G. 도형 - 평면도형 - 여러 가지 사각형
2-1-2. 여러가지 도형 / 3-1-2. 평면도형 / 4-1-2. 각도
이제 삼각형에 대해 충분히 알아봤으니 그 다음 차례가 왔습니다. 당연히 그 다음은 사각형이겠지요? 사각형 또한 앞서 정리했던 삼각형과 마찬가지로 다양한 종류로 나누어 생각할 수 있습니다. 그런데 이번에는 삼각형에서 사용한 것과는 조금 다른 기준이 필요합니다. 이유를 간단히만 살펴볼까요? 삼각형에는 세 변과 세 각이 있었습니다. 이를 활용해서 우린 변의 길이와 각의 크기를 기준으로 여러 삼각형들의 이름을 붙이고 분류했었지요. 그렇게 분류한 이유 중의 하나는 삼각형의 경우 세 변의 길이가 정해졌을 때 나올 수 있는 삼각형의 모양이 단 하나밖에 없기 때문입니다. 지금 주변에 있는 길쭉한 물건 세 개를 가지고 확인해보면 알 수 있습니다. 연필이나 리모컨, 스마트폰 같은 물건의 길이만 활용해서 삼각형을 만들어 보세요. 같은 세 개의 물건을 활용하여 다른 모양의 삼각형을 만들 수 있나요? 순서를 바꾸려고 해봐도 세 개밖에 없기 때문에 양 옆의 물건이 달라질 수가 없지요. 그렇기 때문에 세 변의 길이가 정해졌을 때는 단 하나의 삼각형만 만들 수 있고, 그렇기 때문에 세 각의 크기 또한 정해지게 되어서 이를 바탕으로 삼각형을 분류할 수 있었습니다. 각도의 경우에는 앞서 함께 확인해보았듯이 세 각의 합이 180º이기 때문에 직각이나 둔각은 한 삼각형에선 1개 있거나 아예 없거나 두 가지 경우밖에 없었습니다. 그래서 각의 크기를 바탕으로도 삼각형들의 이름을 붙여 분류하기가 쉬웠습니다.
그렇다면 사각형은 어떨까요? 이번엔 주변의 물건 하나만 더 구해와서 총 4개의 길이로 사각형을 만들어 봅시다. 몇 가지 모양을 만들 수 있나요? 분명 하나는 아닌 것을 확인할 수가 있지요? 어떤 물건을 이웃하게 두냐에 따라 네 변의 길이가 같지만 다른 모양의 사각형이 나올 수도 있고, 네 변의 이웃하는 관계를 같게 했을 때에도 모양을 납작하게 하거나 통통하게 만들어서 각도를 달리할 수도 있습니다. 이처럼 사각형은 네 변과 네 각이 존재하기 때문에 단순히 변의 길이와 각의 크기만으로는 하나의 사각형으로 확정지을 수가 없고, 그렇기 때문에 이를 기준으로 사각형들을 분류할 수가 없는 것입니다.
그렇다면 사각형은 어떻게 분류하고 특징을 찾아낼 수가 있을까요? 이를 위해선 삼각형과는 다른 사각형의 특징을 생각해볼 수 있습니다. 앞서 사각형 단원을 간단히 살펴볼 때 이미 언급한 내용인데요, 사각형의 경우 네 변이 존재하기 때문에 한 변을 기준으로 봤을 때 두 변은 이웃하지만 나머지 한 변은 마주보고 있게 되지요? 이러한 마주보는 변들의 관계를 새롭게 정리하여 이를 바탕으로 사각형들을 분류할 수가 있습니다. 이러한 과정에서 변의 길이와 각의 크기를 활용하여 특징을 찾아내고 정리할 수가 있지요.
이제 다양한 모양의 사각형들을 정리하기 위해 어디부터 시작해야 할 지 알 수 있겠지요? 사각형 이전의 도형과 측정에 관련된 내용들은 이미 삼각형을 정리할 때 살펴봤기 때문에 추가적으로 다룰 내용만 간단히 확인하고, 마주보는 변들의 관계에는 어떤 것들이 있는지를 고민하면서 사각형 정리를 시작해보도록 하겠습니다.
2-1-2. 여러 가지 도형
원, 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 의미와 특징 알아보기
도형을 본격적으로 배우기 시작했던 때인 2학년으로 잠깐 돌아가 봅시다. 그 전까지는 우리는 일상생활에서 쓰던 단어들로 도형을 나타냈었지요. 세모, 네모, 동그라미 처럼요. 그런데 그 단어들만으로는 무슨 모양인지 정확하게 설명하기가 힘들었습니다. 여러분의 어린 동생이 ‘세모는 어떤 모양이야?’ 라고 물어본다면 여러분의 머리속에 떠오르는 도형이 있지만 이것을 설명해주기는 정말 어렵겠지요? 그래서 누구나 같은 모양을 떠올릴 수 있도록 여러 도형들을 새롭게 정의하는 것이 필요했고, 그것이 여러분들이 지금 쓰고 있는 삼각형, 사각형, 원과 같은 이름이지요.
그 중 이번 단원에서 더 자세히 다루는 사각형을 살펴봅시다. 어떤 도형을 사각형이라고 하나요? 이름과도 같이 네 개의 각을 가진 도형이라고 쉽게 말할 수 있겠지요. 좀 더 명확하게 표현하려면 네 개의 선분으로 둘러싸인 도형이라고도 말할 수 있습니다. 이러한 설명을 들었을 때 우리가 아는 네모 형태가 아닌 다른 도형을 그릴 수 있나요? 보통이 아닌 창의력을 가진 사람도 아마 이러한 조건을 만족하는 다른 모양을 생각하긴 힘들 것 같지요? 이처럼 모두가 같은 모양을 같은 표현으로 나타내기 위해 정리한 것이 2학년 여러 가지 도형 단원에서 배웠던 내용들입니다. 그렇다면 이렇게 사각형을 정의하는 데에 사용했던 여러 단어들을 조금 더 살펴보도록 합시다.
3-1-2. 평면도형
선분과 직선, 각과 평면도형 알아보기
앞서 사각형을 말할 때 네 개의 선분으로 둘러싸인 도형이라고 정리했습니다. 여기서 선분이라는 용어를 사용했는데, 평소 일상생활에서 이런 용어를 자주 쓰나요? 보통 선이라고 말하는 경우가 많을텐데요, 우리가 흔히 말하는 선이 아니라 선분이라고 굳이 다른 말로 부르는 데는 그 이유가 있겠지요? 수학에서는 우리가 말하는 ‘선’을 조금 더 엄격하게 구분해서 사용합니다. 크게 세 가지로 나누어 볼 수 있는데 ‘직선’, ‘반직선’, ‘선분’ 이 바로 그것이지요. 도대체 선에서 나눌 게 뭐가 있길래 세 가지나 나온 걸까요? 여러분이 직접 선을 여러 개 한 번 그어 보세요. 어떤 점이 다른가요? 아마 다들 바로 대답할 수 있을 것입니다. 길이가 다르지요. 직접 확인한 것과 같이, 선에서의 차이점은 길이를 가지고 이야기할 수 있습니다. 그렇다면 어떤 것을 기준으로 나눠야 할까요? 10cm? 1m? 1km? 명확하게 답할 수 있는 사람이 있을까요? 상황에 따라 같은 길이라도 짧다고 말할 수도, 길다고 말할 수도 있을테니 영 기준을 잡기가 어렵지요. 그래서 선을 구분해서 부를 때는 이러한 명확한 길이를 기준으로 하는 것이 아니라 길이가 정해져 있는지의 여부를 기준으로 구분합니다.
앞서 말한 사각형의 경우로 돌아가 봅시다. 사각형의 네 변의 길이는 정해져 있지요? 이렇게 길이가 일정하게 정해져 있는 선을 ‘선분’이라고 부릅니다. 길이가 정해져 있는 선이 있다면 정해져 있지 않은 선도 있다는 뜻이겠지요? 어떤 모양이 있을까요? 끝이 정해져 있지 않고 양 끝이 계속해서 뻗어나가는 선을 상상할 수 있나요? 이런 선을 ‘직선’ 이라고 부릅니다. 그럼 반직선은 무엇일까요? 말 그대로 반만 직선이라고 생각하면 됩니다. 양 끝이 계속해서 뻗어나가는 것이 아니라 한쪽 끝은 정해져 있고, 반대쪽 끝이 끝없이 이어지는 선을 ‘반직선’이라고 부르는 것이지요. 실제로 그려서 표현할 때는 끝없이 이어지는 것을 모두 그릴수가 없기 때문에 아래의 그림처럼 화살표를 활용하여 계속 이어진다고 나타냅니다.
이제 선의 세 가지 종류에 대해 기억이 다시 좀 나나요? 이를 활용하면 앞서 말했던 사각형의 마주보는 두 변의 관계에 대해 정리할 수 있습니다. 직선에 대해 다시 한 번 머릿속에 담아두고 다음 재료를 찾으러 갑시다.
4-1-2. 각도
각도를 알고 예각과 둔각 구별하기
삼각형의 세 각의 크기의 합 이해하기
사각형의 네 각의 크기의 합 이해하기
각도에 대해서는 이미 삼각형을 여러 가지로 분류하기 위한 기준 중 하나로써 정리해본 적이 있습니다. 사각형에서도 마찬가지로 같은 의미의 각을 생각해볼 수 있는데요, 앞서 사각형 전체 도입에서도 말했듯이 변의 길이와 마찬가지로 각도 네 개만 정해져서는 한 가지 모양의 사각형으로 확정지을 수가 없습니다. 바로 옆에 있는 이웃한 각과 마주보는 각의 관계가 달라지기 때문이지요. 변의 길이에서도 삼각형은 세 개의 변이 항상 이웃하고 있기 때문에 변 사이의 관계에 대해 생각하지 않아도 되었지만 사각형에선 이웃하는 변 외에 마주보는 변이라는 새로운 관계가 있어서 다른 형태의 사각형이 될 수 있다고 말씀드렸지요? 각의 크기도 이와 같아서 사각형에서는 각의 크기만으로 분류하기는 어렵습니다. 굳이 따지자면 우리가 이미 배운 직사각형과 정사각형처럼, 모든 각의 크기가 같아서 이웃하는 각과 마주보는 각을 구분할 필요가 없는 경우에는 활용할 수가 있겠지만요. 그래서 사각형의 각의 크기는 분류하는 기준으로써 사용되기보다는 여러 가지 종류의 사각형의 특징 중 하나로 살펴보곤 합니다.
그렇다면 각도에 대해서는 미리 더 살펴볼 내용이 없는 걸까요? 아닙니다, 한 가지는 짚어보고 넘어갈 필요가 있어요. 앞서 삼각형에서 다뤘던 각도 내용을 다시 한 번 떠올려 봅시다. 삼각형의 세 각의 합은 항상 180º가 된다는 사실이 기억나나요? 삼각형의 세 각의 합의 크기가 항상 일정하다면, 사각형의 네 각의 크기의 합은 어떨까요? 무언가 있을 것 같지요? 삼각형에서 했던 것과 마찬가지로 실제로 네 각의 크기를 살려 사각형을 네 조각 낸 후 각을 이어 붙여 네 각의 크기의 합을 확인해보면 한 바퀴가 가득 차는 360º가 된다는 것을 확인할 수 있습니다. 그렇기 때문에 정사각형과 직사각형의 네 각의 크기가 모두 90º가 될 수 있는 것이지요. 이러한 네 각의 크기의 합이 항상 360º로 일정하다는 것을 활용하면 다양한 종류의 사각형의 특징을 살펴볼 때 각의 크기에 대해서도 정리해볼 수가 있게 됩니다. 우리가 흔히 생각하는 직사각형이나 정사각형과 같은 반듯반듯한 사각형이 아니더라도 모든 사각형에서 동일한 성질입니다. 아래처럼요.
이렇게 사각형의 경우 각의 크기만으로 한 가지의 모양을 확정하기는 어렵지만, 네 각의 크기의 합이 항상 일정하다는 사실을 바탕으로 여러 가지 종류의 사각형의 특징을 확인할 수 있다는 것이 사각형을 정리하기 전 각도를 살펴보는 이유입니다. 이렇게 사각형을 분류하기 위한 사전 작업을 모두 마쳤으니, 이제부터는 사각형에 대해 본격적으로 살펴보도록 합시다.
