에 점 A(3,5), B(-2,3), C(3,3)이라는 좌표를 표시한 예(단, x,y 축의 각 눈금이 1,2,3,… 일 때)그래프는 좌표들 중에 몇몇 좌표로 이루어진 것이다. 이 역시 함수와 관련지어 이해해야 하므로 추후 설명하겠기에 여기에는 표시하지 않았다.
수평축은 일정한 길이의 구역으로 분할된 선박 측면에서의 위치로, 수직축은 선박의 수직 단면적으로 … 그래프에 점으로 나타낸다. … 점을 연결하면 단면적 곡선이 되는데 … 선 내부의 면적
실제 철수 샘이 지문을 읽으며 그린 그래프를 보자.
지문 설명을 그래프로 나타낸 예지문에서 말하는 ‘수평축’과 ‘수직축’을 흔히 x축과 y축이라 하므로, x축을 ‘선박 측면에서의 위치’와 ‘선박 구역’으로, y축을 ‘단면적’으로 하는 좌표평면을 위 그림과 같이 생각할 수 있다. 그리고 위치를 ‘x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7’로, 구역을 ‘Ⅰ~ Ⅶ’로 나눴다. 여기서 x축을 '선박 측면 위치', '구역'이라 동시에 표시한 것이나 그것을 로마 숫자와 알파벳으로 달리 표현한 것은 개념을 구별하는 국어 능력과 관련 있는데, 이에 대해서는 추후 설명하겠다.
그리고 철수 쌤처럼 굳이 7개의 위치와 구역으로 나눌 필요는 없고 읽는 사람이 임의로 정하면 된다. 마찬가지로 단면적을 ‘y1, y2, y3, y4, y5’ 등 5개로 나눈 것 역시 읽는 사람 편한 대로 하면 된다.
이렇게 좌표평면을 그려놓고 ‘그래프에 점으로 나타’낸다는 내용을 읽으면서 7개의 점을 생각해 낼 줄 알아야 한다. 왜냐하면 앞에서 ‘각 구역의 특정 지점의 수직 단면적’이라고 하였는데, 좌표평면의 구역과 위치를 7개로 했기 때문이다. 그리고 ‘점을 연결하면 단면적 곡선이’ 된다는 설명을 읽으면서 그 곡선을 좌표평면 상에 그릴 수 있어야 한다. 이를 위해서는 그래프가 무수한 점(좌표)들의 집합임을 ‘알고 있어야’ 한다. 즉 위 좌표평면에서 편의상 7개의 점만 표시했지만 그들 사이에는 수많은 위치가 있고, 그에 대응되는 단면적이 있다는 것을 알아야 하는 것이다. (이에 대해서는 추후 자세히 설명할 것이다.) 나아가 ‘선 내부의 면적’을 읽으면서 x축의 ‘x1 ~ x7’, y축의‘0 ~ y5’, 그리고 단면적 곡선으로 이루어진 면적을 생각해 낼 줄 알아야 한다. 흔히 면적을 빗금이나 색으로 표시하므로, 철수 쌤도 위와 같은 좌표평면과 그래프를 상상했다.
이와 같은 사고 능력은 고등학생이면 지니고 있어야 하고, 이 또한 국어 능력인 것이다.
변화… 변화 폭이 크
그런데 엄밀히 말하면 좌표평면과 그래프는 수학적 사고 자체가 아니고 수학적 사고를 표현하는 한 방법에 지나지 않는다. 좌표평면과 그래프로 표현되는 수학적 사고는 ‘함수’, 더 나아가 ‘변화’이다. 철수 쌤의 주름살을 보고 삶의 의미를 떠올리는 사람도 있겠지만, 전과 달리 그 수가 얼마나 달라졌을까를 생각하는 사람도 있다. 삶의 의미를 떠올리는 예술적 사고와 달리, 달라진 수를 생각하는 것은 수학적 사고이다.
지문에서 ‘곡선 형태’, ‘수직 단면적이 변화하고 … 변화 폭이 크’다는 내용들이 있다. 철수 쌤이 그린 그래프를 보면 ‘x2’에서 ‘x3’까지, ‘x6’에서 ‘x7’까지 변할 때 ‘단면적’의 변화가 없다. 그 나머지에서는 변화가 있는데, 그 크기가 다른 경우가 있다. 즉 ‘x1’에서 ‘x2’까지 변화량은 ‘x3’에서 ‘x4’까지 변화량보다 작고, ‘x3’에서 ‘x4’까지 변화량과 ‘x4’에서 ‘x5’까지 변화량은 변화의 방향만 다를 뿐 그 크기는 같다. 또한 ‘x5’에서 ‘x6’까지 변화량은 ‘x4’에서 ‘x5’까지 변화 방향과 그 양이 같다.(이는 함수를 통해 이해해야 하므로 추후 다시 설명하겠다.)
다음은 이와 관련한 문제이다. <보기>의 그림이 철수 쌤이 그린 것과 다르지만 그 원리는 같으므로, 그래프를 이해하는 데 어려움이 없었다.
철수 샘이 그린 것과 좀 다르지만 그 원리는 같으므로, 그래프를 이해하는 데 어려움이 없었다.