독립사건과 곱셈법칙 "두 가지 일이 동시에 일어날 확률

Nov 21. 2025

지난편에서 순열과 조합을 배우며 로또의 총 가능한 조합(8,145,060개!)을 계산해 봤죠? 그 덕에 로또 한 장의 당첨 확률이 1/8,145,060이라는 걸 알았어요. 그런데 만약 로또를 두 장 사면? 아니면 로또 번호를 여러 번 맞히려면? 오늘은 "독립 사건"과 "곱셈 법칙"을 통해 여러 일이 동시에 일어날 확률을 탐험해 볼게요. 이 개념을 알면, 로또뿐만 아니라 일상에서 "이 일과 저 일이 같이 벌어질 가능성"을 계산할 수 있어요. 마치 마법 주사위를 여러 개 굴리는 게임처럼 재미있게 풀어갈게요!

먼저, "독립 사건"이 뭘까요? 간단히 말해, 한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않는 거예요. 예를 들어, 동전을 던질 때 첫 번째 던짐이 두 번째에 영향을 주나요? 아니죠! 동전은 "기억"이 없어서, 매번 새롭게 시작해요. 이게 독립이에요. 반대로, 카드 덱에서 카드를 뽑을 때는? 첫 번째 뽑은 카드가 없어지니, 두 번째 뽑음에 영향을 주죠. 이건 "의존 사건"이에요. (다음 편에서 더 깊이 다룰게요!)

이제 재미있는 사례로 들어가 보죠. 상상해 보세요: 당신은 "동전 마법사"가 돼서, 공정한 동전을 두 번 던져요. 목표는 "앞면-앞면"이 나오는 거예요. 첫 번째 던짐에서 앞면 나올 확률은 1/2예요. 두 번째도 1/2죠. 이 두 사건이 독립이니, 동시에 일어날 확률은? 그냥 곱하면 돼요! 1/2 × 1/2 = 1/4. 실제로 동전을 100번 던져 보면, 앞-앞이 약 25번쯤 나올 거예요. 이게 "곱셈 법칙"의 마법이에요.

로또로 적용해 보자면? 로또 6/45에서 특정 번호 6개를 맞히는 건, 마치 6개의 "독립적인" 선택처럼 느껴지지만, 실제로는 숫자가 중복되지 않으니 약간 다르죠. 하지만 간단히 생각해 보세요: 만약 로또가 "독립 주사위"처럼 각 번호가 별개라면? 예를 들어, 1번부터 45번까지의 주사위를 6번 굴려 특정 숫자 맞히기. 각 굴림이 독립이니, 전체 확률은 각 확률의 곱! 하지만 실제 로또는 중복 없음(조합)이니, 지난 편처럼 C(45,6)로 계산해요. 그래도 곱셈 법칙은 로또 여러 장 살 때 유용해요. 한 장 당첨 확률 1/8,145,060이라면, 두 장 사면? 독립이니 (1 - (1 - p)^2)로 계산되지만, 대략 2배(정확히는 2/8,145,060)예요. (p가 아주 작아서 곱셈으로 근사 가능!)

이제 공식을 제대로 풀어 보죠.

곱셈 법칙: 두 독립 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률 P(A and B) = P(A) × P(B).

만약 세 사건이라면?

P(A and B and C) = P(A) × P(B) × P(C).

예시: 주사위 두 개 굴려서 "첫째 1, 둘째 6" 나올 확률. 각 주사위 독립이니 1/6 × 1/6 = 1/36. 만약 "첫째 1 또는 둘째 6"이라면? 그건 덧셈 법칙(독립 아니어도 P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B))이지만, 오늘은 곱셈에 집중해요.

더 재미있는 사례: "비 올 확률 30%, 그리고 독립적으로 우산 가져갈 확률 50%. 둘 다 일어날(비 오는데 우산 있음) 확률은?" 0.3 × 0.5 = 0.15(15%). 이걸 알면 날씨 앱이 왜 "비 올 확률"을 주는지 이해돼요! 실제로, 로또 팬이라면 "이번 주 로또 당첨 + 다음 주도 당첨" 확률은? (1/8백만) × (1/8백만) = 엄청 작은 수! 그래서 "로또 두 번 연속 당첨"은 뉴스에 나올 만한 일이에요.

이 개념의 실생활 적용은 어마어마해요. 예를 들어, 보험 회사들은 "자동차 사고 + 도난" 같은 복합 사건을 곱셈으로 계산해 보험료를 정해요. 또는 투자에서 "주식 A 상승 × 주식 B 상승" 확률을 곱해 포트폴리오를 짜죠. 하지만 주의! 사건이 정말 독립인지 확인하세요. 예: "커피 마시기 + 졸음 오기"는 독립이 아닐 수 있어요(커피가 졸음을 막을 수 있으니까).