함수의 극한과 연속성에 관한 엄밀한 수학적 정의
고등학교 2학년, 미적분Ⅰ에서 만나게 되는 '함수의 극한과 연속성'이라는 단원은 고등수학의 최종적인 목적지라고 볼 수도 있는 미적분학의 토대가 된다는 점에서 매우 중요한 단원입니다. 이러한 대학에서 수학을 배우다 보면 극한에 대한 개념을 수학적으로 엄밀하게 다루기 위해서 소위 이라고 불리는 논리적 방법을 사용하게 되는데, 을 활용한 형식적이고 정적인 극한 개념을 고등학생들이 배우기에는 매우 어렵기 때문에 고등수학에서는 다소 직관적인 이해와 방식을 동원해서 극한에 대한 개념을 정의하게 됩니다. 그럼에도 불구하고 극한에 대한 수학적이고 엄밀한 정의를 알고 싶어하는 학생들이 꽤 있을 것 같다는 생각에 본 칼럼을 쓰게 되었습니다.
따라서 극한의 엄밀하고 수학적인 정의, 즉 이 무엇인지 알아 보겠습니다. 그리고 이러한 과 고등학교에서 사용하는 극한의 직관적 정의에는 무슨 차이점이 있으며, 이러한 이 탄생할 수밖에 없었던 이유는 무엇인지에 대해서도 극한의 역사적 발달과정과 함께 알아보도록 하겠습니다.
먼저 고등학교 수학에서의 극한의 직관적 정의는 무엇인지 잠깐 짚고 넘어가겠습니다.
함수 에서 가 와 다른 값을 가지면서 에 한없이 가까워 질 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 는 에 수렴한다.
위의 그림에서 볼 수 있는 것 처럼, 고등학교에서의 극한의 직관적 정의를 받아들인다면, 어떤 그래프가 제시되어 있거나 함수식만 주어져있으면 그 극한값의 수렴, 발산(수렴하지 않음)을 판단하거나 정확한 극한값을 구하는 것이 그리 어렵지 않습니다.
이런식이라면 굳이 우리가 을 이용할 필요도 없겠죠. 왜냐면 직관적인 정의로도 모든 문제가 풀리고 모든 함수를 해석할 수 있으니까요. 하지만 17c부터 문제가 생기기 시작했습니다. 왜냐면 직관적인 정의로는 그래프의 모습이나 극한, 연속성에 대한 파악이 어려운 병리적인 함수들이 등장하기 시작했기 때문입니다.
병리적인 함수들의 등장
①
②
병리적인 함수, 즉 직관으로는 이해가 잘 되지 않는 함수들이 발견되면서 극한을 단순 직관으로 이해해도 되냐는 의문이 제기되기 시작하였습니다. 실제로 위의 두 함수는 단순히 직관에 근거해서는 0에서의 극한값을 알기가 쉽지 않습니다.
Weierstrass의 병리적인 함수
위에 제시된 함수도 마찬가지 입니다. 이 함수는 아이러니 하게도 모든 점에서 연속임에도 불구하고 모든점에서 미분불가능한 함수인데, 이러한 함수들의 성질을 더 정확히 파악하기 위해서는 극한에 대한 엄밀한 정의가 필요할 수 밖에 없었던 것이죠.
해석학의 산술화 (Feat. Weierstrass)
미적분학을 엄밀하게 구성된 실수 체계 위에서 극한의 개념을 대수적으로 명확하게 정의해야한다는 필요성이 부각된 후 많은 학자들이 그 시도를 하였고, 결국엔 Weierstrass라는 수학자가 고안한 으로 극한의 개념을 엄밀하게 정의하게 됩니다. 그 내용은 아래와 같습니다.
함수 에서, 적당한 가 존재하여 명제 '임의의 에 대하여 이에 대응하는 적당한 >0가 존재하여 0<<이면 이다.' 를 만족하면
정의만으로 이해하기 조금 어려울 수 있어서 아래에 예시를 준비했습니다.
그러니까 조금더 쉽게 설명하자면 아무리 작은 을 잡아도 그에 대응하는 더 작은 가 존재해서 그림에서 보여지는 것처럼 과 사이에 에 대응하는 함수값이 쏙 들어가게되면 '어떤 함수가 a로 한없이 가까이 다가갈때 그 함수가 로 수렴한다'라고 이야기 할 수 있게 되는것입니다. 이것이 바로 입니다.
직관적인 고등과정에서의 극한의 정의가 함수의 종속적인 관계를 반영하고 극한값의 발견에 초점을 맞추며, 원인에서 결과로의 논리적 전개로 이어지므로 심리적으로 자연스럽고 이해가 쉬운 반면, 대학수학에서의 극한의 정이는 함수의 대응적 관점을 반영하고 극한값의 정당화에 초점을 맞추며 결과에서 원인으로의 논리적 전개가 이루어지다 보니 사고 방향이 역행되어 논리적이해가 어려운 부분이 있습니다.
아직 독자들이 학생이기에 최대한 간략하게 설명하려다 보니 오히려 이해되지 않는 부분들이 있을수도 있다는 우려가 듭니다. 그래도 위의 정의를 우리가 쉽게 알 수 있는 일차함수나 이차함수에 대해서 적용하고 생각해보면 어느정도 쉽게 이해할 수 있을 거라는 생각이 듭니다. 하지만 수렴하지 않는경우, 즉 발산하는 경우에 대해서 엄밀하게 이야기하고 증명하기에는 몇가지의 정리들이 더 필요하기 때문에 여기서 이야기를 줄이려고 합니다. 하지만 간단하게나마 이렇게 알아본 이 여러분들의 수학에 대한 이해와 자신감을 키우고 실질적인 사고력과 창의력발달에 큰 도움이 되리라고 믿습니다.
본 칼럼은 ©TENDOM Inc.과 한국청소년재단이 함께 운영하는 '애드캠퍼스 온라인 칼럼멘토단' 소속 대학생 멘토가 대한민국의 청소년들을 위해 들려주고 싶은 이야기를 담은 글입니다. 글의 내용은 운영기관의 공식의견이 아니며, 일부 내용은 운영기관의 의견과 다를 수도 있음을 밝힙니다. 칼럼은 출처를 밝히는 한 자유롭게 스크랩 및 공유가 가능합니다. 다만 게재내용의 상업적 재배포는 금합니다, 감사합니다.
