수학 문제를 해결하는 관점
수학을 공부한다는 것은 어떻게 보면 어떠한 수학적인 문제를 해결하기 위해서라고 할 수 있습니다.
그럼 수학 문제는 어떻게 해결을 할 수 있을까요?
수학 문제를 해결하는 관점은 엄청나게 다양합니다.
예전에 EBS 방송에서 S대에 입학한 학생의 공부방법을 이야기한 방송을 본 적이 있는 그때 그 학생이 수학 문제를 다양한 방법으로 해결하면서 공부를 했습니다.
수학 문제 한 문제를 30가지 넘게 다양한 방법으로 문제를 푸었던 것이었습니다.
저도 이 학생과 비슷하게 고등학교 때 공부를 해서 아주 인상 깊게 방송을 보았습니다.
사실 한 문제를 30가지 넘게 다른 방법으로 푼다는 것은 어려운 일이고 문제 풀이 방식을 디테일하게 본다면 30가지 넘는 풀이 방법에는 비슷한 풀이 방식이 많이 존재하며 완전히 다른 풀잇법은 몇 가지 정도로 줄일 수 있을 것입니다.
하지만 풀잇법을 알고 있음에도 비슷하지만 다른 풀이 방법을 찾는다는 것은 사실 쉬운 일이 아닙니다.
그래서 문제를 여러 가지 방법으로 문제를 풀기 위해서 문제의 정보에 대한 다양한 해석을 할 줄 알아야 하고 질문도 다양하게 해석을 할 수 있어야 다양한 풀이 방법이 나올 수 있습니다.
이렇게 문제를 다양하게 해석하는 연습을 하면 문제를 해결하는 자신만의 관점이 생길 수 있을 것입니다.
|질문을 어떻게 해석할 것인가?
질문을 해석하는 방법이 정해져 있는 것은 아닙니다. 정확하게 이야기하자면 방법을 고정화시킬 수는 없습니다.
하지만 문제를 해결하기 위해서는 어떤 방법의 해석이던 공통점은 한 가지 존재할 수는 있을 것입니다.
그것은 "무엇을 구할 것인가?"입니다.
질문을 해석할 수 있는 방법의 출발은 바로 자신이 무엇을 구하는지를 아는 것입니다.
무엇을 구해야 하는지가 명확해지면 질문에 대해서 관점이 생길 수 있고 그 관점이 문제를 해결할 수 있는 실마리가 될 수 있다고 생각합니다.
그럼 "무엇을 구할 것인가?"에서 무엇을 어떻게 정해질까요? 그것은 개인적인 생각이지만 주어지는 정보에 있다고 생각합니다.
주어지는 자료와 판단할 수 있는 정보를 통해서 주어진 문제에 대해서 무엇을 구해야 하는지를 명확하게 판단할 수 있다고 생각합니다.
그런데 수학공부를 할 때 '무엇을 구할 것인가'를 생각하는 것이 아니라 '어떻게 구할 것인가'에 초점이 맞추어공부를 하다보니 자연스럽게 수학적인 원리와 개념의 이해를 공부하는 것이 아니라 공식을 외우고 공식을 적용하기 위한 다양한 문제를 푸는 방식의 공부를 하는 것 같습니다.
이러한 공부 방식이 잘못된 방식이라고는 생각하진 않습니다. 왜냐하면 이러한 공부 방식 또한 하나의 공부 방식이라고 생각하고 많은 양의 문제를 풀다 보면 문제를 해결하는 관점이 생길 수도 있기 때문입니다..
하지만 수학이라는 학문을 조금 즐길 수 있기 위해서는 암기보다는 논리적인 접근을 통해서 문제를 해결하고 비록 문제를 푸는데 시간이 걸릴지라도 자신이 어떠한 문제를 해결하기 위해서 무엇을 알아야 하고 어떻게 접근할 수 있는지를 탐구해나가는 것이 수학이라는 학문을 합리적으로 접근한다고 생각합니다.
다시 무엇을 구할 것인가에 대해서 생각해보기로 하겠습니다.
예를 들어 다음과 같은 문제가 있습니다.
이 문제에서 질문은 tanC가 질문입니다. 그럼 이 문제는 무엇을 구하는 것일까요?
tanC를 구해야겠다고 생각을 하신 분은 아마도 문제를 해결하는 데 공식적인 부분을 먼저 생각하는 분이라고 생각이 듭니다.
하지만 문제를 조금 더 구체적으로 들어가 보면 tanC는 밑변의 길이와 높이의 길이 비로 이루어져 있습니다.
그럼 이문제에서 구해야 하는 것은 밑변과 높이입니다. 그럼 문제의 그림에서 표현을 해보겠습니다.
위의 그림처럼 두 개의 빨간색 선을 구하는 것이 이문제의 핵심 될 수 있습니다.
그리고 또 하나는 두 길이의 비율을 구한다는 것입니다.
이렇게 문제를 해결하기 위해서 문제의 질문을 좀 더 구체화해서 구해야 하는 부분을 찾아냈습니다.
바로 위의 그림의 밑변과 높이를 구하는 것이 핵심이라고 볼 수 있을 것입니다.
그럼 밑변과 높이는 어떻게 정해지는 것일까요?
a, b, c의 값에 의해서 삼각형의 모양이 결정되고 삼각형의 모양이 결정되면 삼각형의 각 각이 결정되게 됩니다. 그래서 문제의 조건인
의해서 삼각형의 모양이 결정되게 되는 것입니다.
그럼 여기서 위의 식만 보고 의문이 생길 수 있습니다.
위 식을 만족하는 a, b, c의 값은 한 개가 아니라 무수히 많이 존재하는 거 아닌가?
맞습니다.
식은 한 개이고 미지수는 3개 이기 때문에 위식을 만족할 수 있는 미지수의 개수는 무수히 많이 존재합니다.
그래서 문제의 질문이 삼각비를 이용한 비율을 물어보는 것입니다.
예를 들어 a, b, c의 값이 1, 1, 1이면 주어진 식에 만족합니다. 그리고 2, 2, 2도 3, 3, 3도 100, 100, 100도 만족합니다.
그럼 이 문제를 조금 복잡하게 만들어보고 싶다면 물어보는 질문을 삼각비가 아닌 특정한 값만 만족하게 물어보면 됩니다. 그럼 문제의 조건도 더 포함이 될 것입니다.
이런 식으로 문제를 모든 문제는 질문과 정보가 서로 유기적인 관계를 갖습니다. 그래서 같은 수학적인 지식을 물어보는 문제라도 물어보는 질문의 방식에 따라 주어지는 정보의 수가 정해지고 반대로 정보의 수에 따라서 물어볼 수 있는 질문의 형태가 변할 수 있습니다.
이러한 방법을 수학적 문제를 접근하면 수학적 논리력도 향상할 수 있고 원리도 이해할 수 있습니다.
그럼 일반적인 풀이 방법은 다음과 같습니다.
위 방법도 수학적이 논리력과 원리를 향상하는 방법이기는 하지만 아무래도 공식을 기반으로 한 풀이기 때문에 공식에 대한 암기를 하지 못하면 접근하기는 쉽지 않을 것입니다.
보통 학생들에게 문제를 풀어보게 시켰을 경우에 빨간색 부분까지는 문제를 풀지만 그 밑은 대부분 생각하지 못합니다.
만약에 이런 비슷한 문제를 풀어본 경험이 있다면 풀었겠지만 경험이 없다면 코사인 법칙을 적용하기는 쉬운 사고는 아닐 거라 생각합니다.
|나무와 숲을 같이 봐야 한다!
"나무를 보지 말고 숲을 봐야 한다"는 이야기가 있습니다. 수학적 문제를 해결하기 위해는 나무와 숲을 동시에 봐야 한다고 생각합니다.
수학 또한 언어이기 때문에 수식이 가지고 있는 의미가 상황이나 주어지는 전제조건에 따라 의미가 다르게 해석될 수 있습니다.
그래서 문제의 수식 연산을 할 때는 나무를 보듯이 수식 자체의 연산을 고려해야 하고 의미를 파악하기 위해서는 숲을 보듯이 전체적인 조건과 상황들을 봐야 합니다.
예를 들어
위의 식은 피타고라스의 정리입니다.
이 식을 문자만 바꿔서 쓰면
원의 방정식이 됩니다.
그래서 두식은 같은 의미를 갖는 식이 되며 문제의 상황에 따라서 언제든지 삼각형과 원의 개념을 바꿔서 사고할 수 있습니다.
