J. 규칙성 - 규칙성과 대응 - 수나 식으로 나타내기
2학년 규칙 찾기 / 4학년 규칙 찾기 / 5학년 규칙과 대응
지금까지 우리가 수학 하면 생각하곤 하는 대표적인 영역들, 숫자를 활용하는 계산과 도형들에 대해 살펴보았습니다. 하지만 수학은 거기에 한정되어 있지 않고 더 넓은 범위를 포함하고 있는 학문입니다. 그 중 대표적인 것이 우리의 일상생활 속의 상황들을 다른 방법으로 표현하는 것입니다. 여러분이 세계 어느 나라를 가더라도, 반대로 외국에서 우리 나라에 처음 온 사람이라도 화장실을 찾아가는건 어렵지 않은데요, 그 이유는 무엇일까요? 화장실을 나타내는 표지판이 그 나라의 언어로만 되어있는 것이 아니라 누구라도 한 눈에 알아보기 쉬운 그림으로 표현하고 있기 때문이지요.
갑자기 왜 화장실 이야기냐구요? 수학 또한 이와 비슷한 효과를 가지기 때문입니다. 오늘날은 세계 어느 나라를 가더라도 메뉴판에서 가격을 읽는 것은 어렵지 않습니다. 거의 모든 나라가 1,2,3으로 이어지는 아라비아 숫자를 쓰고 있기 때문이지요. 이처럼 수학은 화장실 표지판처럼 전 세계인이 이해할 수 있는 또 하나의 언어 역할을 할 수 있습니다. 그래서 이번 단원부터는 우리의 일상 생활 속에서의 상황들을 수학을 활용하여 표현하여 보는 내용들이 시작됩니다. 그 중 첫번째로는 규칙에 대한 이야기입니다. 우리 주변에는 수많은 규칙들이 있습니다. 이러한 규칙들을 찾고, 이를 수학적으로 표현해봄으로써 수학이 또 하나의 언어 역할을 할 수 있다는 사실을 이해해보려 합니다. 그럼 천천히 시작해봅시다.
2-2-6. 규칙 찾기
자신이 정한 규칙에 따라 규칙 만들기
규칙을 활용하여 문제 해결하기
이렇게 우리 주변의 상황들을 수학이라는 언어로 표현하는 것은 2학년 때로 거슬러 올라갑니다. 여기서는 먼저 규칙을 찾아보는 활동이 주가 되었습니다. 엘리베이터를 탔다고 생각해 볼까요? 5층에 가고 싶어서 5층 버튼을 누르려고 합니다. 5층 버튼은 어디에 있을까요? 아마 다들 어렵지 않게 찾을 수 있을 것입니다. 6층 남짓한 학원 건물 엘리베이터에서도, 20층이 넘는 아파트에서도, 수십층이 넘는 훨씬 높은 빌딩에서도 쉽게 누를 수 있을 거에요. 왜 그럴까요? 다들 5층 버튼은 1, 2, 3, 4 다음에 위치한다는 것을 알고 있기 때문이지요.
하지만 만약 우리가 흔히 볼 수 있는 엘리베이터처럼 차례대로 버튼이 있는 것이 아니라 숫자가 여기저기 섞여 있다면 어떨까요? 아마 처음 탑승한 엘리베이터에서는 원하는 버튼을 찾기가 너무나 어려울겁니다. 이처럼 우리 주변에는 다양한 규칙들이 존재하는데, 이를 활용해서 우리가 편리하게 생활하고 있었던 것이지요. 이런 다양한 규칙들을 주변에서 찾아보고, 다음에 올 내용을 예상해보는 활동이 2학년 때 우리가 알아보았던 내용입니다. 그런데 이게 수학이랑 무슨 상관이냐구요? 그것이 이번 4학년부터 차근차근 생각해볼 내용입니다.
4-1-6. 규칙 찾기
수의 배열이나 일상생활에서 규칙을 찾아 수나 식으로 나타내기
도형이나 변화하는 모양에서 규칙을 찾아 수나 식으로 나타내기
계산식의 배열에서 규칙 찾기
계산 도구를 사용하여 계산식의 규칙 찾기
2학년 때는 우리 주위에서 다양한 규칙들이 존재한다는 것을 확인해보는 선에서 그쳤습니다. 하지만 4학년이 되었으니 조금 더 나아갈 수 있어야겠지요? 이제는 여러분이 발견한 이러한 규칙들을 표현해보려고 합니다. 어떤 방법으로 표현할 수 있을까요? 여기 한 가지 사례를 보고 친구에게 어떻게 설명할 지 생각해 봅시다.
여기가 어디인것 같나요? 축구장? 공연장? 영화관? 무엇이 되었든 여러분은 자신의 자리를 찾아야 앉을 수 있을 것입니다. 적어도 수십 석, 많으면 수백 수천석이 넘는 좌석 중 내 자리를 어떻게 해야 찾을 수 있을까요? 하나씩 비교해본다면 공연이 끝날 때까지도 내 자리를 찾지 못할 확률이 훨씬 높습니다. 그런데 우리는 그러지 않지요? 이미 자연스럽게 규칙을 찾아 활용하고 있다는 것이지요. 이제 그걸 직접 표현해보는 겁니다. 가로, 세로, 대각선 관계없이 자유롭게 규칙을 찾아봅시다. 어떤 규칙들이 있나요? 우리가 보는 시점으로는 왼쪽으로 갈수록 좌석에 표시된 숫자가 1씩 커지고 있는걸 찾았나요? 그런데 같은 숫자가 뒤로 가면 계속 보이지요? 이런 경우는 어떻게 할까요? 상황에 따라 다르지만 몇 번째 줄인지를 표시하기 위해 또 다른 규칙을 사용하고 있을 것입니다. 보통 알파벳을 사용해서 가장 앞줄부터 A, B, C... 이렇게 표시하기도 하고, 구역별로 나누어서 표시하기도 하지요. 이런식으로 우리는 규칙을 확인하고 이를 말로 표현할 수 있습니다. 이 외에도 여러 도형들의 관계에서, 계산식의 상황에서 규칙을 찾을 수 있지요.
이번 단원에서는 이처럼 실생활의 다양한 상황에서, 수들의 배열에서, 도형들의 나열에서, 계산식들의 순서에서 규칙을 찾아내고 표현하는 법에 대해서 알아봅니다. 근본적으로 말하자면 2학년 때 찾았던 규칙들에서 크게 변하지 않은 내용입니다. 일상 생활 속에서 규칙을 찾는다는 점에서는 더욱 그렇지요. 하지만 일상 생활에서 벗어나 계산식의 배열에서 규칙을 찾기 시작하면서 조금씩 수학적으로 표현하기 시작하게 됩니다. 그럼 수학적으로 표현한다는 게 어떤 의미일까요? 이것은 5학년에서 본격적으로 다루게 됩니다. 이번엔 4학년 과정보다는 5학년 과정에 조금 더 집중할 필요가 있으니, 조금만 더 할애해서 살펴보도록 합시다.
5-1-3. 규칙과 대응
대응 관계를 나타낸 표에서 규칙을 찾아 설명하기
두 양 사이의 대응 관계를 식으로 나타내기
이번 영역에서 처음 했던 이야기로 다시 돌아가 봅시다. 외국에서 화장실을 찾는 것이 그렇게 어려운 일이 아니라는 이야기였지요? 그 나라의 언어를 모르더라도 화장실을 상징하는 기호인 픽토그램을 누구든지 쉽게 알아볼 수 있어서라고 했었습니다. 또 하나의 언어 역할을 할 수 있다고 생각할 수도 있겠네요. 여기서 한 발짝 더 나아가면 수학 또한 이와 마찬가지로 하나의 언어와도 같은 역할로 서로 의사소통을 할 때 사용될 수가 있습니다. 어떻게 그게 되냐구요? 간단한 걸 생각해보면 바로 이해가 될 걸요? 2+4는 얼마인가요? 다들 2+4=6이라고 쉽게 대답할 수 있지요. 다른 나라 사람에게 2+4만 보여준다면 어떻게 대답할까요? 답하는 언어는 다를 수 있지만 다들 6이라고 써서 표현할 것입니다. 이처럼 수학 또한 우리가 의사소통을 할 수 있는 하나의 말과도 같다는 것이지요. 이를 활용하여 우리가 찾아낸 규칙들을 표현한다면 한국어나 영어 등과 같은 언어에 구애받지 않고 우리의 생각을 전달할 수 있게 됩니다.
하지만 지금까지 여러분이 찾아낸 규칙은 어떻게 설명해왔나요? “아래로 갈수록 10씩 커진다”, “도형이 두 개씩 늘어난다” 와 같이 우리가 평소에 쓰는 언어를 활용하여 설명해왔지요. 이 또한 당연히 규칙을 잘 찾아내 정리한 것이지만, 이제는 이걸 수학적인 용어를 사용하여 정리할 시간이 온 것입니다. 전 세계 누구와 소통해도 같은 의미로 이해하고 표현할 수 있도록요. 그걸 위해 이번 단원에서 새로 도입하는 것이 1,2,3과 같은 숫자를 넘어선 기호입니다. □, ◯ 정도로 표현해 볼까요? 이게 무슨 의미냐구요? 몰라요. 장난치지 말고 알려달라구요? 모른다니까요. 말 그대로 ‘모르는 수’를 표시할 때 쓰려고 합니다. 조금 짧게 표현하면 ‘알지 못하는 수’ 이니까 ‘미지수’ 라고 할 수 있겠네요. 어떤 정해지지 않은 두 숫자 사이의 관계를 표현할 때 이런 기호들을 숫자 대신 사용하면 아까전처럼 길게 표현하지 않아도 짧은 식으로 나타낼 수 있습니다. “아래로 갈수록 10씩 커진다” 대신 “□+10=◯” 이라고 표현하는 것이지요.
이렇게 5학년에 나아가서는 두 수의 관계에서 규칙을 찾고, 이를 숫자 뿐만이 아니라 기호까지 활용하여 하나의 식으로 만드는 방법을 알아보고 직접 만들어보게 됩니다. 수학이 또 하나의 언어와도 같다는 말이 무슨 의미인지 이제 이해가 좀 가나요? 말로 설명했던 그 길고 긴 규칙들이 한 줄의 식으로 요약되고, 이 식을 전 세계의 누구나 이해할 수 있다는 것이 수학이 가지는 또 하나의 매력이지요. 이러한 미지수는 이제 규칙을 찾아 표현할 때 외에도 수학에서 무궁무진할 정도로 다양한 상황에 활용될 수 있습니다. 그럼 규칙을 찾는 것 외에도 수학이 활용될 수 있는 상황들은 또 무엇이 있을까요? 여러 자료들을 다른 형식으로 나타내어 표현하는 것 또한 수학의 영역에 포함되는데요, 이를 바탕으로 같은 자료를 더 알아보고 이해하기 쉽도록 나타낼 수 있습니다. 흔히 ‘그래프’ 라고 부르는 것들이 여기에 포함되는데, 다음 단원부터는 이에 대해 조금 더 자세히 알아보도록 합시다.
