풀리지 않는 난제?
당신은 이미 답을 알고 있다.
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ( )
( )에 들어갈 수를 찾아볼까요? 수의 순서를 n으로 나타내고 a(n)으로 표현해보면, a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3,... a(8)=34, a(9)=55입니다. a(10)을 찾으면 됩니다. 규칙이 있습니다. 앞에 있는 두 개의 수를 더한 값이 그다음 수가 됩니다. 1+2=3, 2+3=5, 8+13=21이죠. 기호로 나타내면 a(n)+a(n+1)=a(n+2)입니다. a(10)=89가 되겠네요.
위의 숫자 배열은 수학에서 아주 유명한 피보나치 수열입니다. 피보나치 수열을 이루고 있는 숫자들은 그 자체로도 신기하지만, 황금비와도 관련되어 있습니다.
황금비는 수학적으로 가장 아름다운 비율로 대략 1대 1.618입니다. 그런데 신기하게도 피보나치 수열에서 이웃하는 숫자 비율이 황금비에 수렴한다는 것이 알려져 있습니다. 1대2, 2대3, 3대5…n이 무한히 커지면, a(n)대a(n+1)=1대1.618이 됩니다.
수학자들이 아름다운 수학 문제를 풀면서 불면의 밤을 보낸다고 하죠. 잘 이해가 되지 않지만 조금만 더 깊게 들어가 보면 그들이 왜 잠을 자지 않고 연구하는지 알 수 있답니다. 수학은 실생활과 연결되어 있다고 하죠. 피보나치 수열도 마찬가지입니다. 토끼 문제는 너무도 유명합니다. 검색해 보시기 바랍니다.
저는 다른 이야기를 하겠습니다. 피보나치 수열과 전혀 상관없어 보이는 계단 문제입니다. 계단을 한 칸, 또는 두 칸씩 올라갈 수 있다고 할 때, 4번째 계단까지 올라가는 방법의 수를 구해볼까요? (한 칸, 한 칸, 한 칸, 한 칸), (두 칸, 한 칸, 한 칸), (한 칸, 두 칸, 한 칸), (한 칸, 한 칸, 두 칸), (두 칸, 두 칸) 총 다섯 가지 방법이 있습니다. 그럼 10번째 계단까지 올라가는 방법의 수는 몇 가지가 있을까요?
하나씩 경우의 수를 세기가 어렵습니다. 피보나치 수열에서 힌트를 찾아보죠. 계단을 한 칸, 또는 두 칸씩 올라갈 수 있으므로, 10번째 계단까지 오르기 위해서는 9번째 계단과 8번째 계단까지 올라가 있어야 합니다. 즉 9번째 계단에서 한 칸 올라가거나, 8번째 계단에서 두 칸을 올라가야 10번째 계단에 도달합니다.
이는 10번째 계단까지 오르는 방법의 수는 8번째 계단까지 오르는 방법의 수와 9번째 계단까지 오르는 방법의 수를 더하면 된다는 것을 의미합니다. a(8)+a(9)=a(10)입니다.
계단 오르기 방법의 수는 피보나치 수열과 관련이 있는 것이죠. 4번째 계단까지 오르는 방법의 수를 구하기는 쉽습니다. 그런데, 10번째 계단에 오르는 방법의 수를 처음부터 시작해 구하는 것은 너무도 어렵죠. 여기서는 이미 올라갔다고 가정해 놓고, 어떻게 올라갈 수 있을지 생각해보는 전략을 사용했습니다. 이미 문제를 다 풀었다고 가정한 다음 어떤 조건들이 필요한지 역추적하는 것이죠. 이런 전략을 분석법이라고 합니다.
내가 올라왔던 길 위에 이미 답이 다 나와 있습니다. 비단 수학문제뿐이겠습니까? 복잡다단한 삶의 문제들, 이미 풀렸다고 가정하고 지혜로운 해결책들을 찾아보십시오. 삶의 흔적에 모든 답이 다 들어 있습니다.
[반은섭 '10일 수학(중등편, 고등편)' 저자]
