Bayes’ Theorem (베이지안 공식)
“사람은 잘 안 변하지만
그 사람에 대한 믿음은 지금도 변하고 있다.”
그렇다면, 존재라는 건 그 사람 자체일까, 그 사람에 대해 내가 가지고 있는 나의 믿음일까.
에드문트 후설(Edmund Husserl)은 ‘우리는 사물을 그 자체로 인식하지 않는다. 항상 의식 속에 나타난 방식으로만 인식한다.’고 했다. 그 사람이라는 객관적 실체가 먼저 있고, 우리는 그것을 그대로 보는 게 아니라, 기억과 감정, 해석, 기대 등을 통과한 모습을 경험하게 된다는 것이다. 따라서 존재라는 것은 대상과 그것을 향한 나의 믿음 또는 의식으로 정의된다.
매 순간의 경험이 이전의 인식을 조금씩 수정하며, 그렇게 수정된 인식이 곧 오늘의 ‘그 사람’이 되듯이, 인생은 실체를 보는 일이 아니라 믿음을 계속 갱신해 가는 과정에 가깝다. 결국 우리가 살아가는 세계는 객관적 실체의 모음이 아니라 우리가 해석하고 믿어온 것들의 집합이다.
“인간은 쉽게 변하지 않지만
존재는 매일 새로 만들어진다.
인생이란 결국 실체를 사는 것이 아니라
인식을 갱신하며 살아가는 과정이다.”
따라서 믿음은 고정된 결론이 아니라 경험이 들어올 때마다 조정되는 가설이다. 이 믿음의 갱신 과정을 수학적으로 표현한 것이 바로 베이지안 정리(Bayes’ Theorem)다.
새로운 믿음(Posterior) = 이전의 믿음(Prior) × 오늘의 정보(Evidence)
『미래는 생성되지 않는다.』의 한 챕터에서 가장 인상 깊었던 장면은 하나의 관측이 이루어지는 순간, 우리가 전혀 다른 우주로 이동한다는 비유였다. 이전까지 50 대 50이던 가능성은, 단 하나의 정보가 추가되는 순간 60 대 40으로 바뀌고, 우리는 다시는 이전의 세계로 돌아갈 수 없다. 그 순간 나는 깨달았다. 인생도 이와 다르지 않다는 것을. 어떤 사건이 일어난 뒤, 우리는 같은 사람이 같은 세상에 머무르는 것이 아니라, 해석이 달라진 세계로 이동해 버린다는 것을.
여기에서 우리가 다시 곱씹어 보아야 할 사실은 '1번 통을 골랐을 확률은?'이라는 질문에 대한 최선의 대답이 손 안의 화이트 초콜릿을 보기 전후로 달라져 버렸다는 것이다. 조금 더 극적으로 표현하자면 하나에 100원도 하지 않을 손 안의 초콜릿을 보고 한 줄짜리 수학 공식을 풀어버리는 순간, 우리는 1번과 2번 통을 골랐을 확률이 50 대 50이었던 우주에서 60 대 40인 새로운 우주로 가는 포털을 통과한 것이고, 원래 우주로 영영 돌아갈 수 없게 되었다고 할 수 있다. 그런데 이런 힘을 가진 베이지언 때문에 되돌아올 수 없는 잘못된 길로 가는 무서운 일이 벌어진다. [출처: 『미래는 생성되지 않는다.』, 박주용]
내 인생을 바꾼 것은 거대한 사건들이 아니었다. 누군가의 말 한마디, 작은 실패, 혹은 예상치 못한 신뢰 같은 사소한 경험들이었다. 하지만 그 경험 자체보다 더 결정적이었던 것은, 그 순간 내가 나 자신과 세상을 어떤 언어로 설명했는지였다. 단순히 ‘타고난’ 긍정적인 성향 때문이라고 생각했는데, 나는 그때마다 나에 대한 확률을 조정했고, 그 조정의 누적이 지금의 나를 만든 거였다.
베이지안 공식은 우리가 운명이나 성격에 갇힌 존재가 아니라는 사실을 가장 논리적으로 설명해 준다. 과거의 사전 확률이 아무리 불리했더라도, 새로운 증거가 입력되는 한 사후 확률은 변한다. 인생이란 처음부터 정해진 답을 향해 가는 여정이 아니라, 계속해서 수정 가능한 가설의 연속이라는 추론이 자연스럽고 너무 명쾌했다.
나는 결국 언어를 이야기하려 한다. 어떤 경험을 겪었는가 보다, 그 경험을 어떤 문장으로 정리했는지가 우리의 다음 세계를 결정하기 때문이다. 수학적 증명을 말하려는 게 아니다. 대신, 지금 이 순간에도 인생은 업데이트되고 있으며, 그 방향은 언제나 내가 선택한 해석의 언어에 달려 있다는 내 생각에 힘을 싣고 싶다.
우리는 보통 원인을 보고 미래를 예측하는 인과식 사고처럼 살지만, 실제로는 결과를 보고 믿음을 수정하는 역확률 사고로 살아간다.
예를 들어,
배터리가 오래되면 빨리 닳는다.
힘든 일이 있으면 말수가 줄어든다.
공부를 많이 하면 성적이 잘 나오는 경우가 많다.
음식이 타면 탄 냄새가 난다.
이것이 인과식 사고이다.
하지만 현실에서의 판단은,
배터리가 빨리 닳는 걸 보니 배터리가 오래됐을 가능성이 크다.
오늘 유난히 조용한 걸 보니 뭔가 힘든 일이 있었을 가능성이 있겠다.
성적이 잘 나온 걸 보니 이번엔 공부를 꽤 했던 건 같다.
탄 냄새가 나니 뭔가 태웠을 가능성이 크다.
이처럼 역확률 사고를 한다.
우리가 불안해지는 순간을 자세히 들여다보면, 대부분 베이지안처럼 판단하지 않고 인과식 사고로 세상을 해석하고 있을 때다. 어떤 일이 일어나면 우리는 곧바로 원인을 하나로 고정한다. 연락이 늦으면 마음이 식은 것이라 결론 내리고, 실수가 생기면 나는 원래 부족한 사람이라 단정한다. 하나의 결과를 하나의 원인으로 직선처럼 연결하는 순간, 가능성의 세계는 사라지고 가장 두려움만 남는다. 반면 베이지안 사고방식은 이 상황을 다르게 본다. 지금 일어난 일은 하나의 데이터일 뿐이며, 여러 원인 중 어떤 해석이 더 그럴듯한 지 조정해 볼 수 있다. 즉, 우리는 미래가 정해지지 않아 불안한 것이 아니라 미래를 정하려고 해서 불안해지는 것이다.
놀랍게도 18세기 수학자 토마스 베이즈는 이러한 인간의 사고방식을 하나의 수학 공식으로 포착했다. 그것이 바로 베이지안 공식(Bayes’ Theorem)이다. 베이지안 공식은 굉장히 단순하고 직관적이다. 우리가 어떤 믿음을 가지고 있을 때, 새로운 증거를 접하면 그 믿음을 어떻게 업데이트해야 하는지를 알려주는 도구이다. 이때 우리가 미리 가지고 있는 믿음을 사전 확률(Prior)이라 하고, 새로운 증거(Evidence)를 사후 확률(Posterior)이라고 한다.
* 토마스 베이스(Thomas Bayes)는,
“과학적인 예측력의 근원과 작동 원리를 이해하려고 할 때 반드시 알아야 할 인물 가운데 하나가 1701년 런던에서 태어나 1761년 사망한 영국의 장로교 목사 토머스 베이스(Thomas Bayes)다. 에든버러 대학교에서 신학과 논리학을 공부한 베이즈는 어떠한 사건이 벌어질 가능성의 척도인 ‘확률‘, 그 가운데에서도 결과를 통해 원인을 추론하는 ’역확률(inverse probability)의 방법론에 큰 발자국을 남겼다. - 『미래는 생성되지 않는다.』, 박주용”
새로운 믿음 = 이전의 믿음 × 오늘의 정보
Posterior(오늘의 나) = Prior(어제까지의 나) × Evidence(오늘 겪은 일)
내가 누군가를 처음 만났다고 가정해 보자. 첫인상으로 ‘이 사람은 믿을 만하다.’는 초기 믿음(사전 확률)을 70%정도 갖게 되었다. 그런데 그 사람이 약속 시간에 30분을 늦었다(새로운 증거). 이때 당신의 믿음은 어떻게 변할까? 우리는 이 새로운 정보를 반영해 믿음을 50%로 낮추거나, 그의 미안해하는 태도를 보고 60%정도 유지하게 된다. 여기서 중요한 것은 우리의 믿음이 고정되어 있지 않다는 점이다. 새로운 증거가 들어올 때마다, 우리는 기존의 믿음을 끊임없이 수정한다. 이것이 베이지안 사고방식이다.
이를 확률 공식으로 표현하자면 P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) 라고 쓸 수 있다.
다시 인생에 적용해 보자. 우리의 하루는 질문으로 채워진다.
저 사람 믿을 수 있을까?
나는 이 일을 잘할까?
세상은 안전한 곳인가?
처음엔 모두 추측인 가설일 뿐이지만, 경험이 생기면 생각이 업데이트된다.
그 사람이 잘 대해주면, 믿을 만한 사람일 확률이 커지고
일이 실패하면, 내가 못한다는 생각이 커지고
도움을 받으면, 세상이 조금 더 안전하게 느껴지게 된다.
이게 인생에 적용되는 역확률이다. 즉, 우리는 어제의 확률 위에 오늘의 사건을 곱해가며 업데이트되는 존재라는 말이다.
바로 말, 언어다. 우리는 사건 자체보다 그 사건을 어떤 말로 해석했는지에 따라 믿음을 업데이트한다.
나는 말을 공기에 비유한다. 공기는 보이지 않지만 늘 우리를 둘러싸고 있고, 우리가 들이마시는 공기의 질이 몸의 상태를 바꾸듯, 우리가 사용하는 언어의 질 역시 하루의 질을 바꾼다. 그래서 ‘언어와 인생’이라는 주제가 내 삶의 표지가 될 만큼, 나는 언어가 인간을 형성하는 가장 강력한 힘이라 믿는다.
인생은 사건의 합이 아니라 해석의 누적이며, 그 해석을 만들어내는 도구가 바로 말이다. 결국 말은 우리 내면의 사전 확률(Prior)을 끊임없이 조정하는 장치다.
이제 언어가 어떻게 우리의 존재를 만들고, 관계를 바꾸며, 삶의 질을 결정하게 되는지를 베이지안 구조에 적용해 살펴보려 한다.
한 번의 증거로는 사전 확률이 크게 바뀌지 않는다. 하지만 같은 방향의 증거가 계속 쌓이게 되면 사후 확률(Posterior)은 급격히 변한다.
인간은 경험을 통해 변화하는 존재가 아니라
경험을 통해 믿음을 수정하는 존재다.
자존감은 성격에 일부라고 생각하기 쉽다. ‘나는 원래 근자감이 있어.’, ‘나는 원래 좀 소심해.’라고 말하며, 마치 태어날 때부터 정해진 것처럼 받아들이는 경우가 종종 있다. 하지만 베이지안 관점에서 보면, 자존감은 타고난 것이 아니라 수십만 번의 경험이 축적된 통계적 결과물이다.
칭찬의 말이나 존중받은 경험, 실패 후 다시 얻은 기회, 비교 또는 무시받는 경험, 부정당하는 경험 등 모두 데이터가 된다. 우리는 이러한 사건들을 증거 삼아 확률적으로 자신을 정의하고 계속해서 자신을 수정하게 된다.
어린 시절, 부모에게 칭찬을 듣고 자란 아이의 자기 능력에 대한 사전 확률(Prior)은 상승한다. 반대로 지적만 듣고 자란 아이의 사전 확률(Prior)은 하락한다. 처음에는 작은 변화처럼 보이지만, 이것이 반복되면 그 사람의 자아상 전체를 형성하는 사후 확률(Posterior)이 된다. 중요한 것은 이 과정이 진짜 실력과는 별 상관이 없다는 점이다. 차이는 오직 자신이 받아온 피드백뿐이고, 피드백에 따라 같은 경험이라도 한쪽은 성장의 기회로, 다른 한쪽은 무능함의 증거로, 각각 서로 다른 데이터가 된다.
이것이 우리가 자존감이라고 부르는 것의 정체다. 타고난 것이 아니라, 주변이 나를 그렇게 만드는 것이 아니라 내 안에서 해석된 데이터다.
트라우마를 떠올릴 때 우리는 보통 ‘상처받은 기억’을 생각하기 쉽다. 하지만 베이지안 관점에서 보면, 트라우마의 본질은 기억 자체가 아니라 그 기억이 세상을 해석하는 확률을 왜곡시킨데 있다.
가정과 사회의 보호 안에서 우리는 ‘세상은 비교적 안전하다’는 생각을 먼저 하게 된다. 그러다 배신이나 폭력, 버림받음 등 정서적 위협을 받는 경험을 하게 되면 뇌의 역확률 판단 기능은 ‘세상은 위험할 가능성이 크다.’, ‘사람은 믿으면 안 될 가능성이 크다.’로 해석하게 된다. 이것은 다른 경험과 달리 이전 나의 믿음(사전 확률)과 극명하게 모순되는 증거다.
여기서 문제는 이런 증거 하나는 과도하게 가중치를 갖게 되는 것이다. 새로운 증거가 기존 믿음을 조금씩 조정하는 것이 아닌 기존 믿음을 완전히 무너뜨리게 되어 심리적 안정의 기준 자체를 재설정하게 만든다.
부모에게 수만 번 사랑받은 경험보다 한 번의 학대 경험이 더 크게 작용하는 이유는 진화심리학적으로 생존에 위협이 되는 정보는 과대평가되도록 뇌가 설계되어 있기 때문이다.
그 결과 한 번의 배신은 모든 관계의 불신으로 이어지고, 한 번의 실패가 인생의 낙오자로 만들게 된다. 더 큰 문제는 트라우마를 경험한 이후의 데이터는 기존 믿음(사전 확률)으로 재세팅되기 때문에 앞으로의 경험(새로운 증거)을 다른 사람보다 더 왜곡해서 해석할 확률 또한 커지게 되는 것이다.
따라서 트라우마란 상처의 기억이 아니라, 그 사건으로 인해 세상을 해석하는 확률 비율이 왜곡된 결과라고 할 수 있다.
“난 왜 늘 이런 사람만 만날까.”
연애가 한번 꼬이기 시작하면 이런 질문을 하게 되는 일이 생긴다. 관계에서 반복되는 문제가 있고, 마치 운이 안 좋은 것처럼 내가 피할 수 없는 것이라고 생각하기 쉽다. 하지만 베이지안 관점에서 보면, 이것은 우연이 아니라 확률적 필연이다. 나의 사전 확률이 특정 패턴을 반복하도록 설계되어 있기 때문이다.
예를 들어, 어린 시절, 감정 기복이 심하고 학대하는 부모 아래 자란 아이는 이 경험을 데이터로 입력한다. ‘사랑하는 사람은 예측 불가능하다. 가까운 사람은 나를 함부로 할 수 있다.’등의 사전 확률을 형성한다.
이제 이 아이가 성인이 되어 연애를 하면, 무의식적으로 어떤 사람에게 끌릴까? 어렸을 때 보호받지 못했으니까 안정적인 감정을 가진 사람에게 끌릴까? 안타깝게도 그렇지 않다. 왜냐하면 우리는 기존의 사전 확률과 일치하는 증거를 더 쉽게 받아들이기 때문이다. 그래서 안정적인 사람은 기존 확률과 맞지 않기 때문에 오히려 낯설고, 불편하다.
결국 무의식적으로 불안정한 사람을 선택하게 되고, 안정적인 사람을 만나게 되더라도 자신이 무의식적으로 불안정한 패턴을 만들어낸다. 상대가 조금만 바빠도 ‘나를 떠나려는구나.’라고 해석하고 시험하게 되는 것. 이것이 바로 자기 충족적 예언(self-fulfilling prophecy)이다. 떠날 것이라고 믿기 때문에 불안해하고, 집착하거나 반대로 먼저 거리를 둔다. 그렇게 관계가 끝나버리게 되면 ‘역시 사람은 결국 떠난다. 사람은 믿는 게 아니다.’라며 사전 확률은 더욱 강화된다.
강화된 사전 확률은 사소한 상대방의 행동에서도 기존 확률을 강화하는 식으로 해석하게 만든다. 이미 믿음이 방향을 정해두었기 때문에 늘 비슷한 사람만 만나게 되고 관계에 대한 방식은 좀처럼 바뀌지 않는다. 그래서 결국 우리는 반복되는 관계 패턴에서 벗어나지 못하는 오류를 범하게 되는 것이다.
관계는 우연이 아니다.
당신 안의 확률 분포가 만드는 패턴이다. 같은 사람만 만나는 것처럼 보이지만, 실제로는 당신의 사전 확률이 그들을 선택하고, 그들과의 관계를 특정 방식으로 해석하고, 특정 결과를 만들어낸다. 패턴을 바꾸고 싶다면, 확률을 바꿔야 한다. 그리고 확률을 바꾸려면, 새로운 데이터를 계속 입력해야 한다. 베이지안 업데이트, 그것이 관계 변화의 원리다.
인생이란, 경험이 쌓이면서
‘그런 것 같다.’에서 ‘그게 사실이다.’로
굳어가는 과정에서
만들어진 신념이 그려낸 그림이다.
베이지안 업데이트에서 매력적인 점 한 가지는,
모든 증거가 같은 가중치를 갖지 않는다는 것이다. 신뢰도가 높은 출처의 정보는 더 큰 영향을 미치게 된다. 평소 내가 존경하는 사람이나 가족, 가장 가까운 사람, 오랜 시간 함께한 사람들의 말일수록, 우리 내면의 확률 분포에 미치는 영향이 크다.
하지만 가장 강력한 증거를 제공할 수 있는 사람은 타인이 아니라 자기 자신이라는 점을 절대 간과해서는 안된다. 우리 스스로에게 하는 말, 내면의 독백은 하루에도 수만 번 반복된다. 자기 자신과의 대화는 가장 빈번하고, 가장 신뢰도가 높다. 그렇기 때문에 자기 대화는 단순한 생각이 아니라, 내 인생의 확률 분포를 매 순간 조정하는 강력한 알고리즘인 것이다.
베이지안 공식의 아름다운 점은
지금 이 순간에도 업데이트가 이루어지고 있다는 점이다. 과거의 사전 확률이 아무리 부정적이었어도 새로운 증거가 계속 입력되면 사후 확률은 반드시 변한다.
베이지안 공식은 나의 사소한 생각과 선택이 모여 내 인생을 만드는 것이 결코 우연과 운명이 아니라, 우리가 경험해 온 증거들의 논리적 귀결임을 보여준다. 그래서 말은 정말 중요하다. 혼잣말도 내 귀는 듣고 있고, 그 말들은 조용히 나의 믿음을 갱신한다. 어떤 인생을 살 것인지 고민하고 있다면, 가장 먼저 해야 할 것은 오늘 내가 사용하는 언어다.
우리는 매일 경험을 겪고 끝나는 것이 아니라, 그 경험을 어떤 문장으로 정리할지 선택함으로써 업데이트될 믿음의 방향을 스스로 결정할 수 있다.
오늘부터 “나는 할 수 있어”, “이것도 배움이야”, “나는 성장하고 있어”라는 말은 긍정적으로 조정하자. 타인의 말을 바꾸는 건 어렵다. 하지만 자신에게 하는 말은 당장 오늘부터 바꿀 수 있다. 셀프 토크를 바꾸는 것, 그것이 인생의 확률을 다시 쓰는 가장 빠르고 강력한 방법이다.
현실이란
기존의 편견(사전 확률)에
새로운 정보(증거)가 섞여서 만들어진
중간 결과물일 뿐이다.
만약 우리가 새로운 증거를 보고도
나의 믿음을 업데이트하지 않는다면,
그것은 통계학과 뇌과학적으로
오류에 갇힌 상태가 된다.
이것이 인지 부조화가 정보 왜곡으로 이어지는
수학적 이유이기도 하다.