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Sep 09. 2024
사다리타기 게임은 왜 결과가 중복되지 않을까?
사다리타기 게임은 여럿이 내기할 때 흔히 하는 고전 게임입니다. 이 게임은 이기고 지고가 없어요. 그저 좋은 선택과 나쁜 선택만 있을 뿐이죠. 그런데 어느 누구도 결과에 토를 달지 않습니다. 그날의 운세를 탓할지언정 게임 자체에는 불만이 없어요. 만인이 인정하는 공정한 분배 게임이니까요.
보통 이렇게 시작합니다. 인원수대로 세로선을 길게 긋고 아래에는 결과 항목들을 적어요. 예를 들어 5명이 밥값을 걷는다고 해볼게요. 울고 웃게 될 다양한 금액을 씁니다.
이제 취향껏 가로선을 그립니다.
완성됐으면 사다리 부분을 가리고 각자 한 개씩 선택합니다. 사다리를 타고 내려가서 결과를 확인하면 끝.
사다리타기 게임에는 규칙이 있습니다.
(1) 참여 인원과 선택 항목의 수는 항상 같다.
(2) 높이가 같은 가로선을 연속으로 그을 수 없다.
(3) 세로선을 따라 위에서 아래로 내려가다 가로선을 만나면 그 가로선을 따라 바로 옆의 세로선으로 이동하여 아래로 내려간다.
(4) 한번 갔던 길은 절대 되돌아갈 수 없다.
이왕이면 0원에 걸리기를 바랄 거예요. 5만 원을 간절히 원하는 사람은 아무도 없겠지요. 그러다 0원에 여러 명이 몰리면 어쩌죠? 5만 원에 아무도 당첨되지 않을 수도 있잖아요. 그러면 정산에 차질이 생깁니다. 게임을 다시 해야 할까요?
신기하게도 사다리게임은 절대 결과가 중복되는 일이 없어요. 위와 아래는 항상 하나씩만 연결되거든요. 가로선을 아무리 막 그어도 결코 겹치지 않아요. 그래서 사다리게임이 세상 공평한 게임이라는 겁니다. 이유가 뭘까요? 사다리타기 게임이 '수학'을 기반으로 만들어졌기 때문이에요.
사다리타기 게임은
함수
사다리타기 게임의 원리는 함수입니다. 함수? 네 우리가 중고등학교 때 그토록 힘들어하던 그 함수 맞아요. 사다리타기 게임은 함수의 일종이에요. 숫자도 없고 좌표도 없고 식도 없는데 어떻게 이게 함수일 수 있죠?
일단 함수가 뭔지부터 제대로 알아야 합니다. 함수가 뭘까요? 함수는 수가 아닙니다. 이름 때문에 자연수, 정수, 유리수, 무리수처럼 수의 한 종류라고 오해하기도 하는데 함수는 수가 아니에요. 우리는 '수' 가 아니라 그 앞에 있는 '함'에 주목해야 합니다. 함수의 함은 사물함, 우편함, 제설함, 보석함, 투표함 할 때의 그 함이에요. 바로 상자 함(函)입니다. 대체 상자와 수가 무슨 관계가 있다는 걸까요?
함수 상자는 의미 없는 빈 상자가 아니에요. 그림을 잘 보면 상자에 들어가는 곳과 나오는 곳이 있지요? 무언가를 넣으면 반드시 무언가가 나와야 해요. 무언가를 넣었는데 아무것도 안 나오면 안 돼요. 무언가를 넣었는데 여러 개가 나와서도 안 돼요. 하나를 넣으면 딱 하나가 나와야 합니다.
그렇다면 함수 상자 안에는 뭐가 들어있게요? '규칙'이 있습니다. 이 상자는 철저하게 규칙에 의해서만 작동돼요. 이랬다 저랬다 변덕 부리지 않아요. 함수는 상자 안에 무언가를 넣으면 정해진 규칙에 따라 새로운 뭔가가 나오는 것을 말합니다.
수학의 언어로 말하자면, x라는 변수를 함수식에 대입하면 새로운 변수 y가 나온다는 겁니다. 이 y값을 함숫값이라고 해요. 함수는 변수 x값이 정해짐에 따라 새로운 변수 y값이 오직 하나씩 정해지는 관계를 말합니다.
이처럼 다양한 함수 상자가 있어요. 규칙은 모두 다르지만 하나를 넣으면 하나가 나온다는 원리는 변함이 없습니다.
근데 사다리타기 게임에는 상자가 없잖아요. 식도 없고 입력하는 수도 출력되는 수도 없는데 어째서 함수라는 걸까요? 규칙이 있거든요. 사다리타기 게임에서는 '가로선'이 규칙이에요. 가로선을 아무리 많이 긋는다 해도 그 가로선 덕분에 하나에 하나씩만 나오게 됩니다.
만약 가로선 없이 세로선만 있다고 해봅시다.
참가자가 2명이니까 선도 2개 그었어요. 사다리가 아니라 밧줄이군요. 각자의 줄을 따라가면 당연하게도 자기 줄 아래에 도착해요. 1은 A로, 2는 B로 말이죠. 하나당 하나씩인 '일대응대응'이 일어납니다.
여기에 가로선 하나를 추가해 볼게요.
그랬더니 1은 B로, 2는 A로 갔습니다.
둘이 자리가 바뀌었어요. 여기서 가로선을 하나 더 그어볼게요.
그러자 둘이 또 바뀌었어요. 1은 A로, 2는 B로 원래대로 돌아왔습니다. 어떻게 이런 일이 생긴 걸까요?
사다리타기 게임의
세로선은 일대일대응
가로선은 자리바꿈
사다리타기에서 가로선의 역할은 '자리바꿈'입니다. 빼앗는 게 아니라 그저 맞바꾸는 거예요. 둘이서 아무리 여러 번 바꿔봐야 한 사람당 하나씩인 건 변하지 않잖아요. 사다리타기 게임에서는 참여자 수와 선택항목 수가 항상 같죠. 그러니까 가로선을 아무리 많이 그어도 즉 자리바꿈을 아무리 많이 해도 서로 하나씩 맞바꾸는 거니까 절대 누락되거나 중복되지 않아요. 언제나 하나에 하나씩만 대응되는 일대일 대응이 됩니다. 그래서 사다리타기 게임은 함수의 일종입니다.
직접 실험해 봅시다. 이번엔 네 명이 사다리타기 게임으로 1,2,3,4등 자리를 뽑는 상황이에요.
원래대로라면 D는 영락없는 4등이죠. 근데 1등을 하고 싶대요. D가 1등 자리로 가려면 옆으로 세 번 옮겨가야 하니까 가로선을 3개 긋습니다. 오르락내리락해서는 안 되고 순차적으로 내려가게끔 세 줄을 그려요.
가로선이 3개 추가된 사다리를 타보겠습니다.
D의 야심대로 1등을 차지했어요. 이러면 운이 아니죠. D가 수학을 잘한 거예요.
B가 원래대로라면 2등 자리인데 새로 생긴 가로선 3개 때문에 졸지에 3등이 되게 생겼어요.
B는 비록 1등은 못했지만 2등은 꼭 하고 싶대요. 그러면 위해선 왼쪽으로 한 번 옮겨가야 하니까 왼쪽 아래에 가로선을 하나 긋는 겁니다.
