연립방정식 - 커플 매칭

수학을 시작하는 사람을 위하여

이번에는 미지수가 두 개인 방정식의 경우를 생각해 보자. 두 개의 미지수는 각각 방정식 안에 서로 엉켜서 숨어있다. 하나의 등식 안에 미지수가 두 개 들어있는 방정식이다.

x + y = 5

x라는 숫자와 y라는 숫자가 더해지면 5가 된다. 이 x와 y 한 쌍을 남녀 커플로 생각하면 좋을 것 같다. 나는 커플매니저이고, 조건에 꼭 맞는 한 쌍의 커플을 성사시키는 보람을 느껴보는 것이다. 모든 조건을 만족하는 최후의 한 쌍에게는 결혼정보회사에서 제공하는 상금이 주어지고 나에게도 보너스가 지급된다. 그런데, 이 조건을 만족하는 x와 y의 쌍은 소수까지 포함하면 셀 수 없이 많다.

1 + 4 = 5

2 + 3 = 5

1.5 + 3.5 = 5

1.7 + 3.3 = 5

2.4 + 2.6 = 5 ...

여기에 조건 하나를 추가하면 커플의 범위를 좁힐 수 있다. 대상을 자연수에 국한하는 것이다. 수많은 매칭 조건 중, 자연수에 해당하는 회원만 커플 매칭이 가능하다. 자연수는 0보다 큰 정수이므로 위 방정식을 만족하는 x와 y의 쌍은 아래와 같다.

1 + 4 = 5

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

4 + 1 = 5

(x , y)의 쌍은 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 이렇게 4개이다. x를 남자 회원이 기르고 있는 반려동물의 수, y를 여자 회원이 기르고 있는 반려동물의 수라고 해 보자. 반려동물의 수는 자연수일 수밖에 없다. 둘의 반려동물 수를 합하여 5마리가 되면 둘이 기르기 적당하고 부담되지 않는 최적의 환경이라고 가정하자. 그런데, 무슨 이유에서인지 여자 회원의 반려동물 수가 남자 회원의 반려동물 수보다 더 많은 경우를 선호하는 경향이 있다고 한다. 이 조건을 또 추가하면 매칭되는 커플은 두 커플로 줄어든다.

(1, 4), (2, 3)

이 커플 조건은 매우 까다로워서 여자 회원의 반려동물 수가 남자 회원의 반려동물 수보다 한 마리 더 많아야 한다. 그러면 상금을 받을 최후의 승자는 (2, 3) 커플이 된다.

반려동물의 수로 따지는 게 조금 이상하긴 하지만 다른 적당한 예가 생각이 안 나서 어쩔 수 없다. 지금까지 커플이 매칭되는 조건을 방정식으로 나타내면 다음과 같다.

x + y = 5 (남자 회원과 여자 회원 반려동물 수의 합이 5가 되어야 한다) ------------------ (1)

x + 1 = y (여자 회원의 반려동물이 남자 회원의 반려동물보다 1 만큼 많아야 한다) ------ (2)

여기서, x, y는 자연수

두 개의 미지수와 두 개의 방정식으로 모든 조건을 완벽히 구현하였다. 우리는 이를 '연립방정식(Simultaneous Equation)'이라고 부른다. 실제로 세 개의 미지수를 밝혀내려면 이 미지수들이 포함된 세 개의 방정식이 있어야 한다. 이렇게 확장하면 n 개의 미지수를 찾아내려면 이 미지수들이 포함된 n 개의 방정식이 있어야 한다.

연립방정식에서 미지수들의 값을 찾아내는 것을 연립방정식을 푼다라고 하고 그 방법은 미지수를 줄여가는 것이다. 식(1)에서 y는 x + 1과 같은 값이므로 이 y를 식(1)에 대입하면 y라는 미지수가 사라진다.

x + (x + 1) = 5

2x + 1 = 5

앞 글에서 처럼 수학적 트릭을 써서 양 변에 같은 수를 더하거나 빼면,

2x + 1 -1 = 5 - 1

2x = 4

2x / 2 = 4 / 2

x = 2

x 값이 2라는 것을 알았다. 이 결과를 식(2)에 대입하면,

2 + 1 = y

3 = y

y도 3으로 구해졌고, 이렇게 매칭된 커플은 (2, 3)이 된다.

연립방정식은 여러 개의 변수를 놓고 그 변수들 간의 조건을 찾아가면서 해답을 구하는 방법에 쓰인다. 특히 구조물에 걸리는 힘을 구하는 문제에 필수적이다. 연립방정식을 이용하면 구조물에 힘이 작용할 때 바닥에 걸리는 하중을 계산할 수 있다. 다음 글에서 그런 종류의 문제를 다뤄볼 것이다.