자명한 원리
주변을 둘러보면 “누구나 다 할 수 있고, 누구나 다 하는” 일들이 많다.
삶이든 일이든, 뭐든 가장 쉬운 단계가 있다.
숨 쉬듯 그저 할 수 있다고 자신하는 일들이 생각보다 많다. 우리는 그러한 것들에 빽빽이 둘러싸여 있다.
누구나 다 할 수 있다고 생각없이 스치듯 지나가는 것들을 설명하며 살았다.
할 수 있는 건, 그저 하는 것일 뿐이다.
웬 말인가 하겠지만, 할 수 있다고 그 가치를 다 채운 것도 아니요, 그 의미를 다 아는 것도 아니다.
그냥, 그저 하는 건... “수박 겉핥기”일 뿐이다.
모두가 할 수 있다며 옆에 있다고 그냥 지나치는 것들을 설명하며 살았다.
이해하고 이해시키며 살았다. 어떤 것들이 옳은지, 밝히며...
관심이 없어서일까.
귀찮아서일까...
생각하기 싫어서일까.
편하게만 살고 싶어서일까...
대부분은 옳은 걸 밝히는 걸 꺼린다. 자신은 편하니까, 자신은 괜찮으니까 덮어 둔다.
모두가 꺼리는 걸 오늘은 해 보기로 한다, 내게 익숙한 방식으로.
“덧셈 정도는 누구나 다 할 수 있다.”
누구나 다 할 수 있다고 말하고 있고, 정말 누구다 다 할 수 있다.
특히 한국 사람들에겐 더욱 그러하다, 사칙연산 중에서 “덧셈 쯤이야”라고 말하면서.
덧셈 정도는 정말 누구나 다 할 수 있는 연산일까.
누구나 다 ‘쉽게’ 할 수 있는 걸까.
덧셈을 제대로 했는지, 어떻게 알 수 있을까.
자연수 1에서 1을 더하면 1만큼 늘어나는지, 어떻게 확인할 수 있을까?
수학에선 당연한 것이 없다. 그 어떤 것도 당연하지 않다. 수학은 모든 것이 정의되고 확실하게 밝혀져야 한다. 그래서 수학적으로 무언가를 증명하면 진실임이 분명해진다.
덧셈을 정의해 본다(피터, 2013).
독서하듯 술술 넘겨 읽지 말고, 두뇌의 움직임을 느끼며 천천히 읽으면 좋을 것 같다.
이제 모든 자연수 a에 대해 a+1이 무슨 뜻인지 알아 본다.(=a에 1을 더하면 1이 늘어나는지 알아본다.)
다음과 같은 공리를 이용하자.
a+0 = a,
a+F(b) = F(a+b),
F(0) = 1
a+0=a는 어떤 자연수 a에 0을 더하면 어떤 자연수 a는 a 그대로라는 의미다.
a+F(b) = F(a+b), 여기에서 a와 b는 모든 자연수이다.
이제 핵심을 이해해 보자. 핵심은 F이다.
F에서 두뇌의 움직임을 느껴야 한다.
F는 1을 더하라는 의미다. 즉, F는 다음 자연수 값이 주어지는 연속함수다.
그리하여 F(0)의 의미는 0에 1을 더한 수이므로 1이다.
이제 F(2)가 얼마인지 쉽게 찾을 수 있을 것이다.
F(2)는 2에 1을 더한 수, 즉 2 다음에 오는 자연수를 의미한다.
이제 본론으로 가 보자.
위의 공리 a+F(b) = F(a+b)에서 b대신 0을 대입해 보자.
↓
그러면,,, a+F(0) = F(a+0)이 된다.
위의 공리 F(0)=1이고 a+0=a 이므로 a+F(0) = F(a+0)이 되어 다음과 같게 된다.
a+F(0) = F(a+0)
↓
a+1 = F(a)
마침내 우리는 “a+1이 F(a)와 같다”에 의해 모든 자연수에 1을 더하면 1이 늘어난다는 사실을 알게 되었다.
이와 같이,
“연산을 증명할 때”
최고이자 으뜸인 수, 완전수(perfect number) 1은 빛을 발한다. 덧셈 증명은 물론이고 곱셈에서도 마찬가지다.
1은 모든 수, 그 어떤 수에 곱해도 그대로다. 아무런 변화가 없다. 참으로 강력하다.
무엇이 가해져도 변함없이 강력한 이유는 뭘까?
예를 들어, 2 곱하기 1은 2이다.
2에 1을 곱하여도 2 그대로이기 때문에 1을 곱셈에 대한 ‘항등원’이라 부른다.
(이것은 대부분 알고 있는 중요한 공리이고 진리이다. 수학은 공리를 바탕으로 전개한다. 그렇기 때문에 공리는 항상 간단하고 분명한 것을, 자명한 것을 선호한다.)
곱셈에 대한 항등원 1은 긍정적, 부정적인 다양한 의미를 가지고 있다.
그중에서 단연, 돋보이는 의미는 ‘본질, 유일, 전체, 일체감’ 등이다.
이로써, 수학도 모든 것에 연결되어 있는 걸 알 수 있다. 다른 의미, 다른 단어인 듯하지만 하나로 통하는 의미다.
“다른 분야, 다른 일인 듯해도 모든 건 하나로 연결되어 있고, 하나로 모두 통한다.”
...,
(2020.9.26.)
(Ed Sheeran with Beyoncé, “PERFECT”)
(사진 출처, 우정호, 2011)