파이(π) 이야기:끝나지 않는 원(Circle)의 노래
서론: 원, 가장 완벽한 도형의 비밀
세상에서 가장 완벽하고 단순한 도형을 꼽으라면 단연 '원(Circle)'일 것입니다. 동그란 해와 보름달, 굴러가는 바퀴, 달고나, 피자까지. 우리 주변은 원으로 가득 차 있죠.
그런데 이 완벽한 원에는 아이러니하게도 '완벽하게' 표현할 수 없는 숫자가 숨어 있습니다. 바로 원주율, 파이(π)입니다.
고대 사람들부터 궁금했습니다. 원의 둘레(원주)는 지름의 몇 배일까?" 그들은 피자(큰 원)든 동전(작은 원)이든, 그 비율이 항상 3.141592...라는 일정한 값에 가까워진다는 것을 발견했습니다. 이것이 바로 π입니다.
하지만 이 숫자는 3.14로 끝나지도, 순환하지도 않는 '무리수'이자 '초월수'입니다. 오늘은 이 끝나지 않는 원의 노래, π가 무엇인지, 그리고 이 신비한 숫자를 파이썬으로 어떻게 '계산'해낼 수 있는지 알아보겠습니다.
다음은 제가 여러분들에게 파이의 영감을 주려고 만든 이;미지로 만든 아이디어입니다. 여러 번에 걸쳐서 만들어진 것인데 명령어의 내용은 다음과 같습니다.
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"π 추정 실험을 4개의 패널 만화 스타일로 그려줘: 1번 패널: 빨간 실로 원형물체의 둘레를 1번 감는 장면. 2번: 이 실을 가위로 반으로 자르고 자로 잘라진 실의 길이를 재는 모습. 3번: 파란 실로 원형물체의 지름을 재는 장면. 4번: 전체 둘레(반 길이 x 2)를 지름과 비교하며 노트에 π ≈ 둘레 / 지름 계산하는 그림. 교육적이고, 밝고 재미있게, 아이들도 좋아하는 그림으로."
제가 상상한 파이구하기, 둘레와 지름을 구해서 나누는 법정말로 3.14가 나올까요 여러분도 한번 해보세요. 원을 실로 감는 장면이 매우 어려울 것 같아서 대신 저는 파이썬 코드로 해결할게요.
본론 1: 원주율, 왜 3.14... 일까? 몬테카를로의 점찍기
π를 어떻게 구할 수 있을까요? 물론 원을 정밀하게 그려서 자로 잴 수도 있겠지만, 수학자들은 더 우아한 방법을 찾아냈습니다.
고대의 방법 (아르키메데스): 원 안에 정사각형, 오각형, 육각형... 즉 '다각형'을 그려 넣고, 그 다각형의 둘레가 원의 둘레에 가까워지는 것을 이용해 계산했습니다.
현대의 방법 (시뮬레이션): 컴퓨터의 힘을 빌려 '확률'을 이용하는 방법이 있습니다. 바로 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulation)입니다.
이름은 거창하지만 원리는 간단합니다. "점을 무수히 많이 찍어서 확률로 넓이를 구한다"는 것이죠.
가로 1, 세로 1인 정사각형을 그립니다 (넓이 = 1).
그 안에 꼭 맞는 부채꼴(반지름이 1인 원의 1/4 조각)을 그립니다. (부채꼴의 넓이 = (π * 1^2) / 4 = π/4)
이제 이 정사각형 안에 무작위로 점(비비탄 총알)을 10,000발 쏩니다.
점들 중 일부는 부채꼴 안에, 일부는 부채꼴 밖에 맞을 것입니다.
여기서 핵심은! (부채꼴 안에 맞은 점의 개수) / (총 쏜 점의 개수)는 (부채꼴의 넓이) / (정사각형의 넓이)와 거의 같아집니다.
즉, (안에 맞은 점) / 10000 ≈ (π/4) / 1 이 됩니다. 따라서 우리는 π ≈ 4 * (안에 맞은 점) / 10000이라는 공식을 얻을 수 있습니다!
파이썬과 함께: 점을 찍어 원주율(π) 구하기
다시 말하지만 이 방법은 직접 둘레를 재는 대신, 원의 넓이와 정사각형의 넓이 비율을 이용해서 π를 간접적으로 구하는 방법입니다.
simulation을 200번, 2000번, 20000번 등 할수록 원(부채꼴)과 사격형이 빨간색과 파란색으로 채워지면서 그 비율이 결국 3.14가 된다는 논리입니다.
피타고라스 정리의 역할
원의 중심이 (0, 0)이고, 반지름이 1이라면 → 원의 경계는 중심에서 거리 1인 모든 점들의 집합입니다.
어떤 점 (x, y)가 있을 때, 이 점이 중심에서 얼마나 떨어져 있는지를 계산하려면 → 바로 피타고라스 정리를 써야 해요.
피타고라스 정리에 따르면, (^2는 제곱을 말합니다)
거리^2=x^2+y^2
이 거리의 제곱이 반지름의 제곱보다 작거나 같으면, 그 점은 원 안에 있는 거예요.
여기서 1은 반지름이 1이니까 r^2=1^2=1입니다.
즉, x² + y² ≤ 1이면 원 안에 있는 점이라는 뜻이에요.
우리는 전체 20000개 중에서 원안에 있는 점의 개수를 구할 수 있고, 발사한 총알 개수가 20000개 이므로
원안에 있는 총알 개수/20000 ≈ pi/4
무작위로 점을 쏘면, 원 안에 들어갈 확률은 π/4에 가까워집니다.
π≈4 ×원 안에 들어간 수/20000
본론 2: 다면체를 원에 집어넣어서 파이추정하기
원에 4 각형을 넣으면 공간이 많이 비는데, 이것을 오각형, 육각형... 이렇게 하면 결국 원과 동일(?) 또뉸 유사한 면적을 가지게 됩니다. 이론적으로요.
그러면 도대체 몇 면체가 되어야 동일해질까요?
시뮬레이션을 했더니
6 각형 근사 π: 2.9999999999999996
12 각형 근사 π: 3.105828541230249
24 각형 근사 π: 3.1326286132812378
48 각형 근사 π: 3.1393502030468667
96 각형 근사 π: 3.1410319508905093
192 각형 근사 π: 3.1414524722854615
그런데 190면체가 원과 거의 동일하게 보이네요... 저는 혹이 192개가 난 괴물을 상상했는데요...
오늘 그래프에는 GEMINI, GROK, COPILOT, Bing Image, Google Nano Banana, Gemini-Iamge의 도움이 있어서 쉽게 의미가 전달된 것 같아요.
결론: 수학은 연결되어 있다
점을 무작위로 찍는 '확률'을 이용해 '기하학'의 상징인 π를 구한다는 것이 정말 흥미롭지 않나요? 점을 더 많이 찍을수록(n을 늘릴수록) 우리는 실제 π 값에 더 가깝게 다가갈 수 있습니다.
π는 단순히 원의 둘레를 구하는 숫자가 아닙니다. 파동, 진동, 전기 신호, 심지어 주식 시장의 움직임을 분석하는 정규분포 곡선까지, 자연과 과학의 거의 모든 곳에 등장하는 신비한 숫자입니다.
오늘의 이야기를 통해 수학에 대한 자신감이 조금 생기셨나요? 수학은 개별적인 공식 암기가 아니라, π가 그렇듯 서로 다른 영역이 연결되는 거대한 이야기입니다. 다음 이야기에서 또 다른 재미있는 수학의 세계로 안내하겠습니다.
