4-2-2. 삼각형
4-2-4. 사각형 / 4-2-6. 다각형
변의 길이에 따라 삼각형 분류하기
이등변삼각형, 정삼각형 알아보기
이등변삼각형의 성질 알아보기
정삼각형의 성질 알아보기
각의 크기에 따라 삼각형 분류하기
예각삼각형, 둔각삼각형 알아보기
삼각형은 우리에게 너무나 익숙한 도형입니다. 그래서 이미 두 가지나 되는 특별한 삼각형을 다들 알고 있지요. 앞에서 각도와 함께 계속해서 살펴봤던 직각삼각형이 그 중 하나고, 나머지 하나는 반듯반듯하게 생긴 정삼각형입니다. 이번에 우리가 삼각형에 대해 더 자세히 살펴볼 때에도 이 두 삼각형부터 시작합니다. 앞서 직각삼각형에 대해서는 여러번 확인하고 생각할 여지도 많이 두었으니 이번엔 정삼각형에서 시작해 봅시다.
어떤 삼각형을 정삼각형이라고 하나요? 이 질문에 대해서는 다들 쉽게 답할 수 있을 것 같네요. ‘세 변의 길이가 모두 같은 삼각형’을 정삼각형이라고 우리는 배웠습니다. 그렇다면 정삼각형은 무엇을 기준으로 이름을 붙인 삼각형이라고 볼 수 있을까요? 그렇습니다, 변의 길이를 바탕으로 분류하여 이름을 붙인 것이지요. 삼각형이 가진 세 개의 변의 길이만 보았을 때, 세 변의 길이가 모두 같은 경우를 정삼각형이라고 부른 것입니다. 그럼 여기서 하나의 의문점을 가질 수 있어야 합니다. ‘세 변의 길이가 같은 삼각형이 정삼각형이라면, 두 변의 길이만 같다면 어떻게 될까?’ 라는 질문 말이지요. 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 확실히 특별한 경우지만, 두 변의 길이만 같은 경우 또한 여러 삼각형들을 그려보면 꽤나 비슷비슷한 모양들을 하게 되는것을 발견할 수가 있거든요. 이렇게 변의 길이를 바탕으로 삼각형을 분류하였을 때, 세 변의 길이가 같은 정삼각형 외에 두 변의 길이가 같은 삼각형을 추가로 분류해 볼 수가 있습니다. 이름 또한 두 변의 길이가 같다는 특징을 바탕으로 지어졌는데요, 그대로 한자로 옮겨서 ‘이등변 삼각형’이라고 부르기로 약속했습니다. ‘등’이라는 한자가 같다는 의미가 있어서 ‘길이가 같은 두 변’을 한자로 쓰면 ‘이등변’ 이라고 말할 수가 있거든요. 뜻을 알고 나니 어려운 이름이 아니지요? 이렇게 우리는 변의 길이를 기준으로 한 새로운 삼각형, 이등변 삼각형을 정리해 보았습니다. 이등변 삼각형에는 두 변의 길이가 같은 것 외에도 여러 성질을 더 가지고 있는데, 지금은 삼각형들을 분류하는 것에 집중하고 자세한 성질은 학교 수업시간에 차근차근 공부하면 좋겠습니다. 지금은 너무 세세한 것보단 큰 그림을 보는게 중요하거든요.
이렇게 삼각형을 조금 더 세세하게 분류할 때 쓸 기준 중 하나로 변의 길이를 활용해 보았습니다. 그렇다면 또 다른 기준으로는 어떤 것을 쓸 수 있을까요? 네 그렇습니다, 앞서 여러번 언급했듯이 각의 크기를 활용할 수가 있지요. 이런 각의 크기를 활용하여 이미 분류한 것이 직각삼각형입니다. 직각 한 개를 가진 삼각형이었지요. 여기서부터 시작해서 이제 다양한 각도를 기준으로 하여 삼각형들을 추가로 분류해보려고 합니다. 여기서 사용할 것은 각의 종류 세 가지와 삼각형 세 각의 합입니다. 앞서 ‘각도’ 단원을 돌아볼 때 정리한 것과 같이 각의 종류 세 가지는 예각/직각/둔각이 있고, 삼각형 세 각의 합은 항상 180º였습니다. 그래서 삼각형엔 직각이 한 개만 존재할 수 있어서 직각이 한 개인 삼각형을 직각삼각형이라고 불렀지요. 그럼 같은 방법으로 적용해보면 둔각은 삼각형에 최대 몇 개가 있을 수 있을까요? 직각인 90º보다도 더 큰 각이 둔각이니 둔각 또한 한 개밖에 있을 수가 없겠지요? 그래서 삼각형에서 둔각을 가지게 된다면 둔각이 한 개인 삼각형만 존재하고, 이를 이름붙인다면 자연스럽게 ‘둔각삼각형’ 이라고 부를 수 있겠지요. 직각삼각형과 같은 방법이니 바로 이해할 수 있을 거에요.
이렇게 직각삼각형과 둔각삼각형은 쉽게 정리했는데, 그렇다면 한 종류의 각이 더 남았지요? 그렇습니다, 바로 예각이지요. 예각도 마찬가지로 삼각형 세 각 중 한 개만 예각이라면 예각삼각형이라 부르면 될까요? 여기서 약간 우리는 더 생각해볼 필요가 있습니다. 다시 직각삼각형과 둔각삼각형으로 돌아가보는 것이지요. 두 경우 모두 직각과 둔각이 한 개씩만 있을 수 있다는 걸 확인했습니다. 그런데 삼각형은 각이 몇 개인가요? 세 각이 있어야 삼각형이지요? 그런데 직각삼각형도, 둔각삼각형도 직각이나 둔각은 한 개밖에 있을 수가 없습니다. 그럼 나머지 두 각은 어떤 각이 되나요? 세 각의 합이 180º가 되어야 하는데 한 각이 직각이면 나머지 두 각의 합이 90º가 되겠고, 한 각이 둔각이면 나머지 두 각의 합은 90º보다 더 작아지게 되겠지요. 그럼 나머지 두 각은 모두 예각이 되는 것입니다. 직각삼각형과 둔각삼각형 모두 직각이나 둔각은 한 개밖에 없고 나머지 두 각은 예각이었던 셈이지요. 그렇다면 어떤 삼각형이 예각을 두 개나 가지고 있어도 나머지 한 각이 직각이거나 둔각일 수가 있다는 이야기지요? 그럼 예각삼각형이라고 이름을 붙이려면 예각을 몇 개 가져야 직각삼각형이나 둔각삼각형이 되지 않을 수 있을까요? 그렇습니다, 세 각 모두 예각이면 되지요. 그래서 예각삼각형의 경우에는 세 각이 모두 예각인 삼각형이라고 생각하면 됩니다.
이렇게 변의 길이에 따라 정삼각형과 이등변삼각형을, 각의 크기에 따라 직각삼각형과 둔각삼각형, 예각삼각형을 분류해 보았습니다. 우리에게 가장 친숙한 모양인 세모에서 시작된 삼각형을 자세히 살펴보니 이렇게나 다양한 종류로 분류할 수 있었고, 각각의 삼각형이 또다른 특징을 가지고 있었다는 것을 알 수 있었지요? 이런 식으로 도형에 대해 조금씩 더 깊이 알아가는 것의 시작이 이번 삼각형 단원이었습니다. 이제부턴 다른 도형들에 대해서도 조금씩 나아가보도록 할 텐데요, 4학년 과정이 평면도형의 마지막 차례이다보니 관련 단원들이 많습니다. 내용이 반복되지 않도록 간략히만 소개할 예정이니 더 자세한 내용은 해당 단원에서 함께 살펴보도록 합시다.
4-2-4. 사각형
여러 가지 사각형 알아보기
이제 삼각형을 넘어 조금 더 복잡한 도형으로 나아갈 차례입니다. 당연히 그 다음은 사각형이겠지요? 변의 길이와 각의 크기로 분류했던 삼각형과는 달리, 사각형은 조금 더 특별한 관계를 찾을 수 있습니다. 변 사이의 관계가 그것인데요, 변이 세 개인 삼각형에서는 모든 변끼리 항상 만날 수 밖에 없습니다. 어떤 한 변을 고르더라도 그 변의 양 끝에서는 각기 다른 변과 만나게 되고, 그럼 자기 자신과 그 두 변을 합하면 총 3개의 변이 되니까요. 삼각형의 각 변에 서로 다른 색을 칠해서 비교해보면 쉽게 이해할 수 있습니다. 아래 삼각형의 빨간색 변을 보세요. 왼쪽 끝에서는 초록색 변과, 오른쪽 끝에서는 파란색 변과 만나고 있지요? 초록색 변이나 파란색 변을 기준으로 봐도 마찬가지입니다. 삼각형에서는 어떠한 경우라도 모든 변들이 서로 만나게 되지요.
하지만 사각형에서는 조금 다릅니다. 사각형은 삼각형과는 달리 한 변의 양 끝에서 만나는 변 외에도 마주보는 변이 존재합니다. 이러한 마주보는 변은 양 옆으로 길게 확장하여 직선으로 나타냈을 때에는 원래의 변과 만날 때도 있지만, 아무리 길게 뻗어보아도 절대 만나지 않을 때도 있습니다. 직선 두 개가 있을 때의 관계와 같지요. 직선 두 개가 있다면 어떤 관계를 가질 수 있을까요? 아주 간단합니다. 만나거나, 만나지 않거나. 그 중 만나지 않는 경우는 조금 더 특별한 상황인데, 사각형을 공부하기 전에 이러한 특별한 관계에 대해 먼저 확인해 보고, 이를 활용하여 여러 사각형들을 새롭게 분류할 예정입니다. 물론 그 다음엔 각각의 사각형들의 특징을 살펴보는 과정에서 각도 또한 계속해서 활용할 예정이니 각도에 대해서도 잊지 말아야겠지요?
4-2-6. 다각형
다각형과 정다각형 알아보기
여러 가지 모양 만들기
삼각형과 사각형에 대해 알아보았다면 그다음 순서는 무엇일까요? 오각형? 육각형? 물론 셀 수 없이 많은 도형들이 존재하지만, 지금 단계에서는 삼각형과 사각형만큼 자세히 알아볼 필요는 없습니다. 그 대신, 이러한 많은 도형들을 통틀어 ‘다각형’이라고 부를 수 있다는 것을 정리해보려고 합니다. 다각형의 ‘다’는 많을 다多라는 한자를 씁니다. 쉽게 풀어서 말하면 각이 많은 도형이라는 뜻이지요. 어느 정도가 되어야 많다는 것일까요? 어렵게 생각할 필요 없이, 한두개가 아니면 모두 많다라고 생각해도 괜찮습니다. 그래서 우리에게 친숙하고 앞서 정리했던 삼각형도, 사각형도 모두 다각형 중 하나라는 뜻이지요. 당연히 그보다 더 각이 많은 오각형, 육각형 등도 마찬가지겠지요?
이렇게 끝도 없이 많은 다각형들이 존재하는데, 우리가 이 단원에서 배울 것은 각각의 다각형의 세세한 특징들이라기보다는 삼각형과 사각형 외에도 존재하는 다양한 평면도형들에 대해 생각해보는 정도입니다. 시작도 전에 양이 너무 많을까 겁낼 필요는 없단 이야기기도 합니다. 미리 모두 말하면 다각형 단원에서 함께 정리해볼 때 김이 샐 수 있으니 지금은 이정도로만 생각해두도록 합시다.
