4-2-6. 다각형
5-2-5. 직육면체 / 6-1-2. 각기둥과 각뿔
다각형 알아보기
다각형의 이름 알아보기
정다각형과 이름 알아보기
대각선 알아보기
모양 만들기
모양 채우기
이제 이번 단원인 다각형에 대해 생각해볼 차례가 되었습니다. 다각형이란 무슨 의미일까요? 단어 자체의 뜻을 생각해보면 각이 많은 도형이라는 뜻이 됩니다. 그리고 그 말 그대로이지요. 그렇다면 각은 어떤 모양을 가리키는 것이었나요? 한 점과 두 반직선으로 이루어진 도형이었습니다. 이 말 그대로 가져와 다각형에 대해 생각하자면, 여러 개의 각으로 이루어졌기 때문에 여러 선분들로 둘러싸인 도형이라고 말할 수 있겠습니다. 말로 설명하니 뭔가 복잡한 느낌이 들 수도 있겠지만 사실 우리가 평소에 자연스럽게 접하는 삼각형과 사각형 모두 선분들로만 둘러싸여 있지요? 선분 세 개로 둘러싸인 도형은 꼭지점도 세 개, 각도 세 개가 되어 삼각형이라고 불렀고, 선분 네 개로 둘러싸인 도형은 꼭지점도 네 개, 각도 네 개가 되어 사각형이라고 불렀습니다. 세 개나 네 개나 모두 여러개라고 말할 수 있겠지요? 그래서 삼각형과 사각형도 다각형 중 하나입니다. 당연히 여기서 꼭지점이나 각, 변이 하나씩 더 늘어났을 때의 오각형, 육각형, 더 추가되어 십각형, 이십각형 등도 다각형이라고 할 수 있습니다. 이제는 더 넓은 평면도형들에 대해 생각해볼 수가 있게 된 것이지요.
이렇게 수도 셀 수 없을 정도로 많은 평면도형들의 공통점을 바탕으로 다각형이라고 이름을 붙였습니다. 그런데 우리가 삼각형과 사각형을 자세히 알아볼 때 여러 특징들을 기준으로 하여 여러 종류의 삼각형과 사각형들을 정리해 보았지요? 하지만 모든 다각형들을 그렇게 분류하다가는 아마 우리는 수학과 관련된 다른 주제들을 다룰 시간이 전혀 없게 될 것입니다. 그래서 이번 단원에서는 세세한 분류보다는 모든 종류의 다각형에 적용할 수 있는 하나의 특징적인 분류만 하나 다뤄보려고 합니다.
삼각형과 사각형으로 다시 돌아가 봅시다. 굉장히 많은 종류의 삼각형과 사각형들에 대해 정리해 보았는데요, 그 중에서 비슷한 의미를 가진 종류가 하나씩 있었습니다. 가장 한 눈에 구분하기 쉬운 특징이라 4학년이 되기도 전에 이미 공부했던 도형인데요, 정삼각형과 정사각형이 바로 그것입니다. 둘 다 어떤 특징을 가지고 있나요? 그렇습니다, 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 도형이었지요? 정삼각형은 세 변의 길이와 세 각의 크기가 같은 삼각형, 정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같은 사각형이었습니다. 삼각형과 사각형이라는 기본적인 도형의 차이 외에 특징적인 도형을 정의하기 위한 내용은 같았던 것이지요. 그렇다면 오각형, 육각형, 십각형 등 다른 다각형에도 같은 방식으로 적용할 수 있지 않을까요? 그것이 이번 단원에서 다룰 유일한 특징적인 도형입니다. 이름도 쉽게 정할 수 있겠지요? ‘정다각형’ 입니다. 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 다각형이지요. 여러 다각형들에는 서로 다른 특징을 기준으로 분류하는 수많은 도형들이 있을 수 있겠지만, 이러한 정다각형이 가장 먼저 우리가 분류할 수 있는 도형이 될 것입니다. 이제는 도형에 대해 더 넓은 시야로 바라볼 때라는 뜻이기도 합니다.
이렇게 삼각형과 사각형에 이어 더 넓은 범위로 나아가 다각형에 대해 살펴보았습니다. 교과서 상에서는 다각형에 대해서 조금 더 살펴보는 내용들도 존재합니다. 하지만 우리는 필요한 내용은 이전 단원에서 도형들에 대해 다룰 때 이미 활용했던 적이 있어 이번엔 굳이 추가로 다루지 않으려 합니다. 여러분들이 이번 단원을 통해 기억해줬으면 하는 것은 삼각형에서 사각형, 사각형에서 다각형으로 나아가며 배움으로 알고 있는 내용들을 조금씩 확장하는 것입니다. 다각형에서 그치는 것이 아니라 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등 이전에 배운 도형들의 공통점을 바탕으로 새롭게 정의할 수 있는 것이, 또한 정삼각형, 정사각형에서 공통점을 찾아내 정다각형으로 더 넓게 사고할 수 있도록 하는 것이 이번 단원의 목적이었습니다. 이제 도형들에 대해 좀 다른 눈으로 볼 수 있을 것 같나요? 단순히 한 단원에서 그치지 않고 여러 단원, 여러 학년을 거쳐 넓은 눈으로 바라볼 수 있었으면 좋겠습니다.
이번 단원으로써 저학년부터 하나씩 살펴본 평면도형에 대해 마무리가 되었습니다. 그렇다면 앞으로는 도형에 대해 공부할 것이 없을까요? 당연히 아니겠지요? 앞으로는 ‘평면’도형을 벗어나 새로운 차원에서의 도형들에 대해 다루게 됩니다. 납작한 평면이 아니라 실제로 존재하는, 가로와 세로, 깊이가 있는 상태를 우리는 흔히 ‘입체’라고 부릅니다. 이렇게 납작한 도형만이 아니라 이제는 여러 방향에서 볼 수 있는 입체도형에 대해 앞으로 공부해나갈 예정입니다. 5학년부터 천천히 배워볼 예정이니 이번에는 어떤 모양들이 있을지에 대해서만 간단히 살펴보도록 합시다.
5-2-5. 직육면체
직육면체와 정육면체 알아보기
‘입체’라고 하면 어떤 모양이 가장 먼저 떠오르나요? 우리 주변에 있는 모든 물체는 사실상 입체라고 말할 수 있습니다. 정말 얇아보이는 종이도 여러장을 겹치면 두꺼워진다는 것은 종이 한 장의 두께도 매우 작지만 0이 아니라 존재한다는 뜻이잖아요. 주변의 많은 물체들 중 가장 간단한 형태를 하나 고른다면 어떤 모양일까요? 몇 가지 모양이 떠오르는 사람들이 있겠지만 많은 사람들이 공통적으로 꼽는 모양은 아마 상자 모양일 것입니다. 주변에서 찾을 수 있는 물건 중 하나를 꼽자면 주사위라고도 할 수 있겠지요.
그렇다면 이러한 상자 모양의 입체도형의 이름은 무엇이라고 부르면 좋을까요? 평면도형에서는 몇 개의 선분으로 둘러싸여있는가를 기준으로 이름을 정했습니다. 다각형에서는 선분의 갯수와 꼭지점, 각의 갯수가 모두 동일해서 어떤 것을 세어도 헷갈릴 일이 없었지요. 그런데 이번의 상자 모양은 어떤가요? 꼭지점은 8개, 선분은 12개… 갯수가 다르니 조금 더 명확하게 기준을 정할 필요가 있습니다. 지금까지 평면도형에서 우리는 점과 선을 바탕으로 이야기를 나누었습니다. 하나의 위치만 표시한 것이 점이었고, 두 개의 점을 연결하여 수많은 점들이 이어진 것을 선이라고 말했지요. 이러한 선을 옆으로 쭉 움직였을 때 선이 움직인 자취를 연결한 것이 면입니다. ‘평면’ 할 때의 그 면이요. 그렇다면 방금 전의 상자 모양으로 돌아가서, 면이 몇 개 있는지 확인해 볼까요? 중복되지 않도록 여러 방향에서 보며 하나씩 세어보면 총 몇 개가 나오나요? 주사위의 눈이 몇 개까지 있는지를 생각하면 직접 보지 않고도 머릿속으로 어렵지 않게 찾을 수 있겠지요. 6개인것을 확인했나요? 크기가 다른 어떤 상자 모양이라도 면의 갯수는 6개가 나오게 되는데요, 이렇게 면이 6개인 모양이라는 뜻에서 ‘육면체’라고 부릅니다. 그런데 각각의 면의 모양이 익숙하지요? 평면도형에서 배운 직사각형의 모양과 같습니다. 그래서 직사각형 모양의 면 6개로 둘러싸였다고 해서 이를 ‘직육면체’ 라고 하는 것입니다. 그럼 정사각형 모양의 면이었다면 어떨까요? 여러분이 쉽게 예상할 수 있듯이 ‘정육면체’ 라고 부르고 있습니다.
이렇게 가장 기본적이고 쉽게 주변에서 볼 수 있는 입체도형을 간단히 살펴보았는데요, 그럼 여기서 조금 더 복잡한 모양으로 나아가 보도록 합시다.
6-1-2. 각기둥과 각뿔
각기둥과 각뿔 알아보기
앞서 직육면체와 정육면체에 대해 간단히 살펴보았는데요, 사실 이러한 모양을 봤을 때 일상적으로 더 자주 쓰는 단어가 있지요? 생각이 잘 나지 않는다면 이러한 도형을 위아래로 길게 더 늘려보면 됩니다. 무엇과 닮았나요? 그렇습니다, 기둥이지요. 그런데 앞에서 살펴본 직육면체와 정육면체는 우리가 흔히 기둥 하면 떠오르는 둥근 모양이 아니라 네모나게 각진 모양이지요? 그래서 이를 ‘각기둥’ 이라고 부릅니다. 조금 더 자세히 말하면 각기둥 중에서도 네모난 모양이기 때문에 사각기둥이라 부를 수 있겠네요. 그렇다면 아래의 면이 삼각형이라면 뭐라고 부르면 좋을까요? 삼각기둥이라는 이름이 바로 떠오르지요? 이런식으로 조금 더 넓은 범위의 입체도형인 각기둥에 대해 정리해볼 수 있습니다. 과학 시간에 프리즘을 본 사람이 있으면 이해가 빠르겠네요. 낯선 사람은 아래의 사진을 보고 모양을 확인하면 됩니다.
이렇게 살펴본 각기둥의 경우에는 아래와 위의 모습이 같은 모양을 하고 있습니다. 그런데 다르다면 어떻게 될까요? 아래의 면은 그대로지만 위의 면이 따로 없이 한 점으로 모여있는 도형을 생각해 봅시다. 어떤 모양을 닮았나요? 동물의 뿔처럼 생기지 않았나요? 이렇게 다각형인 아래의 면을 가진 뿔 모양의 입체도형을 ‘각뿔’ 이라고 합니다. 우리가 아는 것 중에서는 이집트의 피라미드가 이러한 각뿔 모양이지요. 실제 피라미드가 아래 사진처럼 분리되어 있진 않지만, 각뿔 모양이 어떤지 이해하기 위해선 더 좋을 것 같아 이 사진을 가져왔습니다.
이처럼 입체의 세계로 더 넓게 보니 훨씬 많은 새로운 모양들이 나타나지요? 이러한 다양한 모양들이 있다는 것에 대해 생각하면서 앞으로 또다른 도형들에 대해 공부했으면 좋겠습니다. 이걸로 길었던 도형에 대한 정리를 마무리짓도록 하겠습니다.
