대표적인 유클리드 기하학 문제
닮음과 비례 그리고 피타고라스 정리
[문제] 다음 그림에서 색칠된 부분의 넓이는 얼마일까요?
유클리드 기하학의 출발은 탈레스가 닮음과 비례라는 아이디어를 갖는 것에서 출발하였습니다. 그리고 직각삼각형의 각 변의 길이의 관계를 정리한 피타고라스의 정리를 적용하는 것이 문제풀이의 핵심이라고 강조했습니다. 이 두 가지를 이용하여 이 문제에 접근해보겠습니다. 먼저 다음과 같이 문제에서 제시된 큰 직각삼각형과 닮은 삼각형을 생각해보겠습니다.
문제에서 주어진 큰 직각삼각형은 피타고라스의 정리에 의해 빗변이 20이라는 것을 알 수 있습니다. 3 : 4 : 5가 직각삼각형이기 때문에 12 : 16 : 20의 길이를 갖는 것입니다. 빨간색으로 칠한 부분도 직각삼각형인데, 이 직각삼각형은 큰 직각삼각형과 닮았습니다. 따라서 다음과 같은 길이 비로 a의 값을 계산할 수 있습니다.
또 하나의 닮은 직각삼각형을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
이번에도 작은 직각삼각형과 큰 직각삼각형의 닮음을 이용하여 b의 값을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
a = 8, b = 6이므로 전체 사각형의 크기는 가로 8 + 10 = 18, 세로가 6 + 10 = 16입니다.
전체 큰 사각형의 넓이는 18 × 16 = 288, 반원의 넓이는 10 × 10 × 3.14 × 12 = 157, 직각삼각형의 넓이는 12 × 16 × 12 = 96입니다. 그러므로 색칠된 부분의 넓이는 288 - (157 + 96) = 35입니다.
* 반원의 넓이를 계산할 때 원주율 Pi의 값을 3.14로 계산했습니다. 근사치가 아닌 진짜 값을 계산할 때에는 3.14가 아닌 Pi의 값으로 계산하시면 됩니다. 브런치에서는 원주율 Pi을 효과적으로 표시하기가 어려워서 그냥 3.14로 계산했습니다.
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박종하
mathian@daum.net
