Theme1. 역학 기초

Concept1-2. 벡터의 연산

교실 천장에 그리마(돈벌레)가 기어가고 있습니다. 현일이가 그걸 처음 발견하고 소리칩니다. "벌레다!" 옆에 있던 현이가 천장을 보면서 묻습니다. "어데?" 현일이는 다급한 목소리로 가리키며 "저기!, 저기!" 하지만 그리마는 이미 이동 중이라 현이는 찾지 못했습니다. 현삼이가 "니 머리 위를 원점 잡고 x, y 좌표계로 (4m, 3m) 쯤에 있는데 지금 +x방향으로 1m/s로 이동 중이다"라고 알려줍니다. 교실의 모두가 그리마를 찾아내었고 선생님은 관심을 못 받아서 슬펐지만 어차피 아무도 못 본 것 같아서 다행이라 생각했습니다.

▲ 그리마는 익충이래요!

위의 상황처럼 물체의 움직임을 정확히 표현하기 위해서는 3가지 정보가 필요합니다.

기준점, 크기, 방향

세 가지 정보가 모두 다 있을 때, 물체의 움직임을 객관적으로 표현할 수 있는 것이지요.

이 세 가지 정보를 벡터의 3요소라 합니다. 기준점과 크기와 방향은 화살표로 표현하면 효과적이라 벡터는 화살표로 나타냅니다.

▲ 벡터의 3요소, 화살표로 나타내요!

화살표의 길이는 벡터의 크기 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.

벡터는 실재하고 측정 가능한 물리량을 표현하기 위한 도구이기 때문에 더하고 빼는 등의 연산이 가능합니다.

다만 일반적인 사칙 연산과는 방법이 다릅니다. 그 방법을 알아보겠습니다.

▲ 벡터의 덧셈과 뺄셈 : 시작점을 일치시킨 후 평행사변형 그리고 대각선!

두 벡터의 덧셈과 뺄셈은 모두 시작점을 일치시킨 후, 두 벡터를 각각 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 합, 차 벡터가 됩니다. 그림으로 보는 게 더 이해가 잘 될 겁니다.

물리학에서 벡터의 합은 합력을 구할 때 많이 사용합니다. 벡터의 차는 가속도, 상대속도, 충격량 등을 표현할 때 많이 씁니다.

① 벡터의 표시 : 기준점, 크기, 방향을 화살표로 표시
② 벡터의 덧셈 : 기준점을 일치시켜 평행사변형을 그리면 대각선이 벡터의 합이 된다.
③ 벡터의 뺄셈 : 벡터A-벡터B = 벡터A + (-벡터B) 이므로 B벡터의 방향을 반대로 하여 벡터 A와 더하면 된다.

벡터에서는 곱셈에 해당하는 내적과 외적이 있습니다. 자세한 물리적 의미는 여기서 다루지 않겠습니다.

▲ 벡터의 내적과 외적

어떤 물리량은 벡터의 내적, 외적으로 정의되기도 합니다. 예를 들어 일은 힘과 변위의 내적이며, 돌림힘(토크)은 위치 벡터와 힘 벡터의 외적 값입니다.