팩터 상관계수와 분산투자 효과

팩터 포트폴리오의 궁극적인 목표는 당연히 시장의 움직임과 무관하면서도 장기적으로 안정적인 수익을 창출하는 시스템을 만드는 것이다. 이상적인 팩터 포트폴리오를 구성하기 위해 우리에게 세 가지의 축(팩터 모델링, 시장 국면 분석, 리스크 엔진)이 필요한 이유도 바로 이 때문이다. 가능한 한 견고한 투자 시스템을 만들기 위해 퀀트 투자는 시간이 지나면서 결국 이러한 형태의 프레임워크를 띄게 되었다. 여기서는 팩터 포트폴리오의 견고함, 즉 분산투자 효과를 위해 중요한 것이 무엇인지를 다시금 짚고 넘어가려 한다. (물론 우리는 이에 대한 답을 예전부터 이미 알고 있다. 제목에도 이미 나와있지 않은가.)

만약 우리에게 N개의 팩터가 있으며 모든 팩터들의 평균 수익률이 μ, 표준 편차가 σ이라고 가정을 해보자. 또한 이 N개의 팩터 수익률들은 항등 분포이며 각 팩터 간의 상관계수는 전부 ρ라는 가정도 필요하다. 이런 경우 당연히 어떤 개별 팩터의 위험 대비 수익 비율(Return-to-Risk Ratio)은 μ/σ가 된다. 이는 무위험 수익률을 0으로 가정한 샤프 비율과도 같다.

그렇다면 이때 N개의 팩터로 구성된 동일 가중 팩터 포트폴리오의 위험 대비 수익 비율은 어떻게 될까? 당연히 포트폴리오의 평균 수익률은 개별 팩터의 평균 수익률, μ와 같다. 그렇다면 표준 편차는? 포트폴리오의 표준 편차를 구하는 공식을 사용해 정리를 하게 되면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

팩터 포트폴리오의 변동성

결국 팩터 포트폴리오의 위험 대비 수익 비율은 다음과 같이 정리할 수 있으며, 이것은 개별 팩터의 위험 대비 수익 비율에다가 특정 승수를 곱한 값임을 알 수 있다. 이 승수가 결국 분산투자의 효과(Diversification Benefits)를 나타내며, 이는 팩터의 개수 N과 팩터 간 상관계수 ρ를 패러미터로 갖는 함수이다.

팩터 포트폴리오의 위험 대비 수익 비율

이 함수를 시각화한 결과물이 아래에 제시되어 있다. 이 그래프는 팩터의 개수와 상관계수의 변화에 따라 위험 대비 수익 비율의 승수가 어떻게 변하는지를 직관적으로 보여주고 있다.

여기서 우리가 얻을 수 있는 인사이트는 바로 아무리 팩터의 개수를 늘려도 팩터 간 상관계수가 높다면 승수의 한계적 증가가 굉장히 미미하다는 사실이다. 상관계수가 높다면 포트폴리오에 팩터를 아무리 추가해도 승수는 커지지 않는다. 분산투자의 효과가 없다는 의미이다. 이는 다시 말해 분산투자 효과를 위해서는 상관계수를 낮추는 것, 즉 팩터 간의 직교성을 확보하는 것이 팩터 포트폴리오의 안정성을 위한 열쇠임을 뜻한다.

이 때문에 퀀트 투자 혹은 퀀트 트레이딩을 하는 사람들이 가장 두려워하는 것은 바로 자신이 가지고 있는 모든 팩터들의 상관계수가 급격히 높아지는 게 눈앞에서 현실화되는 상황이다. 이럴 때 포트폴리오의 생존 확률은 급격히 떨어진다. 사실 개별 팩터들의 수익률은 팩터 포트폴리오 매니저에게 부차적인 이슈이다. 팩터가 가지고 있는 이론 자체가 견고하다면 단기적인 노이즈는 크게 문제 될 것이 없기 때문이다. 진짜 심각한 문제는 개별 팩터의 수익률 부진이 아닌 팩터의 상관계수 구조(Correlation Structure)가 소위 맛탱이(?) 가는 상황이다. 왜냐하면 팩터들 간의 상관계수가 높아진다는 말은 결국 팩터들 간의 독립성이 무너진다는 의미이기 때문이다. 만약 독립성이 무너진다면 견고한 성채라고 여겨졌던 팩터 포트폴리오가 한순간에 파도에 휩쓸려 무너지는 모래성이 되고 만다. 팩터 포트폴리오의 상관계수 구조에 언제나 주의를 기울여야 하는 이유, 응당 경외심을 가질 필요가 있는 이유가 여기에 있다.