베이즈의 정리
조영필
귀무가설과 대립가설 그리고 1종 오류와 2종 오류에 대해 생각하다가 이것이 베이즈의 정리와 기본 구조가 같다는 생각이 들었다. 통계학 처음 배울 때, 조건부 확률 공부하면서 나오는 것인데 알 것 같다가도 돌아서면 모르겠던 그 정리이다.
문제는 다음과 같다.
희귀한 질병이 인구 1,000명 당 1 사람을 감염시킨다. 그리고 이 질병에 대해 완벽하진 않지만, 좋은 검사법이 있다. 질병을 가진 사람의 99%는 그 검사에서 양성반응이 나온다. 그런데 문제는 질병이 없는 사람들의 2% 또한 그 검사에서 양성반응이 나온다는 것이다.
당신이 그 검사를 하였는 데, 양성반응이 나왔다. 당신이 그 병에 걸렸을 확률은?
이것은 조건부 확률이란 것으로서 P(E|O)과 같이 표현한다.
귀무가설과 대립가설처럼 문제의 구조를 도해하면 다음과 같다.
귀무가설 대립가설
건강(H) 감염(E)
음성반응(X) 옳음 β
양성반응(O) α 옳음
질병과 검사 결과 관련 가능한 경우의 구조는 다음과 같다.
건강(H) 감염(E) 합계
음성반응(X)
양성반응(O)
합계 0.999 0.001 1
문제에서 건강한 사람이 검사에서 양성반응 나올 확률 P(O|H) = 0.02, 감염된 사람이 검사에서 양성반응 나올 확률 P(O|E) = 0.99이므로
P(H) Π P(O) = P(O|H) • P(H)
= 0.02 * 0.999 = 0.01998
P(E) Π P(O) = P(O|E) • P(E)
= 0.99 * 0.001 = 0.00099
건강(H) 감염(E) 합계
음성반응(X)
양성반응(O) 0.01998 0.00099 0.02097
0.999 0.001 1
문제의 질문은 양성반응 중 감염자 확률은 P(E|O)
P(E) Π P(O) = P(E|O) • P(O)
P(E|O) = P(E) Π P(O) / P(O)
= 0.00099 / 0.02097 = 0.04721
건강(H) 감염(E) 합계
음성반응(X) 0.97902 0.00001 0.97903
양성반응(O) 0.01998 0.00099 0.02097
0.999 0.001 1
대략적으로 1,000 명을 기준으로 도해하면
건강(H) 감염(E) 합계
음성반응(X) 979 0 979
양성반응(O) 20 1 21
999 1 1,000
검사의 높은 정확도에도 불구하고 실제로 양성반응이 나타난 사람의 5% 미만이 그 병을 갖고 있다. 이를 거짓 양성반응의 역설이라고 한다.
1,000 명의 집단에서 평균적으로 21명만이 양성반응을 보이고, 그중 1명만이 그 병을 갖고 있다.
양성반응의 검사 결과로 인해, 검진자의 감염 가능성은 1,000명 중 1명에서 21명 중 1명으로 증가하였다.
다시 가설검정 기법으로 생각해보면
α = 0.02, β = 0.00001, 1-β = 0.99999
즉, 이 검사기법은 1종 오류도 5% 이하로 적정한 판별력을 가지고 있으며, 검정력도 높은 훌륭한 검사법이다. 그럼에도 불구하고, 양성반응 검진 결과의 95%가 질병이 없는 사람이라고 본다면, 가설검정 시, 그 판단에 신중해야 할 충분한 필요를 예시하고 있다고 할 수 있다.
질병 대신 범죄로 치환하고 읽어 보자. 1,000명으로 구성된 사회에서 아무 죄없는 시민 20명이 진범 1명과 함께 구속된 것이다. 따라서 범죄 수사에 있어서 무죄 추정의 원칙과 99% 신뢰수준은 무고한 시민의 억울한 누명과 불의한 고통을 줄여주기 위해서 마땅히 요구되는 것임을 이해할 수 있다.
베이즈의 정리
P(A|B) = {P(A)•P(B|A)} / {P(A)•P(B|A)+P(~A)•P(B|~A)}
= P(A Π B) / {P(A Π B) + P(~A Π B)}
= P(A Π B) / P(B)
(고닉 & 스미스, [통계학 길잡이], pp 46-50 참조)
