인수분해(Factorization)

수학을 시작하는 사람을 위하여

인수분해란 다항식을 단항식으로 만드는 것이다. 다항식은 덧셈(+) 또는 뺄셈(-)으로 연결된 식을 말하고, 단항식은 곱셈(x) 또는 나눗셈(/)으로 연결된 식을 말한다. 인수분해는 방정식을 풀기 위한 수학적 트릭의 하나이다. 다항식을 단항식으로 변형해 놓으면 방정식을 풀기 매우 수월해진다.

x² - 2x = 0

이 방정식에서 x 값을 구하려면 앞서 배운 기본적인 트릭을 사용할 수 있다. 양 변을 x로 나누면

x² / x - 2x / x = 0 / x

x - 2 = 0

양 변에 2를 더해주면

x - 2 + 2 = 0 + 2

x = 2

양 변을 x로 나눌 때 x는 0이 아니어야 한다. 왜냐하면 어떤 수를 0으로 나누는 것은 수학적으로 정의되지 않았기 때문이다. 하지만 원래 식에 x = 0을 대입하면 방정식이 성립한다.

0² - 2 x 0 = 0

이 말은 x = 0도 이 방정식의 해라는 말이다. 그렇다면 x = 2가 답일까? x = 0이 답일까? 둘 다이다.

이번에는 인수분해를 이용해서 방정식을 풀어보자. x² - 2x = 0을 인수분해 하면 다음과 같다.

x (x - 2) = 0

x² - 2x라는 다항식이 x (x - 2)라는 단항식으로 변형되었다. 이 값이 0이 되려면, x = 0 또는 (x - 2) = 0이 되어야 한다. 그래서 이 방정식의 답은 x = 0 또는 x = 2이다.

인수분해는 '전개(Expansion)'의 역순이다. 전개는 곱으로 연결된 단항식을 다항식이 되게끔 풀어쓰는 것이다. a (b + c)를 전개하면 ab + ac가 된다. 이런 논리로 (a + b)(c + d)를 전개하면 다음과 같다.

(a + b)(c + d) = a (c + d) + b (c + d)

= ac + ad + bc + bd

ac + ad + bc + bd를 가만히 들여다 보면 각 항은 또 인수들의 곱으로 이루어져 있다. ac에서 a와 c를 각각 인수라고 한다. ac + ad에서 공통된 인수 a를 묶어내고, bc + bd에서 공통 인수 b를 묶어내면 인수분해를 할 수 있다.

ac + ad + bc + bd = a (c + d) + b (c + d)

이 식을 또 가만히 들여다 보면 (c + d)가 공통 인수로 포함되어 있다. 그래서 (c + d)를 묶어내면,

a (c + d) + b (c + d) = (c + d)(a + b) 곱한 숫자들은 순서를 바꿔도 되므로,

= (a + b)(c + d)

인수분해를 한 것이다.

만약, ac + ad + bc + bd = 0 이라는 방정식에서 a, b, c, d 간의 관계를 찾아내어라 하는 문제가 있다면, 바로 인수분해를 해 버리면 된다.

ac + ad + bc + bd = 0

(a + b)(c + d) = 0

a + b = 0 또는 c + d = 0

a = -b 또는 c = -d

이런 관계를 찾을 수 있다.