[인문] 미래를 예측하는 법_미적분의 쓸모
사람들은 과속카메라가 속도를 측정한다고 생각하지만, 실제로 단속카메라는 차량 번호판을 찍는 역할만 한다. 속도를 측정하는 것은 아스팔트 바닥에 와이어 루프로 설치된 감지선의 몫이다. 아스팔트 바닥에 있는 와이어 루프는 어떻게 하여 속도를 측정할까. 그것은 짧은 순간 와이어를 밟고 지나가는 시간을 측정하는 것이다. '미분(微分)'은 '微(작을 미), '말 그대로 작게 자르는 일이다. 가량 1시간에 60km의 거리에 도착할 수 있는 자동차가 있다고 해보자. 자동차의 '속도'를 알기 위해 차를 1시간이나 쫒아 다닐 수는 없다. 와이어의 폭에 맞는 짧은 거리와 시간으로 '미분(微分)'하면 우리는 자동차의 순간 속도을 알수 있다. 적분(積分)은 그 반대다. 적분(積分)은 '積(쌓을 적)', 말 그대로 무수하게 미분(微分)된 값을 쌓아 만들어지는 도형의 넓이나 크기다. 이미 쌓여 있는 수많은 미분값 데이트를 통하면 전체의 모양을 확인하고 예측할 수 있다. 굉장히 어려운 말인 것 같지만 사실상 우리가 실생활에서 널리 이용하고 있다. 연속적이고 지속적인 변화를 측정하는 일에서 는 중요한 것이 있다. 당연히 '측정값'을 알아야하고 지속적이고 연속적이어야 한다. 가끔 뉴스를 보면 '자연과 경제'를 예측하는 기사를 보곤한다. 기후변화에 대한 데이터를 기준으로 앞으로의 기후 변화를 예측하거나 중국이 미국의 경제를 추월하는 시기를 예측하는 기사를 볼 때, 대단한 사람들의 '마법'이나 '예언'이라고 생각 할 수 있으나 이는 '수학'이다. 축적된 데이터값이 가진 규칙성을 이용하여 그 기울기를 알고 다음 값을 알아내는 것이다.
17세기 중반 쯤, 미적분은 발견됐다. 과학과 발명사에는 동시다발적으로 등장한 발견들이 종종 있다. 마치 필연적인것 처럼 어떤 시기가 되면 세계 곳곳에 있는 사람들은 같은 영감을 받는다. 다윈과 윌러스의 자연선택설, 헬름훌츠와 줄의 에너지 보존법칙이 그 예다. 수학이며 물리학이며 세계사의 역사까지 포함하여 끼지 않는 곳이 없는 그 주인공이 여기서도 나오는데 그는 바로 '뉴턴'이다. 이 예시에서도 가장 적합한 발견 중 하나는 바로 '뉴턴과 라이프니츠'의 미적분학이다. 고등학교 수학에서는 골칫거리로 취급되는 이 발견은 사실 현대 세계에서 없어서는 안될 가장 중요한 발견 중 하다. 어느 날, 라이프니츠은 한통의 편지를 받는다. 여기에는 다음과 같이 쓰여 있다. '6accdae13ef-f7i319n4o4qrr4s8t12vx' 무슨 말인지 알기 힘든 이 코드는 뉴턴으로부터 온 편지다. 문장이나 단어의 순서 배열을 바꾸어 암호화 하는 놀이의 일종인 애너그램(Anagram)이다. 이 코드의 의미는 다음과 같다. '유량을 나타낸 임의의 수가 포함된 방정식으로 만들면 유율을 구할 수 있으며, 역으로 유율을 알고 있으면 유량을 나타낸 임의의 수가 포함된 방정식을 세울 수 있다.' 말은 어렵지만, 쉽게 풀어보자면 미분을 통해 적분을 알고, 적분을 통해 미분값을 알 수 잇따는 유율법이다. 이 둘은 어쨌거나 비슷하 시기에 같은 발견을 했다. 누군의 발견이 먼저인지를 차치하고 이 두 천재의 발견으로 우리는 대략적인 자연현상을 예측하고 경제와 미래를 예측한다. 주식에 관심이 있는 사람들은 종종 지나온 그래프를 기준으로 다음 나아갈 선을 긋곤 한다. 다만 주가 그래프가 그런 인위적인 선에 맞춰 움직일리 만무하다. 실제로 뉴턴은 천체의 움직임을 계산할 정도의 천제 물리학자였다. 그는 자신의 수학능력을 '주식'에서도 사용했으나 결국 그는 평생 일궈 놓은 자산의 90%를 주식으로 날렸다. 그리고 다음과 같이 말했다. '천체의 움직임은 계산할 수 있지만 인간의 광기는 도저히 예측할 수 없다.'
시간에 대한 지속적이고 연속적인 데이터만 있다면 우리는 대부분의 것을 예측할 수 있다. 가령 시간이 지나면서 커피가 식어가는 변화마저 예측가능하다. 현재 온도와 냉각 속도, 그러니까 온도의 변화율 사이의 관계를 파악하면 커피는 처음에는 빨리 식다가 식는 속도가 점점 둔화되는데 이 값을 미분방적식으로 풀면 커피의 온도를 시간의 함수로 알 수 있다. 과학자들은 이처럼 폭포 끝에서 떨어지는 물방울의 속도나 커피의 온도 변화를 비롯해 다양한 방식으로 세상을 볼 수 있다. 특히 흥미로운 점은 스티브잡스의 '픽사'에서 만들었던 '토이스토리'다. 이 애니메이션은 미분이 적용된 대표적인 사례라고 볼 수 있는데 파도가 움직이는 값을 방정식으로 만들어 파도 영상을 만들 수 있었다는 것이 그 예다. 예전에는 작가들이 수 천, 수 만장의 그림을 직접 그리는 방식으로 애니메이션을 움직였으나, 현재는 작가들이 그림을 그리면 그것을 미분공식으로 수식화하여 제작한다. 동작이 어떻게 이어질지 예측하여 매끄럽게 표현하게 된다면 애니메이션을 제작하는데 들어가는 시간과 비용을 아낄 수가 있다. 실제로 '토이스토리'는 완전히 CG를 통해 만든 최초의 애니메이션이라고 한다. 여기서 미분공식을 다양하고 이용한다고 하니, 애니메이션 제작사에서도 수학을 잘하는 인재를 필요로 할 수 밖에 없다. 시간에 따른 유체운동 방정식은 애니메이션 뿐만 아니라 항공산업, 군수산업 등에 골고루 사용된다. 실생활에 쓸데 없는 '수학 공식'을 왜 외워야 하냐고 불평하는 학생들이 많다. '영어'는 필요나 하지, '수학'이 대체 왜 필요한지 모르겠다면 우리가 편리하게 이용하는 것에 대한 깊은 호기심을 가져 보지 않은 경우가 많다. 원래 고대에서도 '천체'의 흐름을 아는 사람들은 하늘의 날씨를 예측할 수 있었지만 대부분의 사람들은 누군가의 예측에 기대야했다. 결국 오래된 격언이지만, 아는 것이 힘이다.
도서를 제공받아 작성한 리뷰입니다
