이 글은 오래전에 글을 쓰다가 미처 다 적지 못 하고 저장만 해두고 발행은 하지 않는 글이다. 그냥 두기 아까워서 발행을 해본다. 우선 이론적인 물리학 공부를 하다가 미적분에 대한 설명을 들었는 데에 설명을 들어도 머릿속에 저장되지 않고 자꾸만 까먹는 문제점이 있었다.
그러다가 적어도 내가 아는 선에서 4개의 미분법이 있다는 걸 알게 되었고 그 긴 전개 공식들을 다 적을 수는 없지만 적어도 다항 함수와 삼각 함수 그리고 지수 함수와 로그 함수에 대한 4가지 미분 공식이 있다는 걸 알게 되었다.
우선 미분 표시는 함수 우측 상단에 프라임(')이라는 표시를 붙인다. 첫 번째로 다항 함수 미분은 y = f(x) = (x^n)' = n * x^n-1으로 좌변에 다항 함수 (x^2)를 미분(')하면 우변에는 n 곱하기 x의 n 마이너스 1승이라고 부른다.
두 번째로는 삼각 함수로 크게 세 개로 아래와 같이 나뉜다. 여기에 한정해서 x는 라디안이다.
(1) y = f(x) = (sin x)' = cos x
(2) y = f(x) = (cos x)' = -sin x
(3) y = f(x) = (tan x)' = sec^2 x = 1/cos^2 x
이렇게 세 가지이다. (1) (sin x)를 미분하면 cos x이고 (2) (cos x)를 미분하면 -sin x여야 하고 (3) tan x를 미분하면 sec^2 x이며 이걸 다시 cos^2 x분의 1이다. 이걸 쉽게 이해하려면 삼각 함수에 대한 이해력이 높아야 하는 데에 적어도 나에게 있어서는 직관적으로 이해하기 쉬운 미분법은 아니다.
세 번째로는 지수 함수 미분인데 y' = f(x)' = (e^x)' = e^x로 지수 함수 중에서 자연로그 e의 x승을 미분하면 그대로 e의 x승이 나온다.
네 번째로는 로그 함수로 y = f(x) = (log x)'=1/x로 log x를 미분하면 x분의 1이 나온다. 원래는 앞서서 설명한 다항 함수와 삼각 함수 그리고 지수 함수와 로그 함수마다 방식은 다르다.
하지만 예를 들어서 다항 함수를 미분한다고 했을 때에 (x^n)' = lim h->0 (x+h)^n - x^n / h로 좌변에 x의 n승을 미분하면 우변에 h가 0으로 한없이 다가가는 h분에 x 더하기 h의 n승 빼기 x의 n승이라는 식을 대입해서 계산을 하면 n 곱하기 x의 n 마이너스 1승이라는 식에 대입해서 해결하는 것처럼 네 가지 함수마다 변형된 계산식을 통해서 답을 구해주어야 한다.
참고로 편미분은 f(x, y, z, ...)처럼 하나 이상의 성분을 가진 함수가 있을 때에 그중에 하나만 골라서 미분을 하는 것이고 전미분은 전체를 조금씩 변화를 시키는 것을 말한다.
읽어서 보면 미분이 복잡할 수밖에 없는 이유가 전개를 할 줄 알아야 되고 할 줄 모른다면 노트에 적어서 식의 좌측 맨 끝에 있는 좌변을 y와 f(x)에 대입해서 노트에 각 함수마다 한 줄로 정리하고 짧은 수식으로만 외워도 작은 도움이 되지 않을까 싶다. 만약에 내 뇌가 수학자인 폰 노이만의 뇌만큼의 연산능력과 기억력을 가지고 있었다면 이렇게 어렵게 나열하지 않아도 될 것 같고 사람들에게도 쉽게 설명할텐데 참 아쉽다.
이번 글의 내용은 이 사진 한 장에 다 담겨있다.