Theme1. 역학 기초

Concept1-3. 물리학에서 미적분과 그래프

세상은 빠르게 변합니다. 우주 역사는 137억 년, 인류의 출현 시기는 2~30만 년 전으로 봅니다. 뉴턴으로부터 시작된 역학 체계는 400년이 되지 않았습니다.(cf. 프린키피아 1687년) 가족이 움집에 모여 불을 피워 사냥 수렵 채집을 하던 때를 생각해 봅시다. 이때 인류는 무식하고 원시적일 것 같지만 그렇지 않습니다. 여러분이 당장 무인도에 떨어지면 원시와 같은 생활을 해야 하는 것처럼 당시 인류도 현재 인류와 비슷하다고 봐야 합니다.

▲ 영화 캐스트 어웨이 中

그런데 어떻게 문명이 발달해서 현재 우리 모습이 되었을까요? 많은 이유가 있겠지만 물리학이 발전할 수 있던 아이디어는 시간에 따라 변화하는 것들의 규칙을 찾아낸 것입니다. 그 규칙을 발견한 데 사용한 것이 수학입니다. 자연이 변화하는 규칙을 알아내면 과거의 모습도 유추할 수 있고, 미래 모습도 예측할 수 있게 되죠. 그래서 여러분이 물리학이나 수학을 공부하게 되면 좀 더 현명하게 선택하고 살아가는데 큰 도움이 됩니다.

▲ 르네 데카르트, 좌표계를 도입

데카르트는 좌표계를 도입하여 모든 자연 현상을 보편적인 수학적 논증으로 설명하고자 했습니다. 두 물리량 사이에 일대일 대응이 이루어질 때 이 대응관계는 함수이며, 이를 좌표평면에 표현한 것이 그래프입니다. 그래서 과학에서는 자연 현상을 그래프로 나타낼 때가 많습니다.

▲ 라이프니츠와 뉴턴, 미적분은 시시각각 변화하는 현상을 분석하기 위해 만들어졌습니다.

자연은 끊임없이 변화하고 있습니다. 이런 자연 현상을 분석하기 위해서는 매 순간순간마다 어떻게 변화하는지를 알아야 합니다. 이를 위해 만들어진 수학적 도구가 미분입니다. 미분은 미세하게 분해한다는 뜻으로 순간 변화율, 그래프에서는 접선의 기울기를 의미합니다.

매 순간순간 변화하는 자연 현상을 미분을 이용하여 관계식(=미분방정식)을 만들었다고 해봅시다. 실제 자연의 모습은 순간 변화의 누적된 결과가 될 것입니다. 이를 알기 위해 적분이라는 도구를 사용합니다. 비유하자면 매 순간이 모여 하루가 되듯 순간의 변화가 모여 자연현상을 이루는 것입니다.

▲ 미분은 순간의 변화량, 그래프의 접선의 기울기를 의미 / 적분은 순간 변화의 누적 결과, 그래프의 면적을 의미

정리하자면, 자연 현상은 끊임없이 변화합니다. 이 변화하는 규칙을 알면 과거의 현상을 분석할 수도 있고 미래의 현상을 예측할 수 있습니다. 그 규칙을 수학적으로 기술한 물리 법칙은 물리량 사이의 관계식입니다. 이 관계식은 대부분 미적분의 형태로 기술됩니다.

① 함수와 그래프 : 두 물리량 사이의 일대일 대응관계(함수)를 좌표평면에 나타낸 것(그래프)
② 미분 : 순간 변화율, 그래프의 접선의 기울기
③ 적분 : 순간 변화의 누적 결과, 그래프의 면적
④ 물리학에서 미적분 : 시간에 따라 변화하는 자연현상을 미분으로 규칙을 찾아내고 적분으로 그 결과를 알아낸다.