청소년을 위한 게임이론 제4장. 혼합전략 내시균형(4)
홀짝게임 혼합전략 내시균형, A의 반응곡선
※ 맨 뒤에 요약이 있습니다.
┃홀짝게임, A의 반응곡선┃
앞 장에서 우리는 B의 반응곡선을 그렸습니다. 이번 시간에는 A의 반응곡선을 그려봅시다. 한 가지 긍정적인 소식은, A의 반응곡선은 앞의 식 4.5의 (a), (b), (c) 항에서 p와 q를 서로 바꾸고 홀과 짝을 바꾸면 된다는 것입니다. 원리를 간단히 설명하면 이렇습니다. B가 홀을 부를 확률인 q가 0.5보다 크면 A는 무조건 짝을 쥐는 것이 최선의 반응입니다. 이 말은 이 경우 A가 홀을 접을 확률인 q는 0이 된다는 것을 의미합니다. 반대로 B가 홀을 부를 확률 q가 0.5보다 낮으면 A는 무조건 홀을 쥘 것입니다. q는 1이 됩니다. 그러므로 B의 선택에 따른 A의 반응은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
(a)‘ q > 0.5면, p=0
(b)’ q=0.5면, p는 0과 1 사이 무작위의 어떤 값(=마음 가는 대로)
(c)‘ q < 0.5면, p=1 이상 (식 4.6)
(식 4.6)이 의미하는 바는 이렇습니다.
(a)‘ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5보다 크면, A는 ’무조건‘ 짝을 쥐어야 한다(p=0)
(b)’ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5면, A는 홀과 짝 어떤 것이든 상관없다(마음 가는 대로)
(c)‘ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5보다 작으면, A는 ’무조건‘ 홀을 쥐어야 한다(p=1)
그림 4.4
이를 그래프로 그리면 다음 그림 4.4처럼 됩니다. 한 가지 주의할 점이 있습니다. 식 4.6에 의하면 A의 반응은 q가 독립변수이고 p가 종속변수이기 때문에 그래프도 x축을 q로 y축을 p로 설정해야 합니다. B의 반응과 비교하면 독립변수와 종속변수가 서로 반대입니다. 그런데 우리는 A와 B의 반응곡선을 하나의 좌표 평면에 합칠 것이므로 좌표축이 같아야 합니다. 이 문제를 해결하기 위해 부득이 A의 반응곡선은 독립변수인 q를 y축에, 종속변수인 p를 x축에 그려 넣는 방법을 썼습니다. 그림 4.4의 (a)’는, q가 0.5보다 적을 때 p는 0 임을 나타내는 그림입니다. (b)’는, q가 0.5일 때 p 값은 0과 1 사이의 어떤 값이든 상관없음을 나타냅니다. 마지막으로 (c)’는, q가 0.5보다 클 때 p 값은 1이 된다는 것을 의미합니다. 이 세 개의 그림을 하나의 평면에 옮기면 그림 4.5와 같은 그림이 됩니다. 이 그림은 B의 선택에 대한 A의 반응을 그린 반응곡선입니다.
그림 4.5(A의 최선 반응곡선)
이제 마지막 작업입니다. 우리는 제23장에서 B의 반응곡선을 그린 바 있습니다. 이 곡선과 이 장에서 도출한 A의 최선 반응 곡선을 하나의 평면에 겹치면 그림 4.6처럼 됩니다. 반복하지만 이 그림은 A의 최선 반응곡선과 B의 최선 반응곡선을 겹친 그림입니다. 이 두 곡선이 교차하는 (0.5, 0.5) 지점은 A와 B의 최선 반응곡선이 일치하는 지점입니다. 이 지점은 두 플레이어 모두 벗어날 필요가 없는 지점입니다. 정확히는 벗어나면 손해가 나는 지점입니다. 만약 A가 0.5보다 큰 확률(예컨대 0.6)로 p를 선택한다면 B는 q를 0.5가 아니라 1의 확률로 선택할 것입니다(빨간색 선 위쪽 수평선 구간). 이는 A에게는 불리하고 B에게만 유리한 상황입니다. A가 0.5보다 작은 확률로 p를 선택한다면 B는 q를 0의 확률로 선택할 것입니다(빨간색 선 아래쪽 수평선 구간).
그림 4.6(홀짝게임의 혼합전략 내시균형)
B 역시 마찬가지입니다. B가 0.5보다 큰 확률로 q를 선택한다면 A는 p를 0의 확률로 선택할 것입니다(검은색 선 왼쪽 수직선). B가 0.5보다 작은 확률로 q를 선택한다면 A는 p를 1의 확률로 선택할 것입니다(검은색 선 오른쪽 수직선). A도 B도 0.5에서 한 발짝이라도 움직일 이유가 없습니다. 우리는 내시균형을 정의하기를, 상대 플레이어가 전략을 수정하지 않는 한 나의 전략을 수정할 필요가 없는 상태라고 했습니다. 그러므로 이 교차점 (0.5, 0.5)는 내시균형입니다. 정확히는 ‘혼합전략 내시균형’입니다.
┃요약┃
- 홀짝게임의 혼합전략에서 A는 다음과 같은 의사결정을 할 것입니다(B의 경우와 마찬가지 논리임).
(a)‘ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5보다 크면, A는 ’무조건‘ 짝을 쥐어야 한다(p=0)
(b)’ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5면, A는 홀과 짝 어떤 것이든 상관없다(마음 가는 대로)
(c)‘ B가 홀을 부를 확률(q)이 0.5보다 작으면, A는 ’무조건‘ 홀을 쥐어야 한다(p=1)
- 즉, A의 결정 p는 B의 결정 q에 종속됩니다. 그러므로 q는 독립변수, p는 종속변수가 됩니다.
- 이 관계를 그래프로 그려야 하는데, 나중에 B의 반응곡선과 합쳐야 하므로 좌표축을 B의 반응곡선과 동일하게 하는 편법을 써야 함. 즉 독립변수 q를 수직축, 종속변수 p를 수평축으로 합니다.
- 이 세 개의 함수관계를 하나로 모으면 그림 4.5와 같은 A의 반응곡선이 됩니다.
- 앞 장에서 그린 B의 반응곡선과 이번 장에서 그린 A의 반응곡선을 합하면 그림 4.6과 같은 그림이 됩니다.
- 이 그림에서 두 사람의 반응곡선이 교차하는 (0.5, 0.5)인 곳에서 홀짝게임의 혼합전략 내시균형이 성립합니다.
