우리는 수학을 왜 배워야 하는가?

수학은 논리성의 학문입니다. 앞뒤의 인과관계를 판단하여 그 다음을 예측하거나 이전을 예측할 수 있는 학문이 수학입니다.

수학적인 능력 다시 말해서 수리적인 능력은 생각하고 판단하는데 아주 중요한 역할을 합니다.

수학은 크게 네가지의 능력을 필요로 합니다.

계산능력, 추론능력, 이해능력, 문제해결능력입니다. 이것은 우리가 고등학교때 수능에서 수학영역의 평가를 하는 요소기도 합니다.

그러나 수학이 이런 능력이 필요로 한다는 것을 들어 본적이 있는 사람은 별로 없을 것입니다.

왜냐하면 기존에 수학을 학습하는 방식은 공식을 외우고 그 공식을 이용하여 문제를 반복적으로 풀어보는 학습방식을 되풀이 하고

정해진 시간안에 문제를 빠르게 풀어야하며 답이 맞느냐 틀리느냐가 중요한 학문이라고 생각하기 때문입니다.

수학은 논리적으로 생각할 수 있게 만든다.

수학의 증명은 크게 연역법, 귀류법, 귀납법이 있습니다. 여기서 증명밥법에 대해서 이야기 할려고 하는 것은 아닙니다.

증명방법의 구조를 봤을 때 귀류인지 연역인지 귀납인지가 결정되는 것이고 실제로 모든 증명의 세부단계는 연역법으로 이루어져 논리적인 인과관계를 판단하게 되어 있습니다.

예로 많이 쓰는 방정식의 정리  

(x-1)(x+2)(x+3)=(x2+x-2)(x+3)=(x3+4x2+x-6)

아마 대부분 이런식을 수식을 정리할 때 쓰는 방법이 연역인 논리 전계라는 생각을 가지고 식을 정리해 본적은 없을 것입니다.

연역적인 논리구조는 여러가지를 추론할 수 있습니다.

위의 식에서 (x-1)(x+2)(x+3)=_______________=(x3+4x2+x-6) 이렇게 중간이 비워져 있다고 해도 비워져 있는 식이 무엇인지를 쉽게 할 수 있을것입니다.

그것은 식의 정리를 통해서 안다는 것도 의미하겠지만 연역적인 논리적 전계를 통해서 안다는 것도 의미합니다.

수학의 논리라는 것은 연역적인 성격이 전부라고 할 수 있습니다.

수학은 이해능력이 중요하다.

수학에서 제일 중요한 능력은 이해능력이라고 생각합니다. 그 이유는 문제의 상황을 인식해야 문제를 해결할 수 있지 때문입니다.

많은 사람들이 중고등학교때나 혹은 대학교때 수학문제를 풀때 무작정 공식만 외워서 문제를 풀었던 기억이 있을 것입니다.

그런데 문제의 상황이 바뀌면 공식을 적용하지 못하는 경우를 많이 겪었을 것이라고 생각합니다.

그 이유는 공식을 이해하지 못했기때문입니다. 공식은 외워야하는 대상이 아니라 이해해야하는 대상입니다.

공식 또한 언어의 표현이기때문에 이해를 해야 사용을 할 수 있습니다. 예를 들어 우리가 영어단어를 무작정 외우면 적절하게 영어 단어를 사용하지 못하는 경우가 생길 수 있습니다.

그 이유는 영어단어도 상황에 따라서 써야할 때가 있고 쓰지말아야 할 때가 있는 것처럼 영어단어를 잘 이해해야 적절하게 사용할 수 있을 것입니다.

수학이라는 학문은 표현하는 학문입니다. 우리가 복잡하고 표현하기 아주 긴 것들을 단순하고 명확하게 사용할 수 있도록 만들어진 학문이 수학입니다.

수학의 함축적 의미에는 여러가지를 담고 있습니다. 수학 안에는 논리도 포함하고 있고 상황도 포함하며 철학도 담겨있습니다.

옛날의 수학자들은 단순하게 수학만 하는 사람이 아니라 과학도 하고 철학도 하고 음악이며 미술도 하였습니다.

대표적으로 다빈치를 들 수 있을 것입니다. 다빈치는 수학이며 과학이며 철학 음악 미술도 하였습니다.

그리고 근대의 미술가 중에 피카소는 진로를 결정할 때 미술을 할 것인지 수학을 할 것인지 고민하였다고 합니다.  

피카소의 미술은 이상한 형태의 그림을 그렸습니다. 그 이유는 피카소가 3차원을 2차원에 표하였기때문입니다.

그전까지의 그림은 3차원의 그림을 보여지는 2차원의 그림으로 그린 반면 피카소는 3차원 자체를 2차원에 표현하였고 그렇기 때문에 피카소의 그림이 이상하게 그린것입니다.

공간을 2차원에 표현한다는 수학적인 생각이 피카소라는 거장을 만들 수 있었던 것이라고 생각합니다.

이처럼 수학은 여러가지 학문에 의해 표현되어지고 만들어지고 해석되어 왔습니다.

그래서 수학을 단순하게 계산을 하고 공식을 외우고 적용하고 문제를 푸는 도구로만 사용하는 것이 아니라 수학이 만들어지는 표현의 형태와 의미를 어떤 방식으로 해석하고 이해하고 적용할 것인지에 대해서 생각할 필요가 있다고 생각합니다.

수학에 필요한 네가지 능력.

수학에는 계산능력, 추론능력, 이해능력, 문제해결능력 이렇게 네가지의 능력이 필요합니다.

계산능력은 말 그대로 계산하는 능력입니다. 공식을 이용하여 수학적인 계산을 할 수 있는지에 대한 능력을 요구하는 것입니다.

추론능력은 크게 발견적 추론과 연역적 추론으로 나누어 집니다.

발견적 추론을 쉽게 이야기하면 어떤 수의 나열에 대해서 앞뒤의 관계성을 따져서 앞으로 어떤 수가 나올지에 대한 추론을 하는 것입니다.

이런 수학적 사고는 초등학교때부터 배웁니다. 간단한 예로 1,2,3,4,_,6,7,8 이렇게 나열되어 있는 형태에서 중간의 _에 무슨 수가 들어갈 건지에 대해서 초등학교 고학년이 되면 배우는 수학적인 내용입니다.

이것을 나중에 고등학교에서 수열이라는 단원으로 다시 배우게 됩니다.

즉, 수열은 수들의 나열이고 이런 수들의 나열을 규칙과 나열의 형태를 통해서 수식화하는 것입니다.

여기서 생각해봐야 할 것은 나열의 형태를 외우고 수식을 외워서 나열의 형태에 맞는 수식을 이용하여 문제를 푸는 것이 아니라 수들의 나열이 어떤한 형태로 나열되어지고 나열되어지는 형태는 어떠한 수학적인 규칙이 존재하고 나열되는 수들이 앞으로 어떠한 값이 나올 것인지에 대해서 이해하는 것이 발결적 추론입니다.

연역적 추론은 이름에도 있듯이 연역적인 추론을 하는 것입니다. 앞에서 이야기한 발견적 추론과 논리는 같지만 형태가 다르고 익숙하지 않은 추론이기 때문에 어려울 수도 있습니다. 연역적 추론의 예는 증명의 이해과정을 예를 들 수 있습니다.

우리가 어떤한 수식을 증명한다면 그 수식은 여러가지 수식적 나열들로 이루어져 있을 것입니다.

이런 수식적 나열들이 연역적인 방법으로 되어 있기때문에 우리가 이해를 할 수가 있는 것입니다.

이해능력은 수학공식이나 수학적 그래프, 수학적인 표현들에 대해서 이해하고 활용하는 능력을 말합니다.

단순하게 공식을 외우는 방식 말고 공식에서 쓰여지는 수식이 어떤한 의미를 가지고 있고 그런 의미들을 어떤식으로 확장할 수 있는지 이해하는 방식을 통해 수학적인 해석이 가능해지는 것입니다.

수학적 이해능력을 키울려면 수학적인 논리(연역적 논리)가 중요합니다. 그래서 수학적 설명이 많이 쓰여지는 글을 많이 읽으면 수학적인 이해능력이 키워지게 됩니다.

마지막으로 문제해결능력은 앞에서 이야기한 이해능력과 연결되는 능력이라고 할 수도 있을 것입니다.

수학적인 이해능력을 상황상황에 맞게 적용할 수 있는 능력을 말합니다.

예를 들면 우주에 떠있는 인공위성 두 대가 다른 속도로 돌고 있을 때 같은방향으로 돌 때와 다른 방향으로 돌 때 얼마의 시간마다 마주치는지 알고 싶을 때 여러가지 방식으로 문제를 해결해 볼 수 있을 것입니다.

중학교때 배웠던 방정식을 이용하여 수식으로 정리하여 문제를 풀 수도 있고 그래프를 그려서 중첩되는 주기를 찾을 수 있을 것이며 컴퓨터 그래픽을 이용하여 시뮬레이션 해서 알아 낼 수 도 있을 것입니다.

여기서 중요한 것은 문제를 해결하는 것이 중요한 것이지 정해진 방식으로 계산하는 것이 아닙니다.