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Sep 23. 2024
당신이 로또에 당첨될 확률은?
로또 기준으로 보면, 세상에는 세 부류의 인간이 있습니다.
(1) 로또를 꼬박꼬박 사는 사람
(2) 로또에 전혀 관심 없는 사람
(3) 특별한 날에만 로또를 사는 사람
이 중 어디에 속하세요? 저희 집에는 상반된 스타일의 두 사람이 있어요. 제가 로또를 제 돈 주고 사본 적이 없는 (2)번 유형이라면, 저희 남편은 성실하게 로또를 구입하는 (1)번 유형입니다.
가끔 로또를 선물 받게 되면 전 토요일 저녁 9시 땡하기가 무섭게 바로 맞춰봅니다. 당첨 확인을 한다기보다 버리는 타이밍을 확정 짓는 의식에 가깝죠. 그런데 저희 남편은 절대 바로 확인하는 일이 없어요. 몇 주동안 지갑에 고이 품고 다닙니다. 그의 지갑엔 꿈이 들어있어요.
로또의 일주일 판매 금액이 약 500억 원이라고 합니다. 대한민국에서 매주 5천만 번의 게임이 진행되고 있는 거죠. 흔히 로또에 당첨될 확률은 길 가다가 벼락 맞아 죽을 확률보다도 낮다고 합니다. 이렇게 터무니없이 낮은 확률인데도 사람들은 여전히 일확천금을 바라며 오늘도 로또를 구입합니다. 과연 로또 1등에 당첨될 확률은 얼마나 되는 걸까요? 우리가 직접 계산해 봅시다.
로또는 '6/45'방식입니다. 1부터 45까지의 번호 중에서 6개 번호를 맞추는 거죠. 내가 고른 수 6개와 추첨으로 뽑힌 수 6개가 일치해야 1등입니다. 구매자는 그저 번호 6개만 마킹하면 돼요. 수동선택이 아닌 자동선택을 하면 번호를 고민할 필요조차 없어요. 로또 한 장을 구입하면 최대 다섯 게임을 할 수 있습니다.
(1) 미니 로또의 당첨 확률
확률 계산법을 설명드리기 위해 미니 로또를 만들어봤어요. 1부터 5까지의 번호 중에서 3개만 맞추면 100만 원 당첨이라고 해봅시다. 꽤나 솔깃한 제안이죠? 번호 3개만 마킹하면 됩니다.
여러분이 100만 원에 당첨될 확률은 얼마나 될까요? 직접 마킹해 보니 번호 3개를 선택할 수 있는 모든 경우의 수는 10가지더군요.
(1,2,3) (1,2,4) (1,2,5) (1,3,4) (1,3,5) (1,4,5) (2,3,4) (2,3,5) (2,4,5) (3,4,5) 입니다. 모든 경우의 수가 10가지인데 1등 번호는 그중 하나니까 내가 선택한 번호로 1등에 당첨될 확률은 1/10입니다.
미니 로또는 번호가 5개뿐이라 이 중에서 3개를 골라 모든 경우의 수를 구하는 건 어렵지 않아요. 그런데 1부터 45까지 있는 로또에서 번호 6개를 일일이 선택하기란 불가능에 가까워요. 우리는 하나씩 세지 말고 정확히 생각해야 해요. 그게 바로 수학이니까요.
일단 미니 로또의 번호 1,2,3,4,5 중 3개로 만들 수 있는 수의 조합부터 구할 거예요.
1등에는 번호 빈자리가 세 개 있어요. 첫 번째 자리에 올 수는 1,2,3,4,5 중 하나일 테니 모두 5가지예요. 두 번째 자리는 이미 사용한 수를 뺀 나머지 중 하나이니 4가지이고, 세 번째 자리는 이미 사용한 수 2개를 뺀 나머지 중 하나이니 3가지입니다. 그래서 5×4×3=60 모두 60가지에요. 수형도를 직접 그려보면 더 쉽게 이해되실 거예요.
그러면 100만 원에 당첨될 확률은 1/60일까요? 아까 분명 1/10이라고 했잖아요. 오차라고 하기엔 너무나 큰데요. 이게 어찌 된 일이죠? 우리가 간과한 사실이 있어요. 바로 '순서'입니다. 번호가 나열된 순서를 따지느냐, 안 따지느냐를 반드시 염두해야 합니다.
우리가 구한 60가지는 번호 1,2,3,4,5 중에서 3개를 뽑아 일렬로 늘어놓을 때의 가짓수입니다. 로또는 나열된 수의 순서는 상관없어요. 그저 번호 3개만 맞추면 되거든요. 순서가 달라도 한 가지로 여깁니다. 예를 들어, 1등 당첨 번호가 (2,4,5)라고 해봅시다. (2,5,4), (4,2,5), (4,5,2), (5,2,4), (5,4,2) 이 모두를 다 하나로 본다는 겁니다.
번호가 3개 있을 때 만들 수 있는 수의 조합은, 3×2×1=6, 6가지예요. 6가지를 하나로 취급하니까 순서와 상관없이 세 수를 뽑는 경우의 수는 모든 경우의 수 60의 1/6. 즉 10이에요. 그래서 여러분이 100만 원에 당첨될 확률은 1/10입니다.
(2) 로또의 1등 당첨 확률
이제 진짜 로또의 확률을 계산해 봅시다. 1에서 45까지의 수 가운데 6개 번호를 뽑는 경우의 수도 같은 방법으로 구하면 돼요. 먼저 번호 6개를 나열하는 모든 경우의 수부터 구해보자고요.
45×44×43×42×41×40=5,864,443,200
6개 번호를 나열하는 모든 경우의 수는 58억 6444만 3200입니다. 그런데 여기도 분명 중복되는 상황이 있어요. 6개의 수가 서로 다른 순서로 나열되는 경우를 구해보면,
6×5×4×3×2×1=720
모두 720가지입니다. 로또는 순서가 달라도 되니까 720가지를 하나로 봅니다. 따라서 전체 경우의 수를 720으로 나눠야 해요. 5864443200÷720=8,145,060
6개 번호를 조합하는 모든 경우의 수는 814만 5060이에요. 이 가운데 딱 하나만이 1등이니까, 여러분이 로또 1등에 당첨될 확률은 1/8145060입니다. 814만 분의 1이라는 확률이 와닿지 않으시지요? 벼락 맞아 사망할 확률이 50만 분의 1이니까 로또 1등에 당첨될 확률은 그보다 16배 더 희박합니다. 그런데 신기한 건 매주 로또에 당첨되는 사람이 존재한다는 겁니다. 얼마 전에는 급기야 63명이 무더기 당첨되는 경우도 있었어요.
혹시 로또를 여러 장 사면 확률이 높아질까요? 맞습니다. 서로 다른 조합으로 로또를 추가 구입하면 확률은 높아져요. 내가 한 장만 샀다면 1등 당첨 확률은 814만 분의 1일 겁니다. 그런데 2장을 사면 814만 분의 2(407만분의 1)이 되는 거죠. 5장 사면 814만 분의 5(162만분의 1), 10장 사면 814만 분의 10(81만분의 1)이 됩니다. 그렇다면 6개 번호로 만들 수 있는 모든 조합으로 한 장씩 814만 5060장 사면 어떨까요? 네 1등 당첨확률은 100%가 됩니다. 가장 확실한 방법이죠. 그런데 81억 이상을 로또 사는 데 써야 합니다. 오롯이 그 돈을 나 혼자 수령하면 좋겠지만 1등 당첨자가 여러 명 나오면 1/n 해야 해요. 게다가 3억 이상은 세금도 33% 떼는 거 아시죠?
실제로 이 방법이 실행된 적이 있습니다. 1990년대 미국 버지니아주 로또는 1부터 44까지의 번호 가운데 6개를 선택하는 방식이었는데요. 로또 한 장을 사서 1등에 당첨될 확률은 705만 분의 1이었어요. 그 당시 로또 1장 가격이 1달러였으니까 약 700만 달러어치만 사면 1등 당첨은 확실했어요. 게다가 1992년 2월 15일, 지난 몇 주 동안 1등 당첨자가 없어 이월된 상금이 쌓여 1등 상금이 2700만 달러를 넘게 됐습니다. 700만 달러를 투자하면 2700만 달러를 벌 수 있는 절호의 찬스였죠. 여러분이라면 도전하실 건가요?
루마니아의 경제학자 스테판 만델은 이 무모해보이는 계획을 실행에 옮겼습니다. 문제는 로또 구입 자금이었죠. 만델은 2500명의 소액투자자를 모집해 자금을 확보한 후, 일주일 동안 조직원을 동원해 모든 조합의 로또를 사들이기로 합니다. 그런데 중간에 문제가 생겨 705만개의 조합 중 640만 개만 구입할 수 있었어요. 만델의 완벽한 계획에 차질이 생기고 말아요. 다행히도 그들이 사들인 640만 장에서 1등 번호가 나왔고, 만델은 700만 달러로 2700만 달러를 버는 데 성공했습니다.
