포트폴리오 최적화 기법에 대하여

횡적 리스크 모델의 시작

# 포트폴리오 최적화

포트폴리오 최적화(Portfolio Optimization)의 목표는 자산의 미래 성과에 대한 가정들 하에서 투자자의 투자 목적에 가장 적합한 포트폴리오를 구축하는 것이다. 포트폴리오 최적화가 달성하고자 하는 목표는 구체적으로 위험의 최소화, 샤프 비율의 최대화, 벤치마크 대비 추적오차의 최소화 혹은 투자자에 의해 상정된 기타 여러 가지 다른 목적함수가 될 수 있다.

최적 포트폴리오를 만드는 자산군별 가중치를 얻기 위해서, 투자자는 종종 미래 자산 수익률과 변동성, 그리고 자산군 간의 상관계수에 대한 가정을 해야 한다. 이러한 통계적 가정 혹은 예측들은 최적화 알고리즘의 입력 변수로 들어가며, 최적화 알고리즘은 이러한 입력 변수를 토대로 투자자에게 목적 적합한 최적 포트폴리오를 어떻게 구성해야 하는지, 즉 주어진 자산군별로 어느 정도의 가중치를 부여해야 할지를 알려준다.

사실 최적 포트폴리오를 구축하는 기법은 평균-분산 최적화 기법과 같이 매우 명약관화한 수학적 처리 과정에 불과하다. 즉, 최적화 알고리즘은 잘 설계된 기계와 같이 입력 변수와 함수 메커니즘, 그리고 출력 변수로 구성되어 있는 일련의 공정인 셈이다. 따라서 우리는 어떤 최적화 알고리즘을 쓸 것인가, 어떤 자산군들로 포트폴리오를 구성할 것인가, 자산군에 대한 어떤 가정을 할 것인가를 결정할 수만 있다면, 바로 그 자리에서 포트폴리오를 어떻게 구성해야 하는가에 대한 결과물을 얻을 수 있다.

# 포트폴리오 최적화와 효용 함수

투자자의 목표는 종종 효용 함수(Utility Function)라는 것을 사용해서 표현이 된다. 여기서 효용(Utility)이란 경제학적 개념으로써 특정 경제적 결과물의 양에 대해 느끼는 투자자의 만족 혹은 행복감을 효율적으로 계량화시킨 개념이다. 효용 함수는 어떤 포트폴리오에서 투자자가 원하는 수익률 수준과 원하지 않는 변동성 수준 간의 트레이드오프(Trade-Off), 즉 반대급부 관계를 계량화시킨다. 가장 대표적인 형태의 효용 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 효용 함수에 따르면, 투자자의 효용을 증가시키기 위해서는 기대 수익률을 높일 수 있는 동시에 포트폴리오의 변동성을 낮출 수 있는 자산군별 가중치 값들을 찾아야 한다. 여기서 수익과 위험 간의 트레이드오프를 결정하는 패러미터가 바로 우리가 흔히 이야기하는 '위험 회피 성향(Risk Aversion)'이다.

하임 레비(Haim Levy)와 해리 마코위츠(Harry Markowitz)는 그들의 1979년 논문 「Approximating Expected Utility by a Function of Mean and Variance」에서 위와 같이 단순한 형태의 효용 함수를 사용하는 것이 다른 다양한 효용 함수들보다 최적 솔루션을 제공하는 것에 더 도움이 된다는 사실을 보여주었다. 또한 이러한 효용 함수를 최적화할 수 있는 포트폴리오는 가장 높은 샤프 비율을 제공한다.

# 투자가 어려운 이유, 이론과 현실의 괴리

포트폴리오 최적화 기법은 이론만을 놓고 본다면 완벽에 가깝다. 하지만 현실적으로 모델의 입력 변수로 사용되는 여러 가지 가정들, 즉 기대 수익률과 변동성 그리고 상관계수는 절대로 예측할 수 있는 것이 아니다. 또한 수익률 분포는 전통적인 자산배분 모델이 가정하고 있는 정규 분포를 따르지 않는다. 한마디로 가정이 잘못된 모델들을 현실 세계에서 사용하고 있는 셈이다.

이는 우리가 사용해야 할 최적화 기법이 종종 우리의 예상과는 다르게 사후적으로 좋지 못한 결과를 초래할 수 있다는 것을 시사한다. 예를 들어, 시장이 정규분포를 벗어나 극단적으로 움직일 때 샤프 비율의 최대화를 꾀하는 포트폴리오가 오히려 나쁜 성과를 보이기도 한다. 이러한 경우에는 오히려 테일 리스크를 최소화하는 포트폴리오가 보다 더 나은 성과를 가져다줄 수 있다.

결국 최적화 과정에서 우리가 입력 변수로 사용하고 있는 것들은 과거의 값일 뿐이거나 혹은 오로지 가정일 뿐이기에, 예상 최적 솔루션이 실제 포트폴리오를 운용한 후 우리가 기대하는 수익률과 변동성, 그리고 통계적 성질을 가져다줄 것이라고 쉽게 생각해서는 안 된다. 또한 이는 최고의 성과를 만들어줄 수 있는 유일무이한 기법은 존재하지 않는다는 것을 의미하기도 한다. 그렇기 때문에 우리는 최적 포트폴리오를 구성할 수 있는 여러 가지 최적화 기법들에 대한 이해를 넓히는 동시에 각각이 지니고 있는 장점과 단점을 철저하게 분석해야 한다.

# 횡적 리스크 모델 시리즈의 시작

우리는 이제부터 최적 포트폴리오를 구성하기 위해 자산군별 최적 가중치를 결정할 수 있는 여러 가지 최적화 기법들에 대해서 다루어볼 것이다. 또한 각각의 기법들을 사용했을 때 나오는 포트폴리오의 특징들, 모델의 장점과 단점을 짚고 넘어갈 것이다.

이러한 최적화 기법들은 여타 다른 금융공학적 기법들과 마찬가지로 시대를 지나오면서 점진적으로 혹은 비약적으로 발전과 개선을 거쳐왔다. 이는 가장 단순한 형태인 시장가중, 고정비중 포트폴리오를 시작으로 평균-분산 최적화(MVO)를 거쳐 글로벌 최소 분산 포트폴리오(GMV), 최대 배분 포트폴리오(MDP)로, 현재에는 리스크 패리티(RP), 동등 한계 변동성(EMV) 포트폴리오, 블랙-리터만(BL) 기법까지 이어져 내려오고 있다.

이러한 횡적 리스크 모델의 전체적인 프레임워크를 조망해보는 것은 결국 포트폴리오 최적화의 핵심적인 부분들 중 가장 첫 번째 단추를 끼우는 과정이다.