4-2-4. 사각형

선분의 관계를 바탕으로 한 다양한 사각형 분류 / 4-2-6. 다각형

수직과 수선을 알고 수선 긋기

평행과 평행선을 알고 평행선 긋기

평행선 사이의 거리 알아보기

사다리꼴 알아보기

평행사변형 알아보기

마름모 알아보기

여러 가지 사각형 알아보기

이제 본격적인 사각형의 시작입니다. 앞서 미리 말했던 것처럼 사각형은 삼각형과는 달리 변이 네 개이기 때문에 고려해야 할 점이 더 있습니다. 어느 한 변을 기준으로 삼았을 때, 다른 세 개의 변 중에 두 개는 기준인 변과 이웃하지만 나머지 한 변은 마주보는 관계가 된다는 것이지요. 선분으로 봤을 때는 이렇게 마주보는 두 변은 만나지 않습니다. 하지만 이 선분의 양 끝을 무한정 늘려 직선으로 만든다면 어떻게 될까요?

두 개의 직선이 어떤 관계를 가질 수 있는지 생각해 봅시다. 무슨 말인지 잘 이해가 안 간다면 직접 선을 두 개 그려보세요. 여러번 그려볼수록 좋습니다. 계속해서 그리다보면 두 선 사이에 어떤 관계가 가능한지 감이 잡힐 거에요. 어렵게 생각할 필요 없이 보이는 그대로 나타내면 됩니다. 두 직선은 어떤 관계를 가질 수 있나요? 네, 굉장히 간단합니다. 만나거나, 만나지 않거나. 두 가지 뿐입니다.

이 중 만나는 경우를 먼저 봅시다. 두 직선이 만나면 무엇이 생기나요? 네, 겹치는 점이 하나 생기게 됩니다. 점만 생겼나요? 우리가 사각형으로 들어오기 전에 정리한 내용을 기억한다면 다른 것도 찾을 수가 있을 거에요. 바로 각도이지요. 두 직선이 만나게 되면 서로 겹치는 점을 중심으로 하여 각도가 만들어집니다. 어떤 직선들이 만나냐에 따라 다양한 각도가 나올 수 있는데요, 이 중에서 가장 특별한 각도는 무엇일까요? 다들 알다시피 직각이라고 할 수 있겠지요. 그렇기 때문에 두 직선이 만나 직각을 만들 때는 조금 더 특별하게 이름을 붙여줍니다. 이렇게 만난 두 직선 사이의 관계를 ‘수직’ 이라고 부르고, 수직 관계의 두 직선을 서로에 대한 ‘수선’ 이라고 말합니다. 여기서도 직각은 특별하네요.

이렇게 두 직선이 만나는 경우를 보았으니 만나지 않는 경우도 정리해야겠지요? 그런데 여기서 잠깐, 여러분이 그린 두 직선이 정말 만나지 않는 게 맞나요? 우리는 지금 두 ‘직선’의 관계를 찾고 있는 거잖아요. ‘선분’ 이 아닙니다. 앞서 정리했듯 직선은 길이가 정해져 있지 않고 양쪽으로 끝없이 뻗어있는 선입니다. 여러분이 그린 만나지 않는 두 선이 정말 직선이 맞나요? 아래의 상황을 보며 여러분이 그린 선들과 비교해 봅시다.

위의 두 선도 만나지 않는 것 같아 보였지만 양 끝으로 길게 늘여 직선처럼 표현하니 만나게 되었지요? 그럼 이 두 선도 서로 만나는 관계입니다. 우리는 선분 사이의 관계가 아니라 직선의 관계에 대해 보고 있으니까요. 그렇다면 양 끝으로 아무리 길게 뻗어도 절대 만나지 않는 선들이 있을까요? 네, 있습니다. 그것도 우리 주변에서 굉장히 쉽게 찾을 수가 있어요. 먼저 도로를 생각해 봅시다. 도로의 양 쪽 끝을 직선으로 보았을 때, 멀리 가다보면 두 선이 서로 만나게 되나요? 아무리 멀리가도 두 선 사이는 차 한대가 지나갈 수 있을 정도의 거리가 계속 유지가 되지요? 이 외에도 책, 문, 칠판, 책상 등등 셀 수도 없이 많은 예시를 들 수가 있습니다. 위의 그림처럼요. 이렇게 두 직선이 있을 때 만나지 않는 경우도 생기는데, 이러한 특별한 관계를 우리는 ‘평행’ 이라고 부르고, 이러한 두 직선을 ‘평행선’ 이라고 합니다. 이렇게 두 직선이 있을 때는 서로 만나거나, 만나지 않는 두 가지 경우가 존재하는데, 이 중 만나지 않는 경우는 굉장히 특별한 상황으로, 이를 ‘평행’하다고 말합니다.

왜 뜬금없이 두 직선 사이의 관계에 대한 이야기냐구요? 이제 이걸 사각형에서 찾아볼 수 있기 때문이지요. 앞서 말했듯 사각형은 삼각형과는 달리 마주보는 두 변이라는 새로운 관계를 갖고 있습니다. 그런데 이 두 변을 양 끝으로 끝없이 늘려 직선이 되었다고 생각해 봅시다. 그렇다면 이 두 직선 사이의 관계도 무엇이 있을까요? 마찬가지로 만나거나, 만나지 않거나 두 가지겠지요? 이 중 만나지 않는 경우, 즉 ‘평행’인 경우가 너무 특별한 상황이라 이를 바탕으로 여러 가지 사각형들을 분류하여 이름을 붙이고 특징을 살펴보고 있는 것입니다. 드디어 하나씩 자세히 살펴볼 차례이니 차근차근 생각해 보도록 합시다.

첫 번째로 우리가 배운 평행 관계의 변들이 있는 사각형부터 생각해 봅시다. 앞서 정리한 내용과 같이, 사각형에 존재하는 마주보는 두 변의 양 끝을 길게 늘렸을 때 만나지 않는 경우를 평행이라고 합니다. 그럼 어떤 모양의 사각형이 나올까요? 평행한 한 쌍의 변을 그린 후 나머지 두 변을 그어 다양한 모양의 사각형을 만들어 봅시다.

한 쌍의 변이 평행한 사각형의 모양이 굉장히 다양하지요? 이 중 가장 왼쪽의 사각형을 봅시다. 여러분 중 혹시 사다리를 직접 사용해본 적 있는 사람이 있나요? 사다리는 높은 곳을 올라갈 때 사용하는 도구인데, 한 칸씩 발로 밟아 위로 올라가지요. 그런데 이렇게 발로 밟는 부분이 기울어져 있으면 어떻게 될까요? 불안정해서 미끄러지거나 넘어질 수 있겠지요? 그래서 사다리의 한 칸 한 칸을 보면 지면과 나란한 선으로 되어있는 것을 볼 수 있습니다. 그런데 잠깐, 지면과 나란하다구요? 그렇다면 양 끝을 끝없이 길게 해도 지면과 닿을 수 없겠지요? 이런 경우를 우리가 앞에서 정리한 것처럼 ‘평행’하다고 할 수 있지요. 이렇게 사다리 한 칸에서 볼 수 있는 사각형의 모양은 한 쌍의 변이 평행한 사각형인데요, 여기서 이름을 따서 이렇게 평행한 변의 쌍이 존재하는 사각형을 ‘사다리꼴’ 이라고 합니다. 사다리 모양이라는 뜻이지요.

붉게 표시한 것 외에도 수많은 사다리꼴들이 숨어 있습니다. 한번 찾아보세요!

이렇게 평행한 변의 쌍이 존재하는 사각형을 사다리꼴이라고 했는데요, 그런데 다시 사각형을 봅시다. 마주하는 변의 쌍이 하나밖에 없나요? 사각형을 하나 그린 후 각 변마다 번호를 한 번 붙여봅시다. 몇 번과 몇 번 변이 마주보고 있나요? 그런 쌍은 몇 개가 있지요? 직접 그리고 번호를 붙여 확인한 후 아래의 그림과 비교해봅시다. 그림에서는 마주보는 변은 같은 색상으로 표시했습니다.

다들 직접 그린 사각형과 비슷한가요? 이렇게 사각형에서는 마주보는 변의 쌍이 두 쌍 존재합니다. 앞서 사다리꼴에 대해 정리할 때는 ‘평행한 변의 쌍이 존재하는 사각형’ 이라고 했지요. 존재한다는 것은 몇 개가 있어야 되나요? 1개? 2개? 둘 다 되지요? 한 쌍만 평행해도 존재하는 것이고, 두 쌍 모두 평행해도 존재한다고 말할 수 있습니다. 그런데 이렇게 하니 조금 다른 모양까지 모두 포함이 되어서, 두 쌍의 마주보는 변이 모두 평행한 경우는 또다른 이름을 붙여보았습니다. 네 변이 모두 평행한 모양이라는 의미에서 ‘평행사변형’ 이라고요. 이름만 들어도 어떤 사각형인지 느낌이 조금 오지요? 수학에선 일부러 어렵게 이름을 정하는게 아니라 오히려 모두가 쉽게 이해하고 기억할 수 있도록 하기 위해 다들 노력합니다. 여러분도 왜 그런 이름이 붙었는지를 조금 더 생각해본다면 오히려 더 쉽게 기억할 수 있을 거에요. 이렇게 평행하는 변의 쌍을 기준으로 하여 두 가지 종류의 사각형을 새롭게 분류할 수 있었습니다. 사다리꼴과 평행사변형이 그것이지요. 그렇다면 여기서 특징을 조금 더 살펴보도록 합시다.

사다리꼴을 만족하는 다양한 사각형 모양을 그려보도록 합시다. 생각하기가 조금 어렵나요? 그렇다면 평행한 두 직선을 그린 후 그 사이를 여러 선분으로 연결해보면 다양한 모양을 발견할 수 있을 거에요. 여러가지 모양을 완성했다면 여러 사다리꼴이 가진 공통적인 특징을 한 번 찾아볼까요? 어떤 점이 있나요? 우리가 알고 있는 변의 길이나 각의 크기의 입장에서 살펴보면 찾기가 더 편할 수 있을 거에요. 이제 찾았나요? 아직도 잘 모르겠다구요? 걱정하지 않아도 됩니다. 그게 정답이니까요. 다양한 모양의 사다리꼴이 공통적으로 가지는 특징은 따로 없습니다. 처음 우리가 이름을 붙여준 이유인 한 쌍의 변이 평행하다는 것 말고는요. 본격적인 내용은 그 다음부터 시작입니다.

사각형이 가진 두 쌍의 마주보는 변이 모두 평행한 사각형을 평행사변형이라고 부른다고 함께 정리했지요? 아까 전 다룬 사다리꼴보다 조금 더 특별한 경우를 말하는데요, 이러한 조건을 만족하는 다양한 모양의 평행사변형들이 가지는 공통점은 무엇이 있을까요? 여러 모양을 그려 본 후 우리가 지금까지 사용하고 있는 조건 중 하나인 변의 길이와 각의 크기를 중심으로 찾아봅시다.

먼저 변의 길이를 살펴볼까요? 여러 평행사변형들의 네 변의 길이를 모두 측정해서 기록해 봅시다. 공통적인 특징을 발견했나요? 눈으로만 봤을때도 어느정도 예상이 될 것 같은데요, 평행사변형이 되기 위한 조건인 마주보는 두 변들의 길이가 각각 같다는 것이지요. 그렇다면 각의 크기는 어떨까요? 마찬가지로 측정해보면 마주보는 두 각의 크기가 같다는 것도 쉽게 찾을 수 있지요? 이처럼 평행사변형은 처음 이름을 붙일 때는 마주보는 두 쌍의 변이 평행이라는 조건만 있었지만, 그러한 조건을 만족한 사각형이 가지는 공통점을 찾아보니 변의 길이와 각의 크기에 대한 특징도 가지고 있었습니다. 우리가 앞서 삼각형을 분류할 때와는 순서는 다르지만 결국 특징으로 변의 길이와 각의 크기에 대해 이야기할 수 있는 것이지요. 이렇게 평행사변형의 특징에 대해 정리할 수 있었는데요, 여기서 조금 더 나아가봅시다. 평행사변형은 마주보는 두 쌍의 변의 길이가 같았습니다. 아래의 그림에서 같은 색깔로 표현한 변들이지요. 그런데 만약 아래와 같은 평행사변형에서 빨간색 변과 파란색 변의 길이도 같다면 어떨까요? 조금 더 특별한 상황이 되겠지요? 이런 경우는 뭔가 새로운 이름을 붙여줘도 괜찮지 않을까요?

빨간색 변과 파란색 변의 길이가 같다면 어떻게 될까요? 빨간색 변이 두 개이고 파란색 변도 두 개이니 합치면 모두 네 변의 길이가 모두 같아지겠지요? 이런 경우는 새롭게 ‘마름모’라고 부르기로 했습니다. 뭔가 낯선 이름이지요? 이번 사각형 같은 경우에는 영어 이름이 오히려 여러분에게 더 친숙할 것 같습니다. 영어 이름이 다이아몬드거든요. 여러분이 흔히 생각하는 그 다이아몬드가 맞습니다. 이름을 들으니 모양이 좀 비슷해 보이나요? 그렇다면 마름모라는 이름은 어디서 왔는가 궁금한 학생도 있을텐데요, ‘마름’이라는 식물의 잎 모양과 비슷하게 생겨서 이름을 붙였다고 합니다. 우리에겐 좀 낯선 식물이지만 아마 예전에는 굉장히 흔하게 볼 수 있었던 식물이 아닐까 싶네요.

이렇게 새로운 사각형인 마름모에 대해서도 분류할 수 있었습니다. 그럼 마름모는 어떤 특징을 가지고 있을까요? 기본적으로 평행사변형 중에서 두 쌍의 변의 길이가 모두 같은 사각형을 새로 마름모라는 이름으로 부른 것이니 평행사변형의 특징이 모두 마름모에서도 나타납니다. 마주보는 두 각의 크기가 같은 것도 마찬가지이지요. 그렇다면 그것 뿐일까요? 그 뿐이라면 새롭게 마름모라고 이름을 붙여줄 이유가 되긴 힘들수도 있을 것 같네요. 여기서 사각형이라서 생기는 또 하나의 상황을 눈여겨볼 필요가 있습니다. 삼각형에선 없지만 사각형이라 생기는 것이지요. 바로 대각선입니다. 대각선이 무엇인가요? 흔히 생각하는 대각선은 가로나 세로가 아닌 비스듬히 그은 선일텐데요, 수학, 그 중에서도 도형에 대해 말할 때 대각선은 단순히 비스듬한 선이 아니라 도형의 이웃하지 않은 두 꼭지점을 이은 선분을 말합니다. 여기서 ‘이웃하지 않은’ 이라는 말에 주목할 필요가 있는데요, 삼각형에서 세 꼭지점은 항상 이웃하고 있기 때문에 대각선이 존재할 수가 없는 것입니다. 이전에 삼각형의 선분에 대해 이야기했을 때와 마찬가지지요. 하지만 사각형에선 마주보는 변의 관계가 존재할 수 있었던 것처럼 꼭지점 또한 이웃하지 않은 꼭지점 관계가 새로 생겼고, 그렇기 때문에 대각선을 그을 수 있게 된 것입니다. 말로만으로 이해가 잘 되지 않는다면 아래 그림을 보면서 생각해 봅시다.

이제 수학에서 말하는 대각선이 어떤 선인지 느낌이 오나요? 이처럼 사각형부터는 도형 내부의 대각선을 그을 수가 있습니다. 그런데 왜 갑자기 특징을 찾다가 대각선에 대해 말하는지는 지금쯤이면 눈치챌 수 있겠지요? 대각선들이 어떤 관계를 갖고 있는 것 같은지 위의 마름모를 다시 한 번 집중해서 살펴보도록 합시다. 여기서는 우리가 지금까지 새롭게 정리했던 내용들을 적용해볼 수 있습니다. 먼저, 두 선이 있을 때는 어떤 관계가 있을 수 있었지요? 만나거나, 만나지 않거나 두 가지 뿐이었습니다. 그리고 도형에서 특징을 찾을 때 주로 비교했던 것은 변의 길이와 각의 크기였지요. 그럼 이 두 대각선에서는 어떠한 특징이 나타나나요? 먼저, 두 대각선은 서로 만납니다. 그런데 조금 특이하게 만나지요? 눈으로만 봐도 서로 90º로 만나는 수직 관계라는 것을 확인할 수 있습니다. 그렇다면 변의 길이는 어떨까요? 서로가 서로를 나눈 네 부분의 길이를 각각 측정해 봅시다. 둘 다 똑같이 두 개로 나누어졌는데, 이러한 경우를 간단히 이등분되었다고 말합니다. 이처럼 마름모에서는 평행사변형의 특징들과 함께 대각선이 서로를 수직으로 이등분한다는 특징까지 생각해볼 수가 있습니다.

그럼 지금까지 정리한 내용을 바탕으로 우리가 이미 알고 있는 정사각형과 직사각형에 대해 다시 정리해 볼까요? 먼저 직사각형부터 살펴봅시다. 어떤 사각형을 직사각형이라고 할 수 있나요? 직사각형은 네 각의 크기를 통해 이야기할 수 있습니다. ‘네 각의 크기가 모두 같은 사각형’을 직사각형이라고 부르지요. 여기서 변의 길이 조건까지 만족시켜서 ‘네 각의 크기가 모두 같고 네 변의 길이도 모두 같은 사각형’이 된다면 우린 이걸 정사각형이라고 불렀습니다. 이미 우리가 알고 있는 의미는 이런데, 이번 단원에서 사각형을 분류하는 데 사용했던 마주보는 변끼리의 관계와 사각형에서 새로 그어본 대각선을 활용해서 추가적인 특징을 정리해 보려고 합니다.

직사각형의 경우부터 살펴봅시다. 마주보는 두 변을 골랐을 때 어떤 관계에 있나요? 두 변이 평행인 것은 눈으로 봐도 쉽게 알 수가 있습니다. 마주보는 변 두 쌍이 모두 평행하기 때문에 평행사변형이라고 부를 수도 있겠네요. 대각선을 그어보면 어떨까요? 대각선이 만나는 관계가 수직은 아니지만 서로를 절반으로 나누는 것은 동일하네요. 수직이등분이 아닌 그냥 이등분이라고 말할 수 있겠습니다.

정사각형은 어떤가요? 마찬가지로 마주보는 변 두 쌍이 모두 평행하고, 대각선을 그었을 때 서로를 절반으로 나누게 됩니다. 그런데 그냥 이등분이 아닌 것 같지요? 눈으로 봐도 어렴풋이 보이듯 정사각형에서 그은 두 대각선은 서로 수직 관계입니다. 마름모와 같지요? 왜 그런지는 마름모가 어떤 사각형에 붙은 이름인지 생각해보면 쉽게 알 수 있습니다. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 우리가 이름 붙였는데, 정사각형도 네 변의 길이가 같기 때문이지요. 이처럼 우리가 이전에 배워서 알고있다고 생각했던 도형들도 새롭게 배운 방법들을 통해 조금 더 깊게 살펴볼 수 있었습니다.

이처럼 지난 단원 삼각형에 이어 사각형까지 자세히 살펴보았습니다. 변의 길이와 각의 크기만으로 간단히 분류했던 삼각형보다 훨씬 더 생각할 것이 많았지요? 변 하나가 늘어난 것 뿐이지만 이로 인해 굉장히 많은 관계가 생겨났고, 그 때문에 더 많이 생각해 볼 거리가 있었습니다. 이처럼 다양한 사각형의 종류와 그 특징들은 이번 단원에서 끝나는 것이 아니라 앞으로도 계속해서 여러분을 따라다닐테니 이번 기회에 정확히 정리하고 갔으면 좋겠습니다.

4-2-6. 다각형

다각형과 정다각형 알아보기

대각선 알아보기

여러 가지 모양 만들기

이렇게 삼각형과 사각형들에 대해 조금 더 자세히 알아보았는데요, 그럼 다음 차례로는 어떤 도형에 대해 알아볼 것 같나요? 오각형? 그다음에는 육각형? 물론 그런 다양한 평면도형들이 끝도 없이 있지만, 삼각형에서 사각형으로 갔을 때처럼 큰 변화가 나타나지는 않습니다. 그렇기 때문에 여러 평면도형들을 하나씩 별개로 다루기보다는 전체적인 평면도형들에 대해 정리하며 또다른 차원의 도형들로 나아가게 될 텐데요, 그런 다양한 도형들을 하나의 이름으로 묶어서 정리하는 것이 다음 단원의 내용입니다. 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등등 많은 도형들의 공통점을 바탕으로 하나의 단어로 정의하고, 공통적으로 가질 수 있는 특징적인 상황 하나만 살펴보면서 평면도형을 마무리할 예정입니다. 바로 다음 차례로 살펴볼테니 지금은 이 정도로만 알아보고, 다음 단원에서 조금 더 깊게 생각해보도록 합시다.