I. 도형 - 평면도형 - 평면도형의 이동

2학년 규칙 찾기, 4학년 평면도형의 이동, 5학년 합동과 대칭

도형에 대한 정리는 마무리지었지만, 도형 그 자체가 아닌 도형을 활용하여 생각할 수 있는 내용은 아직 조금 남아 있습니다. 4학년 과정에서는 평면도형의 이동에 대한 것이 그것이지요. 우리가 배운 평면도형들은 각각의 모양에 대한 내용 중심이었습니다. 그런데 이를 현실 상황에서 본다면 어떨까요? 여러 평면도형들이 어떤 식으로 활용될 수 있는가에 대해 생각해볼 수 있을 것입니다. 우리 주변에서 찾을 수 있는 다양한 모양의 삼각형이나 사각형들, 이러한 모양들이 어떻게 반복되고 변하고 있는지에 대해서 말이지요. 이러한 내용들은 새롭고 이해하기 어렵거나 복잡한 내용들에 대한 것들이 아니라, 우리가 일상생활에서 흔히 사용하는 말들이 수학에서 어떻게 표현할 수 있는지에 대해 용어를 가다듬고 정리하는 시간에 가깝습니다. 이러한 점을 조금 더 강조해서 말한다면 일종의 쉬어가는 시간이라고도 할 수가 있겠네요. 이번 단원에서는 새로운 용어와 내용들에서 조금 벗어나, 우리의 일상 용어들을 수학에서 어떻게 가다듬어 활용할 수 있을지에 대해 생각해보는 시간을 가져보도록 합시다.

2-2-6. 규칙 찾기

규칙이 있는 무늬를 찾고 만들기

앞서 거창하게 말했지만서도 사실 우리는 이미 이러한 일상 생활에서 도형이 어떻게 활용되고 있었는지를 살펴보고 있었습니다. 가장 첫번째로 시작한 것이 2학년 때 공부했던 규칙 찾기 단원이지요. 규칙이 있는 무늬를 찾고 만드는 과정에서 우리가 찾은 무늬들이 무엇으로 이루어져 있었는지 기억나나요? 너무 오래 전 일이라 정확히 기억나지 않는다면 지금 당장 주변에서 무늬를 한번 찾아보세요. 멀리 가지 않고 그냥 제자리에서 고개를 돌려 자기 주위만 살펴봐도 쉽게 찾을 수 있을 것입니다. 입고 있는 옷에서, 주변의 벽에서, 반복되는 바닥의 모양에서도요. 찾은 무늬를 한번 설명해 볼까요? 어떤 무늬인가요? 여러분들이 직접 찾은 무늬를 설명하는 과정에서 사용하는 용어가 우리들이 여러 단원을 거쳐 알아보았던 도형들입니다. 3학년 때 배웠던 직각삼각형, 직사각형, 정사각형 등도 쉽게 찾을 수 있고, 이러한 다각형 형태가 아니더라도 3학년과 4학년 1학기에 걸쳐 정리했던 각과 각도 관련된 요소들도 보이지요. 그런데 이 도형들을 어떻게 하면 이러한 규칙이 있는 무늬를 만들 수 있을까요? 여러분에게 무늬 속 도형 여러 개를 준다면 직접 만들 수 있을 텐데요, 어떻게 만들었는지 설명해보라고 하면 어려워하는 경우가 대부분일겁니다. 여기에 대해 조금 더 자세히 알아보도록 합시다.

4-1-4. 평면도형의 이동

평면도형 밀기

평면도형 뒤집기

평면도형 돌리기

평면도형 뒤집고 돌리기

규칙적인 무늬 만들기

단 한 종류의 도형만 주어졌다고 생각해 봅시다. 어떻게 하면 규칙적인 무늬를 만들 수 있을까요? 먼저 첫번째 무늬를 봅시다. 빨간색으로 표시된 타일과 그 옆, 그 아래의 타일 모양이 어떤가요? 완전히 똑같은 모양이지요? 첫 번째 타일을 어떻게 이동하면 두 번째 모양을 만들 수 있나요? 옆으로 그냥 밀어보면 되지요? 그렇습니다. 이렇게 평면도형의 이동에 대해 말할때는 특별히 낯선 단어를 새로 만드는 것이 아니라 일상적으로 사용하는 언어를 그대로 활용하고 있습니다. 말 그대로 도형을 ‘밀기’한 것이지요. 이렇게 이동된 두 번째 타일은 첫 번째 타일과 완전히 같은 모양을 하고 있지요? 이것이 가장 간단한 첫 번째 평면도형의 이동입니다.

평면도형의 이동 : 밀기

두 번째 무늬를 볼까요? 두 번째 무늬에서는 빨간색으로 표시된 첫 번째 타일과 두 번째 타일이 비슷한 듯 다른 느낌이 듭니다. 처음 타일을 어떻게 해야 두 번째 타일을 만들 수 있을까요? 머릿속으로 생각하기 어려운 경우에는 색종이 한 장을 접어서 직접 만든 후 이동시켜보면 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 어떻게 하니 두 번째 모양과 같아졌나요? 그냥 ‘뒤집기’ 하면 되지요? 처음 모양을 뒤집어버리면 같은 모양이지만 방향만 다른 도형이 완성됩니다. 오른쪽으로 뒤집어도, 왼쪽으로 뒤집어도 같은 형태가 되지요. 위로 뒤집으면 조금 달라진다고요? 아래로 뒤집어 보고 비교해 보세요. 일정한 규칙을 찾을 수 있을 겁니다. 위와 아래로 뒤집었을 때의 변화는 보라색으로 표시된 타일들에서 비교할 수 있습니다.

평면도형의 이동 : 뒤집기

마지막 세 번째 무늬입니다. 이번에는 어떤가요? 조금 더 화려한 타일인데요, 빨간색으로 표시된 타일 하나하나씩 나누어서 생각해 봅시다. 어떻게 해야 다음 타일과 같은 형태로 바꿀 수 있었나요? 그렇습니다, ‘돌리기’를 했습니다. 돌리기를 할 땐 생각해야 할 게 몇 가지 더 있지요? 어떤 방향으로, 얼마나 돌렸냐에 따라 다양한 모양이 나올 수 있습니다. 정확히 정리해봐야 할 내용이지요.

평면도형의 이동 : 돌리기

이처럼 평면도형의 이동은 실생활에서 흔히 사용하는 세 가지 용어를 그대로 활용하고 있습니다. ‘밀기’, ‘뒤집기’, ‘돌리기’가 바로 그것이지요. 이 세 가지 이동 방법을 어떤 순서로 하냐에 따라 다른 결과가 나오기도 하고요. 이러한 평면도형의 이동에 대해서도 하나씩 자세히 따져 들어가면 생각할 것이 많지만, 지금은 그런 세세한 내용들보다는 우리 일상 생활에서 사용하는 용어들 또한 잘 정돈하여 모두가 같은 의미로 이해할 수 있도록 약속한다면 수학적인 용어로도 충분히 활용할 수 있다는 것이 중요합니다. 괜히 우리를 골탕먹이려고 새로운 용어와 방법들이 수학에서 출몰하는 것이 아니라, 오히려 그 반대로 모두가 오해 없이 같은 뜻으로 받아들여 이해하고 이를 활용할 수 있도록 하는 것이 수학의 목적 중 하나라고 해도 과언이 아니거든요. 이번 단원에서는 여러분이 여기에 대해서 생각해볼 수 있는 기회가 되었으면 좋겠습니다.

5-2-3. 합동과 대칭

도형의 합동을 이해하고 서로 합동인 도형 그리기

선대칭도형의 의미와 성질을 알고 선대칭도형 그리기

점대칭도형의 의미와 성질을 알고 점대칭도형 그리기

이렇게 도형의 이동에 대해 알아보았는데, 이번에는 이동한 도형과 원래 도형 사이의 관계를 살펴보려고 합니다. 앞서 정리한 이동 방법 중 뒤집기를 생각해 봅시다. 원래 도형과 뒤집은 도형이 완전히 다른 모양인가요? 완전히 동일해 보이지는 않지만 어떤 규칙이 있는것처럼 보이지요? 이처럼 도형들 사이의 관계를 볼 때, 완전히 같은 도형도 있고, 말로 설명하기는 애매하지만 무언가 비슷한 점이 있는 도형들도 있습니다. 이 단원에서는 이러한 도형들의 관계에 대해서 다루고 있습니다. 완전히 같은 도형 관계는 ‘합동’이라고 합니다. 앞서 말한 원래 도형과 뒤집은 도형의 관계처럼 중간의 선을 기준으로 접었을 때 겹쳐지는 관계는 ‘선대칭’이라고 합니다. 뒤집기가 아니라 돌리기를 활용했을 때 겹쳐진다면 ‘점대칭’이라고 하구요. 이처럼 앞서 정리한 도형의 이동 방법을 활용하여 여러 도형간의 관계에 대해 이야기할수도 있습니다.

이처럼 수학, 그 중에서도 도형은 생각보다 우리 주변 가까운 곳에 자리하고 있었습니다. 지금 찾은 것처럼 단순히 장식하기 위한 꾸미기 요소로 사용되기도 하지만, 뚜렷한 목적과 이유를 갖고 활용되는 경우 또한 많습니다. 왜 이러한 모양이 사용되어야 하는지에 대해서는 지금 자세히 다룰만한 내용은 아니지만, 적어도 우리 주변에 수를 세기도 어려울 정도로 다양한 환경에서 도형들이 사용되고 있다는 것 정도는 기억하고 있다면 수학적으로 세계를 바라볼 수 있을 것입니다.