조건부확률, 확률에 왜 조건이 붙어요?

이미 수학을 좋아한다고 알려진 학생들 중에서, 과학도 좋아하는 학생들”

통계학을 공부하다가 많은 분들이 처음으로 '벽'을 느끼는 부분이 바로 조건부 확률(Conditional Probability)입니다. 직관적으로 이해될 것 같으면서도, 막상 문제를 풀면 교집합(곱사건)과 헷갈리기 쉽기 때문입니다. 오늘은 직관적인 비유와 풍부한 예시를 담아 여러분에게 쉽고 편한 설명 하고자 합니다.

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1. 조건부 확률, 도대체 뭔가요?

우리가 흔히 말하는 확률은 '전체 경우의 수' 중에서 '원하는 사건이 일어날 경우의 수'를 따지는 것입니다. 하지만 조건부 확률은 전제 조건이 붙습니다.

"만약 A라는 일이 이미 일어났다고 칠 때, 그때 B가 일어날 확률은?"

이것을 기호로는 P(B|A)라고 씁니다. 가운데 있는 막대기(|)는 "Given(~가 주어졌을 때)"이라고 읽습니다. 즉, "A가 주어졌을 때의 B의 확률"이라는 뜻입니다.

일상 예로 바꾸면:

교집합: “수학을 좋아하고 동시에 과학도 좋아하는 학생들”

조건부집합: “이미 수학을 좋아한다고 알려진 학생들 중에서, 과학도 좋아하는 학생들”

A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} → A ∩ B = {3}

A = {사과, 바나나}, B = {바나나, 포도} → A ∩ B = {바나나}

아시겠죠?

2. 가장 헷갈리는 포인트: 교집합 vs 조건부 확률

많은 분들이 'A와 B가 동시에 일어나는 것(교집합, A∩B)과 '조건부 확률(P(B|A))'을 혼동합니다. 이 둘의 결정적인 차이는 바로 '분모(전체 이벤트의 세상)'가 다르다는 점입니다.

윗 그래프의 중앙에 진하게 보이는 오렌지색이 교집합 (저로 교류하는 집합, (A∩B))이라면 조건부집합은 어떻게 그림으로 표현을 할까요?

이미 수학을 좋아한다고 알려진 학생들 = a+b

이중 과학도 좋아하는 학생들=b

이해가 되죠?

3. 공식으로 보는 직관 (무작정 외우지 마세요!)

조건부 확률의 공식은 다음과 같습니다.

P(B|A) = (A∩B)/P(A)

이 식을 말로 풀면 아주 당연한 이야기가 됩니다.

분모 P(A): 세상이 A로 좁아졌으니, 전체 기준은 A가 됩니다.

분자 P(A∩B): 좁아진 A 세상 안에서, B에도 해당하는 부분은 결국 A와 B가 겹치는 부분입니다.

우리의 예의 경우 (b)/(a+b)의 비율로 계산이 됩니다. 이제 개념상이 아니라 실제로 예를 들어 볼게요.

4. 실생활 예제로 완벽하게 이해하기

여러분들의 이해를 돕기 위해 쉬운 예제부터 조금 생각해야 할 예제까지 준비했습니다.

예제 1: 10km 마라톤 대회를 했는데, 전체 참여 인원 100명 중, 10km를 완주한 선수가 80명이고, 전체 부상자는 10명인데, 이중 완주자 부상을 당한 수는 2명이라 합니다.

교집합 A ∩ B

전체 참가자(T): 100명

완주자 집합(A): 80명

부상자 집합(B): 10명

완주·부상 모두 해당(교집합 A ∩ B): 2명

완주자 중 부상자 비율(전체기준): P(A ∩ B) = 2 / 100 = 0.02 (2%)

조건부 확률/비율

P(부상 | 완주) = P(A ∩ B) / P(A) = (2/100) / (80/100) = 2 / 80 = 0.025 → 2.5% 해석: “완주자 중 부상자의 비율은 2.5%”

P(완주 | 부상) = P(A ∩ B) / P(B) = (2/100) / (10/100) = 2 / 10 = 0.2 → 20% 해석: “부상자 중 완주자의 비율은 20%”

추가로 알 수 있는 수치

비완주자: 100 − 80 = 20명

비완주 부상자: 전체 부상 10명 중 완주 부상 2명을 제외 → 8명

비완주 비부상자: 20 − 8 = 12명

완주 비부상자: 80 − 2 = 78명

예제 2: 남녀 공학 고등학교

전교생 100명 중 남학생 60명, 여학생 40명입니다. 안경 쓴 남학생은 20명입니다.

교집합: 선생님이 눈을 감고 전교생 중 한 명을 뽑았는데, "남학생이면서 안경을 썼을" 확률은?

안경 쓴 남학생 = 20/100

조건부 확률: 선생님이 "남학생 다 나와!"라고 해서 남학생만 운동장에 모였습니다. 그중에서 한 명을 뽑았을 때 안경을 썼을 확률은?

P(A) =남학생을 뽑았을 확률 = 60/100

P(A∩B) = 20/100 (지문에 준 정보가 이것이 전부입니다. 안경을 쓴 여생생 정보도 없고)

조건부확률 = (20/100)/(60/100) = 20/60 = 0.33

(분모가 100에서 60으로 줄어들었기 때문에 확률이 올라갑니다!)

사건 B(“안경을 썼다”)를 정의했지만, 여학생 중 안경을 쓴 학생 수가 주어지지 않았습니다.

따라서 전체 확률 P(B) = “전교생 중 안경을 쓴 학생의 비율”을 정확히 계산할 수 없습니다.

문제의 의도

사실 이 문제의 핵심은 교집합 확률과 조건부 확률의 차이를 보여주는 데 있습니다.

교집합: P(A∩B)=20/100=0.2P(A \cap B) = 20/100 = 0.2

조건부: P(B∣A)=(20/100)/(60/100)=20/60≈0.33P(B|A) = 20/60으로 약 0.33

여기서 중요한 포인트는 분모가 전체(100)에서 조건 집합(60)으로 줄어들면서 확률이 달라진다는 점이에요.

여러분, 조건부 확률은 어렵게 생각하면 한없이 어렵지만, 핵심은 하나입니다. '분모라는 변수가 생겼다'는 것입니다. 전체를 볼 것이냐, 특정 조건 안에서만 볼 것이냐의 차이만 기억하면, 베이즈 정리까지 가는 길이 훨씬 수월해질 것입니다.

다음 편에서는 조건부 확률 예제를 좀 더 다뤄 보면서, 베이지안통계로 넘어가 보자고요..