F. 도형 - 평면도형 - 여러 가지 삼각형
3-1-2. 평면도형 / 4-1-2. 각
이제 본격적으로 도형에 대해 다루어볼 차례입니다. 그 중에서도 4학년에서는 평면에서 나타나는 여러 평면도형들을 차례대로 살펴보게 됩니다. 어렸을 때 말하던 세모, 네모와 같은 모양들에 삼각형, 사각형이라는 이름을 붙여주고 그 안에서도 여러 기준에 따라 또 나누고 이름을 정하는 것이지요. 그 중에서도 처음으로 다룰 도형은 가장 기본적인 도형 중 하나인 삼각형입니다. 이미 몇 가지 삼각형의 이름과 특징에 대해선 배운 적이 있지만, 이번에는 바로 전에 정리한 각도를 활용하여 더 다양한 종류로 세세히 살펴보며 나아가려고 합니다. 이번 단원에서는 앞서 알아본 각도를 도형에서 찾아보고, 지금까지 주로 살펴봤던 변의 길이가 아닌 각도의 크기라는 측면에서 삼각형을 살펴보도록 합시다.
지금부터는 각도를 활용하여 4학년 과정에서 나오는 평면도형을 하나씩 살펴볼 차례인데, 같은 영역이기 때문에 중복된 단원이 계속해서 나오게 됩니다. 앞에서 살펴본 내용들이므로 이번 단원과의 관계성 위주로 간단히만 살펴볼 예정이니 조금 더 상세하게 돌아보고 싶은 독자는 ‘측정’ 영역의 각도 단원부터 차근차근 다시 읽어보길 권해드립니다.
3-1-2. 평면도형
직각삼각형 알아보기
여러분이 가장 처음 본 도형을 기억하나요? 아마 대부분의 학생들이 세모, 네모, 동그라미의 기억을 가지고 있을 것 같네요. 시간이 지나 세모가 아니라 삼각형이라는 이름을 익히고 사용하게 되었을 텐데요, 삼각형을 설명하려면 어떻게 말해야 할까요? 우리가 평소에 너무나 당연하게 생각하는 것들은 막상 설명하려면 막막하기만 한 경우가 많습니다. 다른 사람에게 어떻게 말해줘야 삼각형을 떠올릴 수 있을지 한번 생각해 봅시다.
다들 한 번 시도해 보았나요? 가장 원래 의미에 가까운 설명은 ‘세 개의 점과 세 개의 선분으로 둘러싸인 도형’ 정도가 될 것입니다. 곡선 없이 세 개의 선분만으로 둘러싸인 모양을 그려보면 우리가 아는 삼각형 모양이 나오지요. 이렇게 그려보면 이제 소위 말하는 이름값을 한다는 것을 알 수 있는데요, 이름에서 말하다시피 삼각형은 세 개의 각을 가지고 있다는 것을 발견할 수 있습니다. 그런데 우리는 각 중에서 조금 특별한 각 하나에 대해 이미 배운 적이 있었지요? 직각이 바로 그것이지요. 이렇게 삼각형이 가진 세 개의 각 중 한 각이 직각인 삼각형을 우리는 특별히 ‘직각삼각형’ 이라고 부르기로 했었습니다.
이처럼 삼각형이 가진 여러 성질 중 각의 크기에 따라 새롭게 이름을 붙이며 더 자세히 분류하여 보았는데요, 이제는 직각뿐만이 아니라 다른 각의 종류에 대해서도 공부해보았으니 또 새로운 종류의 삼각형을 분류하고 이름을 붙여줄 수가 있게 되었습니다. 그럼 앞서 둘러본 각도의 내용 중 삼각형을 분류하는 데에 적용할 만한 내용만 간단히 살펴보고 여러가지 삼각형들의 이름을 정해주도록 합시다.
4-1-2. 각도
예각과 둔각 알아보기
삼각형의 세 각의 크기의 합 알아보기
앞서 살펴봤듯이 무언가 길쭉한 모양이 얼마나 긴 지를 측정하고 공유하기 위해서는 길이와 cm라는 단위를 사용했고, 각이 얼마나 벌어져 있는지를 측정하고 공유하기 위해선 각도와 도(º)라는 단위를 사용했습니다. 이러한 각도는 크기에 따라 크게 세 개로 분류했었지요. 이미 3학년 때 공부했던 특별한 각인 직각이 첫 번째, 그리고 이 직각보다 작냐 크냐에 따라 예각과 둔각이라는 이름을 붙여줬습니다. 각도 단위를 표현했을 땐 직각은 90º인 각, 예각은 90º보다 작은 각, 둔각은 90º보다 큰 각이었지요.
이를 활용하여 여러 삼각형들을 살펴보면 우리는 삼각형을 각도의 크기를 기준으로 분류할 수가 있습니다. 이미 우리가 배웠던 직각삼각형이 그 중 하나이지요. 이름에서 쉽게 알 수 있다시피 삼각형의 세 각 중 한 각의 직각인 경우엔 우리는 그 삼각형을 직각삼각형이라고 불렀습니다.
그런데 여기서 잠깐, 왜 세 각 중 한 각이 직각일 때만 직각삼각형이라고 불렀을까요? 두 개의 각이 직각이거나 세 개의 각 모두가 직각일 때는 다른 이름이 있다는 뜻일까요? 여기서 우리는 삼각형의 세 각의 성질에 대해 다시 짚어볼 필요가 있습니다. 그렇게 해야만 다른 두 각의 종류, 예각과 둔각을 바탕으로 삼각형의 이름을 붙여줬을 때 헷갈리지 않기 때문이지요. 앞서 아무 삼각형이나 그려 본 후 세 각의 크기를 더해보면 무언가를 발견할 수 있을 것이라 말해줬는데, 다들 해 보았나요? 측정하기가 까다롭다면 세 각 부분이 온전하게 남아있도록 삼각형을 세 조각으로 자른 후 각도 부분만 모아보세요. 그러면 어떤 모양이든 상관없이 세 각의 합이 일직선, 즉 180º라는 것을 알 수 있을 것입니다. 이해가 잘 되지 않는다면 아래의 그림을 보고 생각해 보세요.
이제 이것을 이용하면 직각삼각형에서 왜 한 각만 직각인지를 설명할 수가 있지요. 직각은 90º이니 직각이 두 개라면 180º가 되겠지요? 그런데 삼각형의 세 각의 합은 항상 180º가 되기 때문에 직각이 두 개나 있게 된다면 세 번째 각은 0º가 되고, 이건 삼각형이라 부를 수가 없지요. 실제로 여러분이 직각이 두 개가 되도록 세 직선을 그려보면 삼각형 모양을 이루지 못하고 나란히 뻗어가는 직선만 발견할 수 있을 것입니다. 바로 아래의 그림처럼요.
이렇게 각도와 삼각형 세 각의 합을 활용하면 직각삼각형이 왜 직각이 한 개인 삼각형인지를 명확하게 정리할 수가 있지요. 그럼 이걸 바탕으로 예각과 둔각에 대해서도 생각해 볼 수 있을 것입니다. 직각삼각형이 있다면 예각삼각형과 둔각삼각형도 있을 수 있겠지요? 이 상황에선 삼각형의 세 각 중 몇 개의 각이 예각이거나 둔각이어야 할까요? 직각삼각형의 경우를 생각하며 적용해보면 쉽게 알 수 있을 것입니다. 그 정확한 결과는 삼각형에 대해 다룰 때 정리해보도록 합시다.
이제 각도에서 삼각형에 대해 필요한 부분 정리를 마쳤습니다. 이러한 내용들을 활용하여 다양한 모양의 삼각형들을 살펴보고, 특징에 맞춰 분류해보려고 합니다. 어떤 기준에 따라 나누는 것이 좋을지 생각하며 삼각형에 대해 본격적으로 시작해 봅시다.
